[科普中國(guó)]-合成平均

合成平均是一種特殊平均，設(shè)a>b>0，a0=a，b0=b，an，bn(n=1，2，…)分別是an-1與bn-1的算術(shù)平均與調(diào)和平均，則limn→∞an=limn→∞bn=√(ab)，這說(shuō)明幾何平均可以通過(guò)算術(shù)平均與調(diào)和平均構(gòu)成的數(shù)列得到，這種思想的一般化就是合成平均1。

基本介紹合成平均是一種特殊平均，設(shè)a>b>0，a0=a，b0=b，an，bn(n=1，2，…)分別是an-1與bn-1的算術(shù)平均與調(diào)和平均，則

這說(shuō)明幾何平均可以通過(guò)算術(shù)平均與調(diào)和平均構(gòu)成的數(shù)列得到。這種思想的一般化就是合成平均。

設(shè)a>b>0，M(a，b)，N(a，b)表示a，b的某兩種平均，定義a0=a，b0=b，an=M(an-1，bn-1)，bn=N(an-1，bn-1)，若

與

存在且相等，則這個(gè)極限值記為MN(a，b)，若

MN(a，a)=a，MN(a，b)=MN(b，a)，

則MN(a，b)稱(chēng)為a，b關(guān)于M與N的合成平均。前述結(jié)果可表示為G=AH，其中G，A，H分別表示幾何平均、算術(shù)平均、調(diào)和平均，對(duì)任意實(shí)數(shù)p，q，冪平均Mp與Mq的合成平均MpMq總存在，且MpMq=Mr當(dāng)且僅當(dāng)p+q=r=0。合成平均可交換，即1

MN=NM.

舉例說(shuō)明算術(shù)-幾何平均是一種特殊平均，即算術(shù)平均與幾何平均的合成平均，設(shè)a0=a>b=b0>0，an=1/2(an-1+bn-1)，bn=√(an-1·bn-1)，則an和bn有共同的極限，這個(gè)極限稱(chēng)為a，b的算術(shù)-幾何平均，一般記為AMG(a，b)，這是由高斯(C.F.Gauss)命名的1。

設(shè)a和b是兩個(gè)正數(shù)，定義數(shù)列和如下

這里。由算術(shù)幾何平均不等式，明顯地，．根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法容易證明數(shù)列是遞減的，而是遞增的，等價(jià)于

清楚地，

進(jìn)而得到

因此，這兩個(gè)數(shù)列有共同的極限，即

我們稱(chēng)該極限為a和b的算術(shù)-幾何平均AGM(a，b)，也有一些文獻(xiàn)用AG(a，b)表示這個(gè)平均.。Lagrange和Gauss首先研究了這個(gè)平均，但是這個(gè)平均真正的重要性以及與橢圓積分的聯(lián)系屬于Gauss，有時(shí)也稱(chēng)這個(gè)平均為Gauss算術(shù)-幾何平均2。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)