[科普中國(guó)]-三角形奠基法

三角形奠基法(construction method by frist construct some triangle)是題解作圖的一種常用方法。三角形是最簡(jiǎn)單的多邊形，因此，只要很少的條件，就可把它作出來，在有些作圖題中，先作成所求圖形中的某個(gè)三角形，實(shí)際上便奠定了全部圖形的基礎(chǔ)，由此就可以逐步做出其余部分，這樣的三角形，可稱奠基三角形。利用奠基三角形作為基礎(chǔ)來解作圖題，叫做三角形奠基法。這個(gè)方法在作圖中經(jīng)常應(yīng)用，有許多問題借助它可獲得解決1。

基本介紹解某些作圖題時(shí)，如果先作出圖形中的某個(gè)三角形，然后在此基礎(chǔ)上作出所要求作的圖形，此種解作圖題的方法稱為三角形奠基法，該三角形稱為作圖的奠基三角形。

例如，已知四條線段a，b，c，d，求作梯形ABCD，使AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，AB∥CD。該作圖題的思路要點(diǎn)是：假設(shè)梯形ABCD已經(jīng)作出，且AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，作DE∥BC，則DE=b，AE=a-c，于是△AED可以確定(如圖1)，并成為奠基三角形，在此基礎(chǔ)上，所求作的梯形極易作出，當(dāng)a，b，a-c中最大者小于其他兩線段之和時(shí)該作圖題有解，否則無解2。

例如，已知三角形的邊a，以及這邊上的高h(yuǎn)a和中線ma，作此三角形。如下圖所示。假定△ABC已作出。由條件知Rt△AHM是確定的，以該三角形為基礎(chǔ)，作出BC=a，則得B、C兩點(diǎn)。連結(jié)AB、AC，就得到△ABC3。

例題分析【例1】已知第一邊的長(zhǎng)，第二邊上的高，第三邊上的中線，求作三角形。

已知 三線段a、h、m3。

求作 △ABC，使邊BC=a，高BE=h2，中線CF=m3。

分析 設(shè)圖已成(圖3)，在直角三角形△BCE中，已知斜邊BC=a及一腰BE=h2，故此三角形得以確
定，確定此三角形后，若延長(zhǎng)BC至D使CD=a，并連DA，則DA=2CF=2m3；因此A點(diǎn)可求。

作圖 先作△BCE，使
∠BEC=90°，BE=h2，BC=a，
其次延長(zhǎng)BC至D，使CD=a，最后以D為圓心、2m3為半徑畫弧設(shè)交直線CE于A，并連AB。這樣作得△ABC就是所求三角形。

證明 作出△ABC的中線CF，由于BC=CD，得知

又BE是△ABC的一高，且

故△ABC合乎所要求的條件。

推究 本題有無解答，只與a和h2的大小有關(guān)系；而解答個(gè)數(shù)，則和三已知線段的長(zhǎng)短都有關(guān)聯(lián)，其各種情形可歸納如下：

(1) a>h2時(shí)，若

1° h22m3，則無解。

(2) a=h2時(shí)，若

1° h2