[科普中國]-海森堡模型

海森堡模型（英語：Heisenberg model）是一個(gè)自旋系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)力學(xué)的模型，常被用來研究磁性系統(tǒng)和強(qiáng)關(guān)聯(lián)電子系統(tǒng)中的相變與臨界點(diǎn)的現(xiàn)象。

定義在量子力學(xué)發(fā)展初期，海森堡首先提出自旋與自旋之間可能存在交互作用，其數(shù)學(xué)形式是兩個(gè)自旋角動量的內(nèi)積 。海森堡模型的哈密頓算符是這些內(nèi)積的總和。

其中自旋角動量的x、y、z三個(gè)分量之間的互易關(guān)系為 ， 為普朗克常數(shù)除以 ，為了方便以下討論假設(shè) 。如果只考慮最近鄰的自旋才存在交互作用，且交互作用的強(qiáng)度 都均等，則哈密頓算符簡化為

可定義上升算符 和下降算符 ，

則哈密頓算符可寫成

相較于易辛模型，海森堡模型除了考慮自旋z軸方向上的耦合以外，還考慮了x和y軸方向上的耦合，由于 ，這使研究海森堡模型必須考慮量子力學(xué)。

一維海森堡模型考慮N個(gè)自旋排成一列，耦合強(qiáng)度 ，一維海森堡模型的哈密頓算符就寫成1

如果是自旋-1/2的一維海森堡模型，在熱力學(xué)極限下 ，基態(tài)能量可利用貝特?cái)M設(shè)方法求得 。

Haldane猜想

自旋半奇整數(shù)（1/2、3/2/、5/2…）和整數(shù)（1、2、3、…）的一維海森堡模型有不同的性質(zhì)。

奇數(shù)（symmetry protected topological）和偶數(shù)（trivial）。

二維海森堡模型Kagome晶格中的自旋液體。

各向異性在磁性材料中，磁矩（或自旋）之間的交互作用除了用各向同性的（isotropic）海森堡模型描述以外，還可能出現(xiàn)一些各向異性（anisotropy）。當(dāng)材料中有較強(qiáng)的自旋-軌道耦合時(shí)，常造成自旋想，想，x,y,z軸上的耦合強(qiáng)度不同，此時(shí)哈密頓算符改寫為

被廣泛研究的海森堡模型類型的模型是XXZ模型，也就是的情形，一維自旋-1/2的XXZ模型可利用貝特?cái)M設(shè)嚴(yán)格求解。

當(dāng)磁矩（或自旋）大于1/2，還可能出現(xiàn)另一種形式的各向異性，由晶格場造成的單軸各向異性，其數(shù)學(xué)形式為 。因此在磁性材料中常被用來討論的理論模型寫成XXZ模型加上單軸各向異性，

其中參數(shù) 和D 分別代表XXZ各向異性和單軸各向異性，當(dāng) 且D=0，模型回歸到各向同性的海森堡模型。

相關(guān)條目易辛模型，是一個(gè)以物理學(xué)家恩斯特·易辛為名的數(shù)學(xué)模型，用于描述物質(zhì)的鐵磁性。該模型中包含了可以用來描述單個(gè)原子磁矩的參數(shù)，其值只能為+1或-1，分別代表自旋向上或向下，這些磁矩通常會按照某種規(guī)則排列，形成晶格，并且在模型中會引入特定交互作用的參數(shù)，使得相鄰的自旋互相影響。雖然該模型相對于物理現(xiàn)實(shí)是一個(gè)相當(dāng)簡化的模型，但它卻和鐵磁性物質(zhì)一樣會產(chǎn)生相變。事實(shí)上，一個(gè)二維的方晶格易辛模型是已知最簡單而會產(chǎn)生相變的物理系統(tǒng)。2

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

杜強(qiáng) - 高級工程師 - 中國科學(xué)院工程熱物理研究所