[科普中國]-次特征

次特征(bicharacteristics)又稱雙特征，是偏微分方程理論中的一個(gè)重要概念。與之相關(guān)的特征也是偏微分方程論的一個(gè)基本概念，它對研究解的存在、唯性及其他性質(zhì)(例如奇性傳播)都有重要的意義。次特征并非某一區(qū)域U中的一階偏微分方程。但若考慮相應(yīng)的一階偏微分方程，則其也有自己的特征，即常微分方程組的積分曲線。這個(gè)積分曲線稱為P的次特征。

基本介紹次特征是偏微分方程理論中的一個(gè)重要概念，設(shè)是一個(gè)方程(組)的特征曲面，可以證明S可嵌入該方程(組)的一族特征曲面，其中c為常數(shù)，這樣就是一個(gè)一階偏微分方程的解。例如，對于m階線性偏微分方程

其中為n重指標(biāo)，應(yīng)滿足一階偏微分方程

做為(2)的積分曲面由它的n-1參數(shù)的特征帶族織成。可以證明(1)的特征曲面由(2)的n-2參數(shù)的特征帶族織成，我們把織成S的特征帶和特征曲線分別稱為(1)的次特征帶和次特征曲線。由此我們可不借助于特征曲面直接定義(1)的次特征，由(2)考慮函數(shù)

其中作關(guān)于的Hamilton-Jacobi方程組

(4)的一個(gè)解，若滿足

則稱其為(1)的次特征帶，次特征帶在空間的投影稱為(1)的次特征****曲線1。

相關(guān)概念特征特征(characteristics)是特證曲面的簡稱，對于偏微分方程理論的研究起著非常重要的作用，例如，對于一個(gè)m階線性偏微分方程(1)，它的主部為

其中為n重指標(biāo)，對于任意的，向量稱為L在點(diǎn)的一個(gè)特征方向，如果

其中，顯然在的所有特征方向組成一個(gè)以為頂點(diǎn)的m次錐面，通常稱為L在的法線錐，一個(gè)光滑曲面S如果其上每一點(diǎn)的法線方向都是L在該點(diǎn)的特征方向，則S稱為L的特征曲面，若S可用方程表示，其中且，則S為特征曲面在S上成立。又如對一階線性方程組

其中，u為m維未知函數(shù)向量，為已給的m維函數(shù)向量，和均為已給的m階函數(shù)方陣，對于，向量稱為(5)在的特征方向，如果

若曲面，其中且使褥

在S上處處成立，則稱S是(5)的特征****曲面，一般高階線性方程組的特征可類似定義，對于線性方程(組)，顯然它的特征僅與該方程(組)的主部有關(guān)，對于非線性方程(組)可以利用將其線性化的方法定義特征概念，此時(shí)特征不僅依賴于方程，而且還依賴于未知函數(shù)1。

哈密頓-雅可比方程哈密頓-雅可比方程(Hamilton-Jacobi equation)是不含未知函數(shù)本身的一階非線性方程的特征微分方程組，在分析力學(xué)、幾何學(xué)、變分學(xué)，特別是偏微分方程的特征理論中常常遇到不顯含未知函數(shù)本身的一階非線性偏微分方程

寫其特征微分方程組時(shí)，可以獨(dú)立地列出關(guān)于x，p的導(dǎo)數(shù)的方程：

(7)稱為函數(shù)F或方程F=0的哈密頓-雅可比方程，(7)稱為哈密頓方程組或典則方程組，(7)的解xi=xi(s)，pi=pi(s)(i=1，2，…，n)滿足方程(6)時(shí)稱為函數(shù)F(x，p)的雙特征帶，而xi=xi(s)稱為雙特征曲線或簡稱雙特征(有時(shí)也稱為次特征)。如果F(x，p)是p的齊次函數(shù)，則使得F(x1(s)，(x2(s)，…，xn(s)，p1(s)，p2(s)，…，pn(s))≡0的雙特征帶稱為零雙特征帶，一階偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)型也稱為哈密頓-雅可比方程(參見“光程函數(shù)方程”)2。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)