[科普中國(guó)]-第三類(lèi)典型域

第三類(lèi)典型域(classical domain of third class)是典型域之一。典型域是多復(fù)變函數(shù)論的基本概念。Cn中不可分解對(duì)稱有界域在全純等價(jià)下分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)域稱為典型域。

概念第三類(lèi)典型域(classical domain of third class)是典型域之一。第三類(lèi)典型域：

其中Z′=-Z，即Z由n(n-1)/2個(gè)獨(dú)立變量：

構(gòu)成，又：

典型域典型域是多復(fù)變函數(shù)論的基本概念。Cn中不可分解對(duì)稱有界域在全純等價(jià)下分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)域稱為典型域。它們有四大類(lèi)和兩個(gè)特殊的域，分別在16維及27維復(fù)歐氏空間中，這兩個(gè)域也稱為例外典型域。

多復(fù)變函數(shù)論多復(fù)變函數(shù)論是研究多個(gè)復(fù)變量的全純函數(shù)的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)的學(xué)科，是分析學(xué)的一個(gè)分支，有時(shí)也稱之為多復(fù)分析。

多復(fù)變函數(shù)論的研究，早在單復(fù)變函數(shù)論的黎曼和外爾斯特拉斯時(shí)代就已經(jīng)零散地開(kāi)始了。但真正標(biāo)志著多復(fù)變函數(shù)論這一學(xué)科創(chuàng)立的，是19世紀(jì)末和20世紀(jì)初龐加萊、庫(kù)辛和哈托格斯等人的工作。他們的工作揭示了多復(fù)變?nèi)兒瘮?shù)本質(zhì)上的獨(dú)特性。在這當(dāng)中，庫(kù)辛提出的關(guān)于全純函數(shù)整體性質(zhì)的兩個(gè)以他的名字命名的問(wèn)題以及列維提出的擬凸域和全純域是否等價(jià)的問(wèn)題，更有著深遠(yuǎn)的影響，長(zhǎng)時(shí)間成為多復(fù)變函數(shù)論發(fā)展的推動(dòng)因素。20世紀(jì)30年代以前，雖然出現(xiàn)過(guò)萊因哈特關(guān)于解析自同構(gòu)群、伯格曼關(guān)于核函數(shù)和度量等方面的重要工作，但整體說(shuō)來(lái)，多復(fù)變函數(shù)論處于相對(duì)沉寂時(shí)期。從20世紀(jì)30年代開(kāi)始，多復(fù)變函數(shù)的研究迎來(lái)了初步繁榮。在這一時(shí)期陸續(xù)出現(xiàn)了H.嘉當(dāng)關(guān)于全純自同構(gòu)的唯一性定理、有界域全純自同構(gòu)群的李群性質(zhì)以及全純域與全純凸的等價(jià)性的嘉當(dāng)—蘇倫定理等突出成果。特別是從1936年開(kāi)始，日本數(shù)學(xué)家岡潔對(duì)庫(kù)辛問(wèn)題、列維問(wèn)題、逼近問(wèn)題等多復(fù)變的中心問(wèn)題進(jìn)行了長(zhǎng)期、系統(tǒng)而富有成效的研究，終于在20世紀(jì)50年代對(duì)上述諸問(wèn)題給出了解答。他的這一系列工作對(duì)后來(lái)多復(fù)變函數(shù)的發(fā)展有著重大影響。20世紀(jì)50年代以后，和現(xiàn)代數(shù)學(xué)的綜合化、抽象化的總潮流相一致，在多復(fù)變函數(shù)論中用拓?fù)浞椒ê蛶缀畏椒ㄑ芯咳兒瘮?shù)的整體性質(zhì)的趨勢(shì)變得越來(lái)越明顯。由勒雷引進(jìn)拓?fù)鋵W(xué)的層及其上同調(diào)的概念被迅速而成功地用于多復(fù)變函數(shù)。這一概念和H.嘉當(dāng)早先關(guān)于全純函數(shù)理想論的研究以及岡潔的思想結(jié)合，導(dǎo)致了凝聚解析層理論的建立。與此同時(shí)，復(fù)空間與施泰因流形的概念也應(yīng)運(yùn)而生。H.嘉當(dāng)和塞爾系統(tǒng)地應(yīng)用凝聚層理論建立了施泰因流形的基本定理。此后不久，格勞爾特解決了復(fù)流形的列維問(wèn)題，他和雷默特、施泰因等人還大大發(fā)展了復(fù)空間的理論。整個(gè)20世紀(jì)50年代是多復(fù)變函數(shù)的黃金時(shí)代。

另一方面，近代微分幾何與復(fù)分析的相互融合也在不斷地加快步伐。1913年，外爾的黎曼曲面理論導(dǎo)致了復(fù)流形概念的建立。E.嘉當(dāng)?shù)耐馕⒎质脚c拓?fù)涞慕Y(jié)合產(chǎn)生了德·拉姆的上同調(diào)理論。以此為基礎(chǔ)，霍奇將黎曼曲面上的調(diào)和函數(shù)理論推廣到高維的緊致復(fù)流形，證明了緊復(fù)流形的基本定理——霍奇定理。20世紀(jì)40年代以后，與微分幾何中的博赫納技巧相結(jié)合，霍奇理論又由小平邦彥所發(fā)展和完善。20世紀(jì)60年代，博赫納—小平邦彥方法又進(jìn)而推廣到非緊的帶邊界的復(fù)流形，發(fā)展成為近代多復(fù)分析的一個(gè)有力工具——問(wèn)題的L估計(jì)。1

多復(fù)變函數(shù)論中具有重要意義的第三方面進(jìn)展是西格爾在1935——1950年間建立的多復(fù)變函數(shù)的自守函數(shù)論。20世紀(jì)50年代以后，由于塞爾伯格、朗蘭茨、蓋爾范德等人的工作，揭示了它與代數(shù)數(shù)論、李群的無(wú)窮維表示、代數(shù)幾何等眾多學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系，而日益成為目前極為活躍而且引人注目的近代數(shù)學(xué)領(lǐng)域之一。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

李宗秀 - 副教授 - 黑龍江財(cái)經(jīng)學(xué)院