[科普中國]-霍普夫代數(shù)

在數(shù)學中，霍普夫代數(shù)是一類雙代數(shù)，亦即具有相容的結(jié)合代數(shù)與余代數(shù)結(jié)構(gòu)的向量空間，配上一個對極映射，后者推廣了群上的逆元運算?；羝辗虼鷶?shù)以數(shù)學家海因茨·霍普夫命名，此類結(jié)構(gòu)廣見于代數(shù)拓撲、群概形、群論、量子群等數(shù)學領(lǐng)域。

定義所謂霍普夫代數(shù)，是指一個域上的雙代數(shù)，配上一個線性映射（稱為對極映射），使得下述圖一表交換。

利用 Sweedler 記號，此定義亦可表為

對極映射可理解為對卷積之逆，故其若存在必唯一。當，則稱為對合的；交換或余交換霍普夫代數(shù)必對合。

根據(jù)定義，有限維霍普夫代數(shù)的對偶空間也帶有自然的霍普夫代數(shù)結(jié)構(gòu)。

例子群代數(shù). 設(shè)為群，可賦予群代數(shù)下述霍普夫代數(shù)結(jié)構(gòu)：

有限群上的函數(shù). 設(shè)為有限群，置為所有的函數(shù)，并以逐點的加法與乘法使之成為結(jié)合代數(shù)。此時有自然的同構(gòu)。定義：

仿射代數(shù)概形的座標環(huán)：處理方式同上。

泛包絡(luò)代數(shù). 假設(shè)是域上的李代數(shù)，置為其泛包絡(luò)代數(shù)，定義：

后兩條規(guī)則與交換子相容，因此可唯一地延拓至整個上。1

李群的上同調(diào)李群的上同調(diào)代數(shù)構(gòu)成一個霍普夫代數(shù)，其代數(shù)結(jié)構(gòu)由上同調(diào)的上積給出，余代數(shù)結(jié)構(gòu)則來自群乘法 ，由此導(dǎo)出

對極映射來自。這是霍普夫代數(shù)的歷史起源，事實上，霍普夫借著研究這種結(jié)構(gòu)，得以證明李群上同調(diào)的結(jié)構(gòu)定理：

定理（霍普夫，1941年）.

設(shè)為上的有限維分次交換、余交換之霍普夫代數(shù)，則（視為-代數(shù)）同構(gòu)于由奇數(shù)次元素生成的自由外代數(shù)。

量子群與非交換幾何主條目：量子群

上述所有例子若非交換便是余交換的。另一方面，泛包絡(luò)代數(shù)的某些“變形”或“量子化”可給出非交換亦非余交換的例子；這類霍普夫代數(shù)常被稱為量子群，盡管嚴格而言它們并不是群。這類代數(shù)在非交換幾何中相當重要：一個仿射代數(shù)群可以由其座標環(huán)構(gòu)成的霍普夫代數(shù)刻劃，而這些霍普夫代數(shù)的變形則可設(shè)想為某類“量子化”了的代數(shù)群（實則非群）。2

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學