[科普中國]-補三面角

補三面角(supplementary trihedral angle)亦稱極三面角，是與一個三面角有關(guān)的三面角。從三面角S-ABC的頂點S作三條射線SA′，SB′，SC′分別垂直于平面BSC，CSA，ASB，并分別與SA，SB，SC在各相應(yīng)平面的同側(cè)，則三面角S-A′B′C′稱為S-ABC的補三面角，這時S-ABC也是S-A′B′C′的補三面角。一個三面角的每個面角(或二面角)與它的補三面角的對應(yīng)二面角(或面角)互補1。

基本概念在三面角O-ABC中，在平面BOC的含有棱OA的一側(cè)，過O點作射線OA'垂直于平面BOC，類似地作垂直于平面AOC、AOB的垂線OB'、OC'；則以O(shè)A'、OB'、OC'為棱的三面角O-A'B'C'叫做三面角O-ABC的補三面角。

補三面角的性質(zhì)定理圖1中，三面角O-A'B'C'是三面角O-ABC的補三面角；同時，三面角O-ABC也是三面角O-A'B'C'的補三面角。于是三面角O-ABC與三面角O-A'B'C'叫做互補三面角。為了證明這個“互補”性質(zhì)，先證一個引理2。

引理 從平面上一點引兩條射線，一條為平面的垂線，一條為平面的斜線。那么這兩條射線形成銳角的充要條件是它們在平面的同側(cè)。

證明設(shè)平面π上一點O(圖2)，過O引垂線OA (反向延線OA')，斜線OB，又設(shè)射線OB在π上的射影OB0，則射線OA、OA'、OB、OB0在同一平面(α)內(nèi)，并且∠AOB0=90°，于是有

若射線OA與OB在π的同側(cè)，則∠AOB