【創(chuàng)作培育計劃】默然純粹映秋水丨紀念量子力學奠基人狄拉克誕辰120周年

撰文 | 曹則賢（中國科學院物理研究所）I have an equation. Do you have one too?

——Paul Adrien Maurice Dirac[1]

摘要 狄拉克是物理學史上的一座豐碑，思想深邃，風格輕靈，表現(xiàn)出典型的英倫數(shù)學物理傳統(tǒng)。狄拉克方程是內(nèi)含四元數(shù)和旋量的量子力學方程，由此而來的反粒子概念拓展了微觀粒子的世界。狄拉克的著作風格被楊振寧先生譽為“秋水文章不染塵”，其對量子力學、量子場論、廣義相對論、旋量理論、電磁學的闡述都是經(jīng)典之作，特點是簡明易懂。尤其令人敬仰的是狄拉克的純粹心靈，他始終關(guān)注的是物理學本身而非物理學 (者) 的社會內(nèi)容。狄拉克沉默寡言，作為社會學單位的狄拉克 (1 狄拉克=1字/小時) 也許是狄拉克留給人類社會的最有趣的貢獻。

引子

量子力學是人類二十世紀最偉大的思想成就。粗略說來，量子力學的大致框架由作用量量子h (光能量量子為E=hv)，正則量子化條件 (x, p)=i? 以及由此而來的動量的算符表示，薛定諤方程 (1926)，泡利方程 (1927)，狄拉克方程 (1928) 這些內(nèi)容構(gòu)成。配合偏微分方程、線性代數(shù)與線性空間理論、算子代數(shù)、譜理論、變分原理、復數(shù)、復變函數(shù)、群論、旋量理論等方面的數(shù)學基礎(chǔ)知識，就能談論初等量子力學了。量子力學的建立得益于二十世紀初一批物理學家的頭腦風暴。置身于量子力學的一眾奠基者中，狄拉克依然是才華卓越、風姿超群的那位。

狄拉克小傳

狄拉克 (Paul Adrien Maurice Dirac, 1902.08.08-1984.10.20) 出生于英國布里斯托一個普通家庭。狄拉克的母親是英國人，父親是來自瑞士，1919年才歸化英國。筆者記得曾讀到過，狄拉克祖上源自法國香檳省的某個地方。類似德語的Donau (多瑙河)、 Aarau (愛因斯坦在瑞士上中學的小鎮(zhèn)) 里的-au是草地，漢語張莊、趙莊里的‘莊’是村子，法語的-ac也是用來標記地名的，據(jù)說狄拉克祖上所在那一片的村子包括著名的Cognac (干邑白蘭地) 和Cadillac (卡迪拉克車)，當然還有 Dirac村。狄拉克的父親在中學教法語，在家里要求孩子說法語。由于法語語法實在是繁瑣，異國的孩子，或者說孩子在異國，很難把法語說完美了。狄拉克的父親對待孩子過于嚴厲，孩子法語說得不正確是要受體罰的。因為害怕法語說得不對會挨打，狄拉克小時候就盡可能避免說話，這讓他養(yǎng)成了沉默寡言的習慣 (圖1)。有文獻稱，狄拉克在劍橋的同事打趣建議把狄拉克當成計量單位，用來表征人的健談程度， 1 狄拉克=1字/小時 (1 Dirac= 1 word per hour)。筆者斗膽地說，沉默寡言可能有助于進入深度思考的狀態(tài)，是好事兒。子曰：“君子欲訥于言而敏于行”，這話是有道理的。

圖1. 五歲時的狄拉克

狄拉克1921年畢業(yè)于布里斯托大學學電氣工程。由于第一次世界大戰(zhàn)后經(jīng)濟不景氣，狄拉克畢業(yè)后沒能找到一份工程師的工作，于是繼續(xù)在布里斯托大學學習數(shù)學——筆者以為這是成就狄拉克在科學史上地位的關(guān)鍵因素。1923年，狄拉克獲得了劍橋大學的獎學金進入劍橋，師從 Ralph Howard Fowler ，于 1926年獲得博士學位，論文題目就簡單的兩個字 “Quantum Mechanics” (圖2)。筆者猜測這應該是歷史上題目最短的博士論文吧。狄拉克的博士論文72頁，里面不僅有一般算符的量子對易式，還有量子統(tǒng)計的內(nèi)容，后來被命名為費米-狄拉克統(tǒng)計。狄拉克的博士論文在歐洲大陸引起了強烈反響，包括引起了愛因斯坦的注意。愛因斯坦談論狄拉克的論文，“I have trouble with Dirac. This balancing on the dizzying path between genius and madness is awful (那個狄拉克讓我感到困惑。在天才與瘋狂之間令人暈眩的小路上的平衡，太酷了)”。數(shù)學不是很強的人讀狄拉克的論文，容易有這種感覺。

圖2. 狄拉克博士論文的首頁

狄拉克在1933年因“發(fā)現(xiàn)原子理論的富有成果的新形式 (for the discovery of new productive forms of atomic theory) ”獲得諾貝爾物理獎，那時他依然連個女朋友都沒有，這就留下了物理學史上一樁非常有趣的軼事。1933年，分享當年諾貝爾獎的薛定諤、狄拉克和1932年諾獎得主海森堡在火車站碰頭時照了一張合照 (圖3)。照片中，還有三位女士，一位是薛定諤的妻子，其他兩位則分別是海森堡的媽媽和狄拉克的媽媽。一個劍橋大學盧卡斯講席教授、諾獎得主連個女朋友都沒有，也確實讓朋友們操心。熱心的著名數(shù)學物理教授維格納（Eugene Wigner, 1902-1995）把自己的妹妹介紹給了狄拉克。狄拉克于1937年結(jié)婚，與妻子廝守一生。

圖3. 1933年狄拉克、海森堡和薛定諤領(lǐng)諾獎前的合照。左起：海森堡媽、薛定諤妻子、狄拉克媽、狄拉克、海森堡、薛定諤

1932年到1969年狄拉克是劍橋大學的盧卡斯講席教授，那是牛頓曾占據(jù)的位置。1970年，狄拉克定居于美國弗羅里達州，在那里的邁阿密大學和佛羅里達州立大學講學和研究。狄拉克1984年逝世于弗羅里達的Tallahassee, 并葬在那里。狄拉克的墓地是值得后世物理學家朝拜的地方，紀念碑上刻有著名的狄拉克方程的簡寫形式 (圖4)。略復雜一點的、指明其是 (3,1) 維時空上一階微分方程的狄拉克方程形式見圖5。為了紀念狄拉克，后人設立了不少以狄拉克命名的獎項，比如英國物理協(xié)會 (Institute of physics) 設立的狄拉克獎，其目的為表彰獲獎人“對理論物理的杰出貢獻”。

圖4. 狄拉克的紀念碑，上面刻有狄拉克方程

圖5. 筆者在電子白板上寫下的標準形式的狄拉克方程
獨具一格的研究方式

狄拉克對量子力學，包括量子統(tǒng)計，的貢獻是多方面的，此處無法一一詳述。茲基于筆者的個人理解轉(zhuǎn)寫兩例。1925年9月，導師把海森堡1925年7月29日提交的一篇論文 (Heisenberg, über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen (論運動學與力學關(guān)系的量子理論詮釋), Zeitschrift für Physik, 33, 879-893, 1925. 此文為玻恩、海森堡、約當?shù)木仃嚵W三部曲的第一篇) 交到狄拉克手里，讓他研究研究。在海森堡的這篇文章里有對易關(guān)系式 (x, p)=xp-px=i?。狄拉克迅速認識到，量子對易關(guān)系和經(jīng)典力學的泊松括號很相似。狄拉克問自己一個問題，量子力學中一般力學量之間的對易關(guān)系該是什么樣的？從泊松括號出發(fā)，狄拉克演算泊松括號[u1u2, v1v2]， 得出了[u, v]/(u, v)是普適的結(jié)論。比照(x, p)=i?, [x, p]=1，于是有結(jié)論(u, v)=i?[u, v]。讓筆者震驚的是，狄拉克此處一上來就是“開拓性”地開展研究，就是那種沒有路就趟出一條路的感覺。筆者覺得，自打泊松括號于1809年被引入至今，想到過要計算和計算過[u1u2, v1v2]的，可能就狄拉克一人。所謂“亙古一人”， 看看狄拉克我還真就信了。

1928年，狄拉克著手構(gòu)造相對論版的量子力學波動方程，為此要從相對論能量關(guān)系出發(fā)，要滿足哈密頓量H (對應能量E) 在方程中以線性形式出現(xiàn)的要求。狄拉克認識到要做形式的展開，為此要引入滿足條件的數(shù)**[2]。一通操作后，狄拉克得到了狄拉克方程 ，這是 (電子的) 相對論性量子力學方程，其中程是狄拉克矩陣 (4×4的矩陣)。關(guān)于這個構(gòu)造過程的具體細節(jié)，狄拉克在《量子力學原理》一書的第11章有詳細的描述。狄拉克方程中的波函數(shù)是四分量的。為了詮釋狄拉克方程及其解，狄拉克于1931年提出了正電子 (positive electron, positron)的概念。1932年，正電子被觀察到 (圖6)。正電子的概念后來拓展出了反粒子和反物質(zhì)的概念。筆者大膽設想，狄拉克的這段故事，應該納入我們的少年讀本，要讓我們的少年明白，你可以有創(chuàng)造的自覺。

圖6. 1932年秋在宇宙射線撞擊原子核實驗中觀察到的電子-正電子對產(chǎn)生事件

就狄拉克創(chuàng)立相對論量子力學方程的工作，楊振寧先生說他曾長時間考慮也找不到恰當?shù)脑u價表達，直到他讀到了高適在《答侯少府》中的詩句：“性靈出萬象，風骨超常倫。” “我非常高興，覺得用這兩句詩來描述狄拉克方程和反粒子理論是再好沒有了：一方面狄拉克方程確實包羅萬象，而用“出”字描述狄拉克的靈感尤為傳神?！?/p>

獨具一格的表述方式

沉默寡言的狄拉克是杰出的、獨具一格的物理學表述者。那個點狀分布函數(shù)，雖然在20世紀初愛因斯坦就將之應用于統(tǒng)計物理，但是卻被命名為狄拉克函數(shù)，或者狄拉克δ-函數(shù)。狄拉克δ-函數(shù)，定義為當且僅當x=0時δ(x)≠0，且。狄拉克在表達一些狀態(tài)矢量的歸一化時用到了這個函數(shù)，并引入記號δ(x)。狄拉克δ-函數(shù)可理解為總量一定的量 (unit impulse) 集中于一個無窮小的區(qū)域，經(jīng)常會被用一些有一定寬度的連續(xù)函數(shù)取代，其中 a 是個參數(shù)，只要，且當 a→a0 時只有 f(0, a0)≠0。如果要描述一連串等間距的這樣的分布，可引入函數(shù)，稱為狄拉克梳 (Dirac comb)，見圖7。狄拉克梳是非常重要的等間距無窮大勢壘散射問題的模型體系。狄拉克引入的一個重要符號體系是表示量子態(tài)及其共軛的符號 (ket) 和 (bra)， 他將之命名為 bra 和 ket ， 其實就是將英文bracket (括號) 拆成兩半。不要小瞧這個記號，它極大地方便了量子力學的計算。比如， 一個簡單的就說清楚了本征量子態(tài)構(gòu)成完備集的要求。

圖7. 故宮屋檐的冰溜子，妥妥的狄拉克梳的具象化

僅僅引入兩個符號體系當然不足以支撐一個人的物理巨擘地位，狄拉克還是物理學的傳播者和表達者 (圖8)，而且很多內(nèi)容是他個人的創(chuàng)造。狄拉克給我們留下的物理學著作名錄如下：

The principles of quantum mechanics (量子力學原理), 1930；2. Lectures on quantum mechanics (量子力學講義), 1966；3. Lectures on quantum field theory (量子場論講義), 1966；4. Spinors in Hilbert space (希爾伯特空間里的旋量), 1974；5. General theory of relativity (廣義相對論), 1975；6. Directions of physics (物理學的方向), 1978；

這里的每一篇都是經(jīng)典之作。筆者仔細讀過的兩本為《量子力學原理》(圖9) 和《廣義相對論》(圖10)?？赡苁且驗榈依藢ξ锢淼睦斫馓ㄍ?，他的著作的一大特點是思路清晰。楊振寧先生說狄拉克的文章是“秋水文章不染塵”，筆者以為此乃描述而非贊譽。筆者初讀狄拉克的《量子力學原理》時是在上世紀八十年代末，對其風格非常不習慣。很久很久以后我才明白，狄拉克的《量子力學原理》不是課本 (textbook)，他是以一個量子力學奠基人的身份在給你講述量子力學被創(chuàng)造的過程，娓娓道來，仿佛是在敘說從來就有的一個故事或者傳說。從追尋真實的學問創(chuàng)造過程的角度去讀《量子力學原理》，便能理解這本書對物理學家教育的意義。愚以為，這本書的一個重要意義在于提醒你，你也可以把自己擺在未來學問創(chuàng)造者的位置上去學習學問?！读孔恿W原理》一書第一次印刷是在1930年5月，那時的狄拉克博士還不足28歲。

圖8. 正在講授兩粒子體系量子力學的狄拉克教授

圖9. 狄拉克1930著 《量子力學原理》

圖10. 筆者打印的狄拉克1975年著《廣義相對論》

《廣義相對論》是狄拉克1975年在美國所作，那時候他早已是物理學界的泰斗，對于所有的理論知識應該說他都是爐火純青。《廣義相對論》短短的69頁，但確實把關(guān)于廣義相對論該說的，從彎曲空間的矢量平行移動、張量的正則和表示到愛因斯坦場方程以及引力波為什么自旋為2，都說清楚了。

多余的話

狄拉克是那種可以稱為數(shù)學巫師 (mathemtatical wizard) 的物理學家，秉承了牛頓、哈密頓、克里福德、開爾文爵士等一路傳承下來的英倫數(shù)學傳統(tǒng)。孕育思想，用清晰的、有時候必須是新創(chuàng)的數(shù)學表達出來，最后帶來嶄新的物理，這樣的二十世紀的物理研究風格見于愛因斯坦、狄拉克、楊振寧先生的成就中。這種的研究方式具有強烈的個人主義色彩，作為一個思想者，孤獨的思想者，沉默的思想者，讓狄拉克們具有獨特的人格魅力。與愛因斯坦、狄拉克、楊振寧先生這樣的獨行俠相比，便是索末菲、玻恩、朗道這樣的學派領(lǐng)袖畢竟稍嫌遜色一些。于思想者而言，學派總未必是體面的事情。

狄拉克的個人魅力更在于其鮮有其匹的純凈心靈，他被譽為 “科學界的莫扎特”(The Mozart of science)，“物理學界最純粹的靈魂” (The purest soul in physics)。狄拉克是個淡泊名利的人，他把費米-狄拉克統(tǒng)計稱為費米統(tǒng)計[3]，把海森堡圖景下的算符運動方程稱為海森堡運動方程 (Heisenberg equation of motion)，但這方程卻是他推導出來的。在狄拉克的論文、講座和著作中，你看到的只是自然之理和自然之美，卻沒有一點學問以外的雜質(zhì)。他于1955年在莫斯科大學的黑板上寫下的口號“物理定律要具有數(shù)學美” (Physical laws should have mathematical beauty) 是對到那時三百余年的數(shù)學物理的簡明總結(jié)，也是為未來理論物理發(fā)展定下的格調(diào)。

想起了拉普拉斯的一句話，“閱讀歐拉，閱讀歐拉，他是我們所有人的導師！”在如今這個技術(shù)超越了神話的時代，量子力學應該成為受教育者的知識標配。在紀念狄拉克誕辰120周年的日子里，讓我們也閱讀狄拉克，在領(lǐng)略自然的理性之美的同時， 也學著建立起一個知識創(chuàng)造者的自覺。

參考文獻

1. Helge Kragh, Dirac: A Scientific Biography, Cambridge University Press (1990).

2. Graham Farmelo, The Strangest Man: The Hidden Life of Paul Dirac, Mystic of the Atom, Basic Books (2009).

3. Abraham Pais, Paul Dirac: The Man and his Work, Cambridge University Press (1998).

4. Behram N. Kursunoglu, Eugene P. Wigner (ed.), Reminiscencese about a great physicist: Paul Adrien Maurice Dirac, Cambridge University Press (1987).

5. Helge Kragh, Varying gravity, Dirac's legacy in cosmology and geophysics, Birkh?user (2016).

注釋

[1] 我有一個方程。你也有嗎？見于 Anthony Zee, Quantum field theory in a nutshell, Princeton University Press (2010).

[2] 德國人Hermann Grassmann (1809-1877)早準備好了這樣的反對稱的數(shù) [3] 對稱地，他稱玻色-愛因斯坦統(tǒng)計為玻色統(tǒng)計。物理上一直把玻色-愛因斯坦統(tǒng)計同費米-狄拉克統(tǒng)計看作是對稱的、對等的，對此筆者不敢茍同。容筆者有機會專文討論

出品：科普中國