[科普中國]-龐特里亞金最大化原理

龐特里亞金最大化原理（Pontryagin's maximum principle）也有稱為龐特里亞金最小化原理，是最優(yōu)控制中的理論，是在狀態(tài)或是輸入控件有限制條件的情形下，可以找到將動(dòng)力系統(tǒng)由一個(gè)狀態(tài)到另一個(gè)狀態(tài)的最優(yōu)控制信號。此理論是蘇俄數(shù)學(xué)家列夫·龐特里亞金及他的學(xué)生在1956年提出的。這是變分法中歐拉-拉格朗日方程的特例。

詳解簡單來說，此定理是指在所有可能的控制中，需讓“控制哈密頓量”（control Hamiltonian）取極值，極值是最大值或是最小值則依問題以及哈密頓量的符號定義而不同。1正式的用法，也就是哈密頓量中所使用的符號，會(huì)取到最大值，但是此條目中使用的符號定義方式，會(huì)讓極值取到最小值。

若是所有可能控制值的集合，則此原理指出，最優(yōu)控制必須滿足以下條件：

其中是最佳狀態(tài)軌跡，而是最佳協(xié)態(tài)軌跡

此結(jié)果最早成功的應(yīng)用在輸入控制有限制條件的最小時(shí)間問題中，不過也可以用在狀態(tài)有限制條件的問題中。

也可以推導(dǎo)控制哈密頓量的特殊條件。若最終時(shí)間固定，且控制哈密頓量不是時(shí)間的顯函數(shù)，則：

若最終時(shí)間沒有限制，則：

若在某一軌跡上滿足龐特里亞金最大化原理，此原理是最佳解的必要條件。哈密頓-雅可比-貝爾曼方程提供了最佳解的充份必要條件，但該條件須在整個(gè)狀態(tài)空間中都要成立。

最大化和最小化此定理一開始的名稱是龐特里亞金最大化原理（Pontryagin's maximum principle），其證明也是以控制哈密頓量最大化為基礎(chǔ)。此原理最早的應(yīng)用是要最大化火箭的終端速度。不過后來此定理大部分的應(yīng)用是使性能指標(biāo)最小化，因此常稱為龐特里亞金最小化原理。龐特里亞金的書解出了要讓性能指標(biāo)最小化的問題

最小化問題必要條件的正式敘述以下是讓泛函最小化的必要條件。令為在輸入為時(shí)，動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)，且滿足以下條件

其中

為可行控制的集合

為系統(tǒng)的結(jié)束時(shí)間。

控制需在所有內(nèi)使目標(biāo)泛函最小化，目標(biāo)泛函隨應(yīng)用而定，可以寫成

龐特里亞金最小化原理提到最佳狀態(tài)軌跡，最佳控制及對應(yīng)的拉格朗日乘數(shù)向量必需最小化哈密頓量，因此

針對所有時(shí)間，也針對所有可能的控制輸入。以下的式子也必須成立

而且也要滿足以下的協(xié)態(tài)方程

若最終狀態(tài){\displaystyle x(T)}沒有固定（其微分變異不為0），最終協(xié)態(tài)也要滿足以下條件

上述(1)-(4)的條件是最佳控制的必要條件。公式(4)只有在沒有固定時(shí)才需要成立。若是固定值，公式(4)不在必要條件中。

此解法可以應(yīng)用在宇宙學(xué)和天體物理學(xué)中。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

劉軍 - 副研究員 - 中國科學(xué)院工程熱物理研究所