[科普中國]-分形幾何的發(fā)現(xiàn)

如果那你曾經(jīng)見過雪花，那你也許會像眾多文學(xué)家一樣驚嘆于它的魅力和形狀。事實上在1904年，瑞典數(shù)學(xué)家海里格·馮·科赫就描述了一種分形曲線——科赫雪花，這也是最早被描述出來的分形曲線之一。

也正是科赫總結(jié)并超越了德國數(shù)學(xué)家魏爾施特拉斯關(guān)于分形的抽象和分析定義，給出了一個更加幾何化的定義并描述了科赫曲線的構(gòu)造方法。

給定一個直線線段，將它三等分，在中間的分段中加入一個等邊三角形；去掉這個三角形的底邊；將這個最新得到的等邊三角形的兩條邊進行三等分，依舊以中段為底做出等邊三角形并去掉這個底邊；這樣一步一步進行分段，當次數(shù)越來越多時，科赫曲線的長度也會越來越長。當分段次數(shù)無限大時，科赫曲線的長度也會無限長。如果給出三段初始的科赫線段構(gòu)成一個等邊三角形，那么這三段科赫曲線將會組成科赫雪花的分形圖案。

在1904年科赫具體提出分形的概念之前，分形的數(shù)學(xué)思想可以追溯到17世紀。數(shù)學(xué)家萊布尼茨就思考了遞歸的自相似性，萊布尼茨也曾經(jīng)在他的著作中使用了分數(shù)指數(shù)一詞，并感慨幾何學(xué)中尚未有人進行這方面的工作。這一想法在當時屬于新興概念，之后也很少有科學(xué)家對這樣的概念做進一步的解釋和發(fā)展，大抵是因為當時對新概念的抵觸心態(tài)。因此直到兩百年之后的1872年，德國數(shù)學(xué)家魏爾施特拉斯形式化地定義了函數(shù)和函數(shù)的圖，在今天也被認為具有分型的思想。1883年，德國數(shù)學(xué)家康托爾提出了康托爾集，說的是位于一條線段上的一些點的集合具有許多顯著和深刻的特質(zhì)?？低袪柤於爽F(xiàn)代點集拓撲學(xué)的基礎(chǔ)，其中最常見的一種康托爾集的構(gòu)造就是康托爾三分點集，是通過去掉三分線段的中間一段得到的。

在前人的基礎(chǔ)上，科赫總結(jié)出了分形的最初的具體概念。曼德勃羅最早總結(jié)了分形圖形的特點，大意便是分形圖形的沒一個小部分經(jīng)過放大后都可以與整體一樣。而事實上，自相似性可能表現(xiàn)為類似科赫雪花一樣精確的自相似性；也可能表現(xiàn)為準自相似性，即小集合可能包含近似，但并非精確的大集合的副本；也可能是統(tǒng)計自相似性，即隨機生成的分形圖案，隨機地重復(fù)一種模式，這種情況下的數(shù)值或統(tǒng)計量度能夠在不同尺度上得以保留；還有可能是如同時間序列那樣的定性自相似性；或者多重分形縮放，以不止一個分形維數(shù)作為特征進行分形變化。

所謂分形幾何也可以說是研究不規(guī)則曲線的幾何學(xué)，目前分形幾何已經(jīng)在包括物理、建筑學(xué)、計算機、醫(yī)學(xué)甚至藝術(shù)的眾多領(lǐng)域中得以廣泛應(yīng)用。

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