[科普中國]-兩元素布爾代數(shù)

兩元素布爾代數(shù)是最簡單的布爾代數(shù)，它只有兩個元素，習(xí)慣指名為 1 和 0。保羅·哈爾莫斯給這個起名為 2，被一些文獻和本文采用。

簡介兩元素布爾代數(shù)是最簡單的布爾代數(shù)，它只有兩個元素，習(xí)慣指名為 1 和 0。保羅·哈爾莫斯給這個起名為2，被一些文獻和本文采用。

任何布爾代數(shù)都關(guān)聯(lián)著叫做“全集”或“載體”的一個偏序集合B，使得這個布爾代數(shù)的運算是從Bn到B的映射。這個載體是由于有顯著的成員 0 和 1 而是有界的。2簡單的就是其載體同一于它的界的集合的布爾代數(shù)，即B={0,1}。

布爾代數(shù)的兩個二元運算有很多名字和符號。這里把它們叫做“和”與“積”，分別符號表示為中綴 + 和。積經(jīng)常指示為兩個操作數(shù)的簡單串聯(lián)。和與積是交換的和結(jié)合的，如同普通的實數(shù)代數(shù)中那樣。在運算次序上，優(yōu)先于 + 但是括號可以超越它。所以“AB+C”被分析為“(AB)+C”而非“A(B+C)”。

一元運算總是被稱為“補”，這里的符號表示是對參數(shù)放置上橫杠。x的補的數(shù)值類似者是 1-x。在泛代數(shù)的語言中，所有布爾代數(shù)是代數(shù)，型為。

解釋 0 和 1 中的一個為“真”另一個為“假”產(chǎn)生了經(jīng)典的等式形式的二值邏輯。在這種情況下，+ 被讀做或，被讀做與，而補被讀做非。1

布爾代數(shù)在抽象代數(shù)中，布爾代數(shù)(英語：Boolean algebra)是捕獲了集合運算和邏輯運算二者的根本性質(zhì)的一個代數(shù)結(jié)構(gòu)（就是說一組元素和服從定義的公理的在這些元素上運算）。特別是，它處理集合運算交集、并集、補集；和邏輯運算與、或、非。1

邏輯代數(shù)在數(shù)學(xué)和數(shù)理邏輯中，邏輯代數(shù)（有時也稱開關(guān)代數(shù)、布爾代數(shù)）是變量的值僅為真和假兩種真值（通常記作 1 和 0）的代數(shù)的子領(lǐng)域。初等代數(shù)中變量的值是數(shù)字，并且主要運算是加法和乘法，而邏輯代數(shù)的主要運算有合取與，記為∧；析取或，記為∨；否定非，記為? 。因此，它是以普通代數(shù)描述數(shù)字關(guān)系相同的方式來描述邏輯關(guān)系的形式主義。

邏輯代數(shù)是喬治·布爾（George Boole）在他的第一本書《邏輯的數(shù)學(xué)分析》（1847年）中引入的，并在他的《思想規(guī)律的研究》（1854年）中更充分的提出了邏輯代數(shù)。根據(jù)Huntington“布爾代數(shù)”這個術(shù)語，最初是由Sheffer于1913年提出。

邏輯代數(shù)一直是數(shù)字電路設(shè)計的基礎(chǔ)，并且所有現(xiàn)代編程語言提供支持。它也用在集合論和統(tǒng)計學(xué)中。1

參見邏輯代數(shù)

卡諾圖

Quine-McCluskey算法

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)