【創(chuàng)作培育計(jì)劃】默然純粹映秋水丨紀(jì)念量子力學(xué)奠基人狄拉克誕辰120周年

撰文 | 曹則賢（中國(guó)科學(xué)院物理研究所）I have an equation. Do you have one too?

——Paul Adrien Maurice Dirac[1]

摘要 狄拉克是物理學(xué)史上的一座豐碑，思想深邃，風(fēng)格輕靈，表現(xiàn)出典型的英倫數(shù)學(xué)物理傳統(tǒng)。狄拉克方程是內(nèi)含四元數(shù)和旋量的量子力學(xué)方程，由此而來(lái)的反粒子概念拓展了微觀粒子的世界。狄拉克的著作風(fēng)格被楊振寧先生譽(yù)為“秋水文章不染塵”，其對(duì)量子力學(xué)、量子場(chǎng)論、廣義相對(duì)論、旋量理論、電磁學(xué)的闡述都是經(jīng)典之作，特點(diǎn)是簡(jiǎn)明易懂。尤其令人敬仰的是狄拉克的純粹心靈，他始終關(guān)注的是物理學(xué)本身而非物理學(xué) (者) 的社會(huì)內(nèi)容。狄拉克沉默寡言，作為社會(huì)學(xué)單位的狄拉克 (1 狄拉克=1字/小時(shí)) 也許是狄拉克留給人類社會(huì)的最有趣的貢獻(xiàn)。

引子

量子力學(xué)是人類二十世紀(jì)最偉大的思想成就。粗略說(shuō)來(lái)，量子力學(xué)的大致框架由作用量量子h (光能量量子為E=hv)，正則量子化條件 (x, p)=i? 以及由此而來(lái)的動(dòng)量的算符表示，薛定諤方程 (1926)，泡利方程 (1927)，狄拉克方程 (1928) 這些內(nèi)容構(gòu)成。配合偏微分方程、線性代數(shù)與線性空間理論、算子代數(shù)、譜理論、變分原理、復(fù)數(shù)、復(fù)變函數(shù)、群論、旋量理論等方面的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，就能談?wù)摮醯攘孔恿W(xué)了。量子力學(xué)的建立得益于二十世紀(jì)初一批物理學(xué)家的頭腦風(fēng)暴。置身于量子力學(xué)的一眾奠基者中，狄拉克依然是才華卓越、風(fēng)姿超群的那位。

狄拉克小傳

狄拉克 (Paul Adrien Maurice Dirac, 1902.08.08-1984.10.20) 出生于英國(guó)布里斯托一個(gè)普通家庭。狄拉克的母親是英國(guó)人，父親是來(lái)自瑞士，1919年才歸化英國(guó)。筆者記得曾讀到過(guò)，狄拉克祖上源自法國(guó)香檳省的某個(gè)地方。類似德語(yǔ)的Donau (多瑙河)、 Aarau (愛因斯坦在瑞士上中學(xué)的小鎮(zhèn)) 里的-au是草地，漢語(yǔ)張莊、趙莊里的‘莊’是村子，法語(yǔ)的-ac也是用來(lái)標(biāo)記地名的，據(jù)說(shuō)狄拉克祖上所在那一片的村子包括著名的Cognac (干邑白蘭地) 和Cadillac (卡迪拉克車)，當(dāng)然還有 Dirac村。狄拉克的父親在中學(xué)教法語(yǔ)，在家里要求孩子說(shuō)法語(yǔ)。由于法語(yǔ)語(yǔ)法實(shí)在是繁瑣，異國(guó)的孩子，或者說(shuō)孩子在異國(guó)，很難把法語(yǔ)說(shuō)完美了。狄拉克的父親對(duì)待孩子過(guò)于嚴(yán)厲，孩子法語(yǔ)說(shuō)得不正確是要受體罰的。因?yàn)楹ε路ㄕZ(yǔ)說(shuō)得不對(duì)會(huì)挨打，狄拉克小時(shí)候就盡可能避免說(shuō)話，這讓他養(yǎng)成了沉默寡言的習(xí)慣 (圖1)。有文獻(xiàn)稱，狄拉克在劍橋的同事打趣建議把狄拉克當(dāng)成計(jì)量單位，用來(lái)表征人的健談程度， 1 狄拉克=1字/小時(shí) (1 Dirac= 1 word per hour)。筆者斗膽地說(shuō)，沉默寡言可能有助于進(jìn)入深度思考的狀態(tài)，是好事兒。子曰：“君子欲訥于言而敏于行”，這話是有道理的。

圖1. 五歲時(shí)的狄拉克

狄拉克1921年畢業(yè)于布里斯托大學(xué)學(xué)電氣工程。由于第一次世界大戰(zhàn)后經(jīng)濟(jì)不景氣，狄拉克畢業(yè)后沒能找到一份工程師的工作，于是繼續(xù)在布里斯托大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)——筆者以為這是成就狄拉克在科學(xué)史上地位的關(guān)鍵因素。1923年，狄拉克獲得了劍橋大學(xué)的獎(jiǎng)學(xué)金進(jìn)入劍橋，師從 Ralph Howard Fowler ，于 1926年獲得博士學(xué)位，論文題目就簡(jiǎn)單的兩個(gè)字 “Quantum Mechanics” (圖2)。筆者猜測(cè)這應(yīng)該是歷史上題目最短的博士論文吧。狄拉克的博士論文72頁(yè)，里面不僅有一般算符的量子對(duì)易式，還有量子統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容，后來(lái)被命名為費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)。狄拉克的博士論文在歐洲大陸引起了強(qiáng)烈反響，包括引起了愛因斯坦的注意。愛因斯坦談?wù)摰依说恼撐?，“I have trouble with Dirac. This balancing on the dizzying path between genius and madness is awful (那個(gè)狄拉克讓我感到困惑。在天才與瘋狂之間令人暈眩的小路上的平衡，太酷了)”。數(shù)學(xué)不是很強(qiáng)的人讀狄拉克的論文，容易有這種感覺。

圖2. 狄拉克博士論文的首頁(yè)

狄拉克在1933年因“發(fā)現(xiàn)原子理論的富有成果的新形式 (for the discovery of new productive forms of atomic theory) ”獲得諾貝爾物理獎(jiǎng)，那時(shí)他依然連個(gè)女朋友都沒有，這就留下了物理學(xué)史上一樁非常有趣的軼事。1933年，分享當(dāng)年諾貝爾獎(jiǎng)的薛定諤、狄拉克和1932年諾獎(jiǎng)得主海森堡在火車站碰頭時(shí)照了一張合照 (圖3)。照片中，還有三位女士，一位是薛定諤的妻子，其他兩位則分別是海森堡的媽媽和狄拉克的媽媽。一個(gè)劍橋大學(xué)盧卡斯講席教授、諾獎(jiǎng)得主連個(gè)女朋友都沒有，也確實(shí)讓朋友們操心。熱心的著名數(shù)學(xué)物理教授維格納（Eugene Wigner, 1902-1995）把自己的妹妹介紹給了狄拉克。狄拉克于1937年結(jié)婚，與妻子廝守一生。

圖3. 1933年狄拉克、海森堡和薛定諤領(lǐng)諾獎(jiǎng)前的合照。左起：海森堡媽、薛定諤妻子、狄拉克媽、狄拉克、海森堡、薛定諤

1932年到1969年狄拉克是劍橋大學(xué)的盧卡斯講席教授，那是牛頓曾占據(jù)的位置。1970年，狄拉克定居于美國(guó)弗羅里達(dá)州，在那里的邁阿密大學(xué)和佛羅里達(dá)州立大學(xué)講學(xué)和研究。狄拉克1984年逝世于弗羅里達(dá)的Tallahassee, 并葬在那里。狄拉克的墓地是值得后世物理學(xué)家朝拜的地方，紀(jì)念碑上刻有著名的狄拉克方程的簡(jiǎn)寫形式 (圖4)。略復(fù)雜一點(diǎn)的、指明其是 (3,1) 維時(shí)空上一階微分方程的狄拉克方程形式見圖5。為了紀(jì)念狄拉克，后人設(shè)立了不少以狄拉克命名的獎(jiǎng)項(xiàng)，比如英國(guó)物理協(xié)會(huì) (Institute of physics) 設(shè)立的狄拉克獎(jiǎng)，其目的為表彰獲獎(jiǎng)人“對(duì)理論物理的杰出貢獻(xiàn)”。

圖4. 狄拉克的紀(jì)念碑，上面刻有狄拉克方程

圖5. 筆者在電子白板上寫下的標(biāo)準(zhǔn)形式的狄拉克方程
獨(dú)具一格的研究方式

狄拉克對(duì)量子力學(xué)，包括量子統(tǒng)計(jì)，的貢獻(xiàn)是多方面的，此處無(wú)法一一詳述。茲基于筆者的個(gè)人理解轉(zhuǎn)寫兩例。1925年9月，導(dǎo)師把海森堡1925年7月29日提交的一篇論文 (Heisenberg, über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen (論運(yùn)動(dòng)學(xué)與力學(xué)關(guān)系的量子理論詮釋), Zeitschrift für Physik, 33, 879-893, 1925. 此文為玻恩、海森堡、約當(dāng)?shù)木仃嚵W(xué)三部曲的第一篇) 交到狄拉克手里，讓他研究研究。在海森堡的這篇文章里有對(duì)易關(guān)系式 (x, p)=xp-px=i?。狄拉克迅速認(rèn)識(shí)到，量子對(duì)易關(guān)系和經(jīng)典力學(xué)的泊松括號(hào)很相似。狄拉克問(wèn)自己一個(gè)問(wèn)題，量子力學(xué)中一般力學(xué)量之間的對(duì)易關(guān)系該是什么樣的？從泊松括號(hào)出發(fā)，狄拉克演算泊松括號(hào)[u1u2, v1v2]， 得出了[u, v]/(u, v)是普適的結(jié)論。比照(x, p)=i?, [x, p]=1，于是有結(jié)論(u, v)=i?[u, v]。讓筆者震驚的是，狄拉克此處一上來(lái)就是“開拓性”地開展研究，就是那種沒有路就趟出一條路的感覺。筆者覺得，自打泊松括號(hào)于1809年被引入至今，想到過(guò)要計(jì)算和計(jì)算過(guò)[u1u2, v1v2]的，可能就狄拉克一人。所謂“亙古一人”， 看看狄拉克我還真就信了。

1928年，狄拉克著手構(gòu)造相對(duì)論版的量子力學(xué)波動(dòng)方程，為此要從相對(duì)論能量關(guān)系出發(fā)，要滿足哈密頓量H (對(duì)應(yīng)能量E) 在方程中以線性形式出現(xiàn)的要求。狄拉克認(rèn)識(shí)到要做形式的展開，為此要引入滿足條件的數(shù)**[2]。一通操作后，狄拉克得到了狄拉克方程 ，這是 (電子的) 相對(duì)論性量子力學(xué)方程，其中程是狄拉克矩陣 (4×4的矩陣)。關(guān)于這個(gè)構(gòu)造過(guò)程的具體細(xì)節(jié)，狄拉克在《量子力學(xué)原理》一書的第11章有詳細(xì)的描述。狄拉克方程中的波函數(shù)是四分量的。為了詮釋狄拉克方程及其解，狄拉克于1931年提出了正電子 (positive electron, positron)的概念。1932年，正電子被觀察到 (圖6)。正電子的概念后來(lái)拓展出了反粒子和反物質(zhì)的概念。筆者大膽設(shè)想，狄拉克的這段故事，應(yīng)該納入我們的少年讀本，要讓我們的少年明白，你可以有創(chuàng)造的自覺。

圖6. 1932年秋在宇宙射線撞擊原子核實(shí)驗(yàn)中觀察到的電子-正電子對(duì)產(chǎn)生事件

就狄拉克創(chuàng)立相對(duì)論量子力學(xué)方程的工作，楊振寧先生說(shuō)他曾長(zhǎng)時(shí)間考慮也找不到恰當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)表達(dá)，直到他讀到了高適在《答侯少府》中的詩(shī)句：“性靈出萬(wàn)象，風(fēng)骨超常倫?！?“我非常高興，覺得用這兩句詩(shī)來(lái)描述狄拉克方程和反粒子理論是再好沒有了：一方面狄拉克方程確實(shí)包羅萬(wàn)象，而用“出”字描述狄拉克的靈感尤為傳神。”

獨(dú)具一格的表述方式

沉默寡言的狄拉克是杰出的、獨(dú)具一格的物理學(xué)表述者。那個(gè)點(diǎn)狀分布函數(shù)，雖然在20世紀(jì)初愛因斯坦就將之應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)物理，但是卻被命名為狄拉克函數(shù)，或者狄拉克δ-函數(shù)。狄拉克δ-函數(shù)，定義為當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)δ(x)≠0，且。狄拉克在表達(dá)一些狀態(tài)矢量的歸一化時(shí)用到了這個(gè)函數(shù)，并引入記號(hào)δ(x)。狄拉克δ-函數(shù)可理解為總量一定的量 (unit impulse) 集中于一個(gè)無(wú)窮小的區(qū)域，經(jīng)常會(huì)被用一些有一定寬度的連續(xù)函數(shù)取代，其中 a 是個(gè)參數(shù)，只要，且當(dāng) a→a0 時(shí)只有 f(0, a0)≠0。如果要描述一連串等間距的這樣的分布，可引入函數(shù)，稱為狄拉克梳 (Dirac comb)，見圖7。狄拉克梳是非常重要的等間距無(wú)窮大勢(shì)壘散射問(wèn)題的模型體系。狄拉克引入的一個(gè)重要符號(hào)體系是表示量子態(tài)及其共軛的符號(hào) (ket) 和 (bra)， 他將之命名為 bra 和 ket ， 其實(shí)就是將英文bracket (括號(hào)) 拆成兩半。不要小瞧這個(gè)記號(hào)，它極大地方便了量子力學(xué)的計(jì)算。比如， 一個(gè)簡(jiǎn)單的就說(shuō)清楚了本征量子態(tài)構(gòu)成完備集的要求。

圖7. 故宮屋檐的冰溜子，妥妥的狄拉克梳的具象化

僅僅引入兩個(gè)符號(hào)體系當(dāng)然不足以支撐一個(gè)人的物理巨擘地位，狄拉克還是物理學(xué)的傳播者和表達(dá)者 (圖8)，而且很多內(nèi)容是他個(gè)人的創(chuàng)造。狄拉克給我們留下的物理學(xué)著作名錄如下：

The principles of quantum mechanics (量子力學(xué)原理), 1930；2. Lectures on quantum mechanics (量子力學(xué)講義), 1966；3. Lectures on quantum field theory (量子場(chǎng)論講義), 1966；4. Spinors in Hilbert space (希爾伯特空間里的旋量), 1974；5. General theory of relativity (廣義相對(duì)論), 1975；6. Directions of physics (物理學(xué)的方向), 1978；

這里的每一篇都是經(jīng)典之作。筆者仔細(xì)讀過(guò)的兩本為《量子力學(xué)原理》(圖9) 和《廣義相對(duì)論》(圖10)?？赡苁且?yàn)榈依藢?duì)物理的理解太通透，他的著作的一大特點(diǎn)是思路清晰。楊振寧先生說(shuō)狄拉克的文章是“秋水文章不染塵”，筆者以為此乃描述而非贊譽(yù)。筆者初讀狄拉克的《量子力學(xué)原理》時(shí)是在上世紀(jì)八十年代末，對(duì)其風(fēng)格非常不習(xí)慣。很久很久以后我才明白，狄拉克的《量子力學(xué)原理》不是課本 (textbook)，他是以一個(gè)量子力學(xué)奠基人的身份在給你講述量子力學(xué)被創(chuàng)造的過(guò)程，娓娓道來(lái)，仿佛是在敘說(shuō)從來(lái)就有的一個(gè)故事或者傳說(shuō)。從追尋真實(shí)的學(xué)問(wèn)創(chuàng)造過(guò)程的角度去讀《量子力學(xué)原理》，便能理解這本書對(duì)物理學(xué)家教育的意義。愚以為，這本書的一個(gè)重要意義在于提醒你，你也可以把自己擺在未來(lái)學(xué)問(wèn)創(chuàng)造者的位置上去學(xué)習(xí)學(xué)問(wèn)。《量子力學(xué)原理》一書第一次印刷是在1930年5月，那時(shí)的狄拉克博士還不足28歲。

圖8. 正在講授兩粒子體系量子力學(xué)的狄拉克教授

圖9. 狄拉克1930著 《量子力學(xué)原理》

圖10. 筆者打印的狄拉克1975年著《廣義相對(duì)論》

《廣義相對(duì)論》是狄拉克1975年在美國(guó)所作，那時(shí)候他早已是物理學(xué)界的泰斗，對(duì)于所有的理論知識(shí)應(yīng)該說(shuō)他都是爐火純青?！稄V義相對(duì)論》短短的69頁(yè)，但確實(shí)把關(guān)于廣義相對(duì)論該說(shuō)的，從彎曲空間的矢量平行移動(dòng)、張量的正則和表示到愛因斯坦場(chǎng)方程以及引力波為什么自旋為2，都說(shuō)清楚了。

多余的話

狄拉克是那種可以稱為數(shù)學(xué)巫師 (mathemtatical wizard) 的物理學(xué)家，秉承了牛頓、哈密頓、克里福德、開爾文爵士等一路傳承下來(lái)的英倫數(shù)學(xué)傳統(tǒng)。孕育思想，用清晰的、有時(shí)候必須是新創(chuàng)的數(shù)學(xué)表達(dá)出來(lái)，最后帶來(lái)嶄新的物理，這樣的二十世紀(jì)的物理研究風(fēng)格見于愛因斯坦、狄拉克、楊振寧先生的成就中。這種的研究方式具有強(qiáng)烈的個(gè)人主義色彩，作為一個(gè)思想者，孤獨(dú)的思想者，沉默的思想者，讓狄拉克們具有獨(dú)特的人格魅力。與愛因斯坦、狄拉克、楊振寧先生這樣的獨(dú)行俠相比，便是索末菲、玻恩、朗道這樣的學(xué)派領(lǐng)袖畢竟稍嫌遜色一些。于思想者而言，學(xué)派總未必是體面的事情。

狄拉克的個(gè)人魅力更在于其鮮有其匹的純凈心靈，他被譽(yù)為 “科學(xué)界的莫扎特”(The Mozart of science)，“物理學(xué)界最純粹的靈魂” (The purest soul in physics)。狄拉克是個(gè)淡泊名利的人，他把費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)稱為費(fèi)米統(tǒng)計(jì)[3]，把海森堡圖景下的算符運(yùn)動(dòng)方程稱為海森堡運(yùn)動(dòng)方程 (Heisenberg equation of motion)，但這方程卻是他推導(dǎo)出來(lái)的。在狄拉克的論文、講座和著作中，你看到的只是自然之理和自然之美，卻沒有一點(diǎn)學(xué)問(wèn)以外的雜質(zhì)。他于1955年在莫斯科大學(xué)的黑板上寫下的口號(hào)“物理定律要具有數(shù)學(xué)美” (Physical laws should have mathematical beauty) 是對(duì)到那時(shí)三百余年的數(shù)學(xué)物理的簡(jiǎn)明總結(jié)，也是為未來(lái)理論物理發(fā)展定下的格調(diào)。

想起了拉普拉斯的一句話，“閱讀歐拉，閱讀歐拉，他是我們所有人的導(dǎo)師！”在如今這個(gè)技術(shù)超越了神話的時(shí)代，量子力學(xué)應(yīng)該成為受教育者的知識(shí)標(biāo)配。在紀(jì)念狄拉克誕辰120周年的日子里，讓我們也閱讀狄拉克，在領(lǐng)略自然的理性之美的同時(shí)， 也學(xué)著建立起一個(gè)知識(shí)創(chuàng)造者的自覺。

參考文獻(xiàn)

1. Helge Kragh, Dirac: A Scientific Biography, Cambridge University Press (1990).

2. Graham Farmelo, The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac, Mystic of the Atom, Basic Books (2009).

3. Abraham Pais, Paul Dirac: The Man and his Work, Cambridge University Press (1998).

4. Behram N. Kursunoglu, Eugene P. Wigner (ed.), Reminiscencese about a great physicist: Paul Adrien Maurice Dirac, Cambridge University Press (1987).

5. Helge Kragh, Varying gravity, Dirac's legacy in cosmology and geophysics, Birkh?user (2016).

注釋

[1] 我有一個(gè)方程。你也有嗎？見于 Anthony Zee, Quantum field theory in a nutshell, Princeton University Press (2010).

[2] 德國(guó)人Hermann Grassmann (1809-1877)早準(zhǔn)備好了這樣的反對(duì)稱的數(shù) [3] 對(duì)稱地，他稱玻色-愛因斯坦統(tǒng)計(jì)為玻色統(tǒng)計(jì)。物理上一直把玻色-愛因斯坦統(tǒng)計(jì)同費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)看作是對(duì)稱的、對(duì)等的，對(duì)此筆者不敢茍同。容筆者有機(jī)會(huì)專文討論

出品：科普中國(guó)