[科普中國]-阿佩爾序列

在數(shù)學(xué)中，阿佩爾序列是得名于十九世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家保羅·埃米爾·阿佩爾（Paul émile Appell）的一類多項(xiàng)式序列。

定義阿佩爾序列滿足以下關(guān)系：

其中的p0(x) 是非零常數(shù)。

除了一些平凡的例子如 {x} 以外，最值得注意的阿佩爾序列是埃爾米特多項(xiàng)式、伯努利多項(xiàng)式以及歐拉多項(xiàng)式。所有的阿佩爾序列都是謝弗序列，但要注意的是絕大多數(shù)謝弗序列都不是阿佩爾序列。

等價(jià)的阿佩爾序列定義方式最常見的阿佩爾序列的定義就是以上的1

對所有的n= 1, 2, 3, ...,

并且p0(x) 是一個(gè)非零常數(shù)

的關(guān)系式。此外，以下的條件也可以被驗(yàn)證是與之等價(jià)的：

純數(shù)數(shù)列 {cn}n=0,1,2,...滿足c0≠0，并且

純數(shù)數(shù)列 {cn}n=0,1,2,...滿足c0≠0，并且

其中

對所有的n= 0, 1, 2, ...,

遞歸公式假設(shè)

其中后一個(gè)等式是在以x為不定元的多項(xiàng)式構(gòu)成的線性空間中的線性算子S的定義式。并定義2：

為S的逆算子，其中的系數(shù)ak是形式冪級數(shù)的逆系數(shù)。這樣得到

在影子演算的約定中，算子T一般被用來代表阿佩爾序列 {pn}，可以定義對數(shù)算子：

運(yùn)用通常的 log(1+x) 的冪級數(shù)展開表達(dá)式以及通常的復(fù)合形式冪級數(shù)定義后，可以得到：

當(dāng)阿佩爾序列是埃爾米特多項(xiàng)式的時(shí)候，這個(gè)關(guān)系式也可以變化為埃爾米特多項(xiàng)式的遞推公式。

參見謝弗序列

影子演算

廣義阿佩爾多項(xiàng)式

Wick積

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)