[科普中國(guó)]-面積原理

面積原理亦稱(chēng)格朗沃爾面積定理，是∑類(lèi)函數(shù)展開(kāi)式系數(shù)的一個(gè)性質(zhì)定理。此定理由格朗沃爾(Gronwall , T. H.)于1915年提出。

簡(jiǎn)介面積原理亦稱(chēng)格朗沃爾面積定理，是∑類(lèi)函數(shù)展開(kāi)式系數(shù)的一個(gè)性質(zhì)定理，此定理由格朗沃爾(Gronwall , T. H.)于1915年提出。

該定理斷言：若 ，則 。

證明設(shè)w=u+iv=F(ζ)將圓周|ζ|=ρ（具有正向）映照成閉曲線(xiàn)Γρ，其內(nèi)部區(qū)域面積為Sρ，則

令ρ→1即得定理的前半部分。

等號(hào)成立限于 ，即得映像區(qū)域無(wú)外點(diǎn)。

應(yīng)用之所以稱(chēng)其為面積原理，是因?yàn)槎ɡ淼慕Y(jié)論是根據(jù) 的余集的面積大于零的幾何事實(shí)而得到的，這里ρ可以是任何大于1的數(shù)。

從格朗沃爾面積原理的證明可見(jiàn)，面積原理的內(nèi)容是可以推廣的，并由此可產(chǎn)生一系列美好的不等式，如格倫斯基不等式或戈魯金不等式。1

∑類(lèi)∑類(lèi)是一類(lèi)單葉函數(shù)。

它是由全體在單位圓外具有展開(kāi)式g(z)=z+b0+b1z-1+b2z-2(1