[科普中國]-無窮遠元素

無窮遠元素(element at infinity)亦稱假元素或理想元素，是射影幾何的一個術語，指空間中的無窮遠點、無窮遠直線和無窮遠平面的統(tǒng)稱，平面幾何里的無窮遠元素為無窮遠點和無窮遠直線1。

基本介紹為了使中心射影成為雙射，我們需要改造直線、平面和空間，要求在改造直線和平面的時候滿足下列三個基本關系：

(1)兩條相異的共面直線確定唯一一個點(交點)。

(2)兩個相異點確定唯一一條直線(連線)。

(3)兩個相異平面確定唯一一條直線(交線)。

我們的做法就是給平行直線添加交點。

約定： (1)在每一條直線上添加唯一個點，此點不是該直線上原有的點，稱為無窮遠點(或理想點)，記作。在相互平行的直線上添加的無窮遠點相同，不平行的直線上添加的無窮遠點不同2。

(2)平面上全體無窮遠點構成一條直線，稱為無窮遠直線(或理想直線)，記作。

(3)空間中所有無窮遠點構成的集合構成一平面，稱為無窮遠平面(或理想平面)。

增加了無窮遠點的直線叫仿射直線，增加了無窮遠直線的平面叫仿射平面，增加了無窮遠平面的空間叫仿射空間。為區(qū)別起見，我們稱仿射空間原有的點為有窮遠點或通常點；把除無窮遠直線外的直線稱為有窮遠直線或通常直線；把除無窮遠平面以外的平面稱為有窮遠平面或通常平面。

在平面上添加無窮遠元素之后，沒有破壞點與直線的關聯(lián)關系，同時也使得中心射影成為雙射。中心射影也叫透視對應2。

例題解析例1在仿射空間中，我們有以下命題2：

(1)平面上的每一個方向有唯一的無窮遠點。任意一組平行的直線交于同一無窮遠點；交于同一無窮遠點的直線相互平行。

(2)不平行的直線上的無窮遠點不同。

(3)平面上的平行直線交于無窮遠點，不平行的直線交于通常點，因此平面上任意兩條直線交于唯一一點。

(4)直線或者在某平面上，或者與這個平面交于唯一一點。

(5) 一組平行平面上的無窮遠直線是相同的，這條無窮遠直線就是這組平行平面的交線。

(6)平面上每一條直線(無窮遠直線除外)與無窮遠直線有且僅有一個交點，這個交點就是該直線上的無窮遠點。

(7)每一平面上有且僅有一條無窮遠直線。

(8)空間中任意兩張平面有唯一的交線。兩平行平面的唯一交線是無窮遠直線；兩不平行的平面的唯一交線 是通常直線。

如果把通常點和無窮遠點不加區(qū)別；則仿射直線就叫射影直線；仿射平面就叫射影平面；仿射空間叫射影空間2。

本詞條內容貢獻者為:

劉軍 - 副研究員 - 中國科學院工程熱物理研究所