[科普中國]-電力系統(tǒng)概率潮流算法

背景介紹

在傳統(tǒng)電力系統(tǒng)分析中，負(fù)荷的波動、電網(wǎng)運(yùn)行方式的變化和發(fā)電機(jī)的停運(yùn)等因素造成了電力系統(tǒng)一定程度上的不確定性。隨著電力工業(yè)的發(fā)展，以太陽能和風(fēng)能等為代表的新能源接入電網(wǎng)，給電網(wǎng)帶了明顯的間歇性和隨機(jī)性；微網(wǎng)、分布式電源和電動汽車等配電網(wǎng)新概念的發(fā)展，大大增強(qiáng)了電源、負(fù)荷與電網(wǎng)之間的互動性川，其直接結(jié)果導(dǎo)致了電力系統(tǒng)的不確定性顯著增加，用于電力系統(tǒng)分析的概率潮流算法的研究日益重要。

1974年，Borkowaka1提出概率潮流計(jì)算方法叫，用以解決電力系統(tǒng)中諸多不確定因素。在隨后四十年的時間里，概率潮流理論與方法得到了發(fā)展。與其幾乎同時出現(xiàn)的隨機(jī)潮流叫和概率潮流相互補(bǔ)充融合，逐漸形成處理電力系統(tǒng)不確定因素的體系：一般認(rèn)為對于電力系統(tǒng)短期不確定因素采用隨機(jī)潮流處理，而對于長期的具備規(guī)律性的不確定因素采用概率潮流處理，后者更趨向于概率分布的計(jì)算。

概率潮流計(jì)算的提出與發(fā)展，其最顯著的意義是在進(jìn)行電力系統(tǒng)分析時，考慮了系統(tǒng)各種不確定因素的隨機(jī)性，從而使得計(jì)算分析更加貼合實(shí)際電網(wǎng)的運(yùn)行狀態(tài)。概率潮流的研究問題，主要集中在3個層而：系統(tǒng)模型、計(jì)算模型和計(jì)算方法。

系統(tǒng)元件的不確定性是引入概率潮流的根本原因，主要體現(xiàn)在發(fā)電機(jī)、負(fù)荷、輸電線路和變壓器的隨機(jī)性。近些年，隨著可再生能源并網(wǎng)規(guī)模的日益提高和電力用戶的市場行為日趨突出，發(fā)電機(jī)和負(fù)荷的功率模型越發(fā)復(fù)雜。

就概率潮流計(jì)算模型而言，以四大類模型為主。Borkowaka基于簡化的直流模型團(tuán)提出了概率潮流計(jì)算方法。為了提高潮流計(jì)算的精度，Allan1分別在1976年和1981年提出了線性化交流模型和分段線性化交流模型，Sokierajski在1978年提出保留非線性的交流模型2。目前概率潮流的計(jì)算方法都是基于這4種模型進(jìn)行。

對概率潮流算法的研究是概率潮流分析中的熱點(diǎn)，具備廣闊的研究空間與研究意義。一種性能良好的概率潮流計(jì)算方法應(yīng)滿足以下指標(biāo)：能夠求出輸出隨機(jī)變量的數(shù)字特征(包括均值和方差)及概率分布；能夠處理多個隨機(jī)變量間的相關(guān)性；滿足實(shí)用化要求，結(jié)果具有足夠精度的情況下盡量減少計(jì)算時間；滿足通用性要求，對輸入變量的數(shù)學(xué)模型不應(yīng)有太高要求。這4項(xiàng)指標(biāo)構(gòu)成概率潮流算法研究的重點(diǎn)和難點(diǎn)，專家學(xué)者們從一方而或多方而入手展開研究，形成了當(dāng)前的多種概率潮流計(jì)算方法。就目前己有研究成果而言，概率潮流算法可以大致分為模擬法、近似法和解析法3類。解析法結(jié)合電力系統(tǒng)復(fù)雜卷積計(jì)算的簡化特性，通過對卷積計(jì)算的特殊處理衍生而來，廣義上也可歸入近似法?？v觀現(xiàn)有概率潮流算法，存在的突出問題是難以將計(jì)算準(zhǔn)確度和時效性有機(jī)統(tǒng)一。

以模擬法、近似法和解析法為分類基準(zhǔn)，綜述各類方法中具體算法的原理步驟、優(yōu)缺點(diǎn)評估以及發(fā)展趨勢。以算法中現(xiàn)有的問題及不足為依托，結(jié)合當(dāng)前電力系統(tǒng)的研究熱點(diǎn)與新興技術(shù)，對概率潮流的發(fā)展方向進(jìn)行展望。

概率潮流在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用潮流計(jì)算是電力系統(tǒng)分析的基礎(chǔ)，其典型計(jì)算潮流方程如下所示：

式中：W為系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)功率注入向量；X為節(jié)點(diǎn)電壓向量；Y為系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)；Z為系統(tǒng)支路潮流向量。概率潮流的計(jì)算正是在上式的基礎(chǔ)上，通過考慮輸入變量W和Y的概率特性，獲得系統(tǒng)狀態(tài)變量X和Z的分布情況，從而全而地給出系統(tǒng)的運(yùn)行狀況和概率特征。

隨著電力系統(tǒng)隨機(jī)性的顯著提升，概率潮流算法在電力系統(tǒng)分析中獲得廣泛應(yīng)用，其主要應(yīng)用方向可以分為以下幾類。

1)電力系統(tǒng)規(guī)劃，包括電源規(guī)劃、電網(wǎng)規(guī)劃和無功規(guī)劃等規(guī)劃問題3。規(guī)劃問題的求解均以潮流計(jì)算作為基礎(chǔ)，在不確定性增加的電力系統(tǒng)中，概率潮流將成為含隨機(jī)因素規(guī)劃問題的求解前提。

2)靜態(tài)安全分析，作為電力系統(tǒng)分析的基本問題，采用概率潮流的靜態(tài)安全分析方法可以更加真實(shí)地反映電力系統(tǒng)全而信息4。

3)電力系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)實(shí)時在線分析，包括機(jī)組組合、在線調(diào)度、電力市場機(jī)制下的源一網(wǎng)嗬互動。應(yīng)用某些概率潮流算法，可以在不顯著增加計(jì)算次數(shù)與時間的條件下，更為精確地分析電力系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)及變化趨勢，為電力系統(tǒng)實(shí)時分析提供了強(qiáng)有力的工具5。

4)其他基于潮流運(yùn)算的系統(tǒng)分析，例如最優(yōu)化潮流計(jì)算、電力系統(tǒng)風(fēng)險評估、互動型配電網(wǎng)潮流計(jì)算等。

模擬法概率潮流模擬法概率潮流，是將電力系統(tǒng)中的不確定因素作為隨機(jī)變量建立概率模型，然后抽取概率分布的樣本，最后統(tǒng)計(jì)輸出變量的分布特征。傳統(tǒng)的模擬法概率潮流計(jì)算方法一般是指隨機(jī)采樣的蒙特卡洛模擬法6，后來基于隨機(jī)模擬法改進(jìn)衍生出重要抽樣法7、拉丁超立方采樣法和擬蒙特卡洛方法等。

隨機(jī)采樣的蒙特卡洛模擬法蒙特卡洛模擬是二戰(zhàn)時期美國物理學(xué)家Metropoli6在執(zhí)行曼哈頓計(jì)劃的過程中提出的。蒙特卡洛模擬法以隨機(jī)模擬和統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)為手段，是一種從隨機(jī)變量的概率分布中，通過隨機(jī)選擇數(shù)字的方法產(chǎn)生一種符合該隨機(jī)變量概率分布特性的隨機(jī)數(shù)值序列，作為輸入變量序列進(jìn)行特定分析的求解方法。其計(jì)算關(guān)鍵與核心步驟如下：①對潮流方程的輸入變量W構(gòu)造相應(yīng)的概率模型；②產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)序列，作為系統(tǒng)的抽樣輸入進(jìn)行大量的數(shù)字模擬，每一組采樣值通過潮流計(jì)算得到相應(yīng)的模擬實(shí)驗(yàn)值；③系統(tǒng)計(jì)算，對模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)處理，給出所求問題的解。

蒙特卡洛模擬的優(yōu)點(diǎn)在于樣本數(shù)量足夠大時，計(jì)算結(jié)果足夠精確;并且計(jì)算量一般不受系統(tǒng)規(guī)模的影響，該方法的抽樣次數(shù)與抽樣精度的平方成反比。缺點(diǎn)在于為提高計(jì)算精度，往往需要提高系統(tǒng)抽樣規(guī)模，從而導(dǎo)致計(jì)算時長過大?？紤]其精度優(yōu)勢，隨機(jī)采樣的蒙特卡洛模擬法一般用來作為基準(zhǔn)方法進(jìn)行比較，是衡量其他方法準(zhǔn)確性的重要參考。

重要抽樣法重要抽樣法認(rèn)為期望值附近的采樣值對計(jì)算結(jié)果具有更大的影響力，因此可以重點(diǎn)關(guān)注期望值附近的點(diǎn)。基于此，重要抽樣法的基本思路是保持原有樣本期望值不變，通過改變己知變量概率分布來減小其方差，從而達(dá)到減少運(yùn)算時間的目的。

如何選取新分布中系統(tǒng)的概率分布使得隨機(jī)變量在期望不變的情況下減小方差是重要抽樣法的關(guān)鍵步驟。有文獻(xiàn)采用迭代法搜索重要分布函數(shù)，給出了若干重要分布函數(shù)的定義方法，并結(jié)合分散抽樣的技巧提高重要抽樣法的收斂速度。也有文獻(xiàn)利用蒙特卡洛方法模擬出負(fù)荷樣本，然后利用核密度估計(jì)方法估計(jì)出負(fù)荷模型的密度函數(shù)，將之作為重要抽樣密度函數(shù)，計(jì)算出支路潮流和節(jié)點(diǎn)電壓的概率密度函數(shù)7。

重要抽樣法在電力系統(tǒng)的概率估計(jì)中有著廣泛應(yīng)用，該方法可以快速準(zhǔn)確地計(jì)算出系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)的期望值，為系統(tǒng)分析提供參考。但重要抽樣法中僅以期望為研究對象，對于概率變量的方差、概率分布等參數(shù)分析存在天然缺陷，計(jì)算結(jié)果局限性較大。

拉丁超立方采樣法為了避免隨機(jī)采樣的蒙特卡洛模擬法的大規(guī)模抽樣，Mckay等人于1979年提出了拉丁超立方采樣法8。它是一種分層采樣法，通過改進(jìn)輸入隨機(jī)變量的樣本生成過程，保證其采樣值能夠有效地反映隨機(jī)變量的整體分布，算法的出發(fā)點(diǎn)就是確保所有的采樣區(qū)域都能夠被采樣點(diǎn)覆蓋。其基本運(yùn)算過程分為如下兩個步驟:采樣和排列。

拉丁超立方采樣法的不足是對輸入隨機(jī)變量的處理較為復(fù)雜，一方而要求己知輸入隨機(jī)變量的概率分布函數(shù)或累積分布函數(shù)，另一方而對不同類型概率分布的隨機(jī)變量相關(guān)性需要特殊變換處理困。但該方法作為一種非常有效的估計(jì)輸出隨機(jī)變量期望值的方法，由于采樣值能夠確保覆蓋所有輸入隨機(jī)變量的整個分布區(qū)域，無須大規(guī)模抽樣，并且可以有效處理輸入變量之間的相關(guān)性和隨機(jī)性，在準(zhǔn)確性、穩(wěn)健性和時效性上都有較大的優(yōu)勢。

擬蒙特卡洛法擬蒙特卡洛法的出發(fā)點(diǎn)與拉丁超立方采樣法相同，希望通過有效的空間覆蓋采樣法來規(guī)避蒙特卡洛模擬法中的隨機(jī)抽樣。但與拉丁超立方采樣法的處理方式不同，擬蒙特卡洛法采用低差異序列實(shí)現(xiàn)多維隨機(jī)變量的空間采樣。

低差異序列，又稱偽隨機(jī)數(shù)列，是一系列數(shù)值確定的[0,1]區(qū)間中的數(shù)。在d維變量的空間中，低差異序列中己有n-1個數(shù)，生成第n個數(shù)的方法是:將這個數(shù)插入己有數(shù)列中最大的“空白”處，即避免數(shù)列在局部空間聚集，從而保證了有限數(shù)據(jù)的空間全覆蓋。

目前擬蒙特卡洛法己經(jīng)被應(yīng)用于概率最優(yōu)潮流計(jì)算和含互動式新能源的電網(wǎng)靜態(tài)穩(wěn)定分析中。由于采樣過程中一次性生成所需序列，該方法具有比拉丁超立方采樣法更高的計(jì)算效率。但擬蒙特卡洛法對多變量的高維度問題理論基礎(chǔ)薄弱、計(jì)算效果差，因此目前多用于小規(guī)模電力系統(tǒng)分析計(jì)算。

模擬法概率潮流展望模擬法的基礎(chǔ)是蒙特卡洛模擬，因此該方法是目前電力系統(tǒng)中處理含不確定因素概率潮流問題中計(jì)算結(jié)果最為精確的一類方法，但與其高精度計(jì)算能力相對應(yīng)的是低時效性。在蒙特卡洛模擬基礎(chǔ)上改進(jìn)的各種算法都是以減少抽樣計(jì)算量為目的:重要抽樣法計(jì)算速度快，期望值結(jié)果準(zhǔn)確，但其計(jì)算結(jié)果單一，無法全而描述系統(tǒng)運(yùn)行特征;拉丁超立方采樣法的采樣規(guī)模相對于蒙特卡洛模擬法大幅降低，是目前精度和時效較高的概率潮流算法，但該方法在處理變量之間的相關(guān)性時具備較高的復(fù)雜度，且相關(guān)性結(jié)果往往與實(shí)際情況存在一定的偏差；QMCS理論上計(jì)算速度最快，但低差異序列的維數(shù)問題是該方法應(yīng)用瓶頸。

隨著電子計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展與電力系統(tǒng)計(jì)算平臺的壯大，模擬法必然在概率潮流計(jì)算中扮演越來越重要的角色，本文認(rèn)為其發(fā)展趨勢可以包含以下幾個方向。

1)采用多種采樣方式相結(jié)合的混合采樣法，例如QMCS對維度較低的問題具備優(yōu)越性，當(dāng)問題維度較高時，采用QMC'S與拉丁超立方采樣法的混合采樣法計(jì)算，從而發(fā)揮不同采樣方法的優(yōu)勢。

2)采樣過程中針對不同的研究重點(diǎn)分段處理，期望值附近的概率曲線在處理過程中保持良好的計(jì)算準(zhǔn)確度，但分布曲線的尾部計(jì)算精度往往很差，在對精度要求很高時，可以對分布曲線分段，對尾部采樣進(jìn)行特殊處理。

3)并行計(jì)算的應(yīng)用。目前計(jì)算機(jī)的多核并行處理計(jì)算能力得到了大幅提升，同時基于圖像處理單元的并行計(jì)算得到了發(fā)展，該硬件平臺對重復(fù)性抽樣計(jì)算的提速效果顯著。

近似法概率潮流近似法是利用輸入隨機(jī)變量的數(shù)字特征近似描述系統(tǒng)狀態(tài)變量統(tǒng)計(jì)特性的方法。該方法避開了大規(guī)模的重復(fù)抽樣，因而求解速度較快，又因其能夠計(jì)及系統(tǒng)輸入變量之間的互相關(guān)性，因而受到重視。目前研究應(yīng)用較多的有點(diǎn)估計(jì)法、一次二階矩法和狀態(tài)變換法9。

點(diǎn)估計(jì)法點(diǎn)估計(jì)法是一種概率統(tǒng)計(jì)方法，目前所做的應(yīng)用研究都是基于1998年Hong在己知輸入隨機(jī)變量的連續(xù)分布下提出的點(diǎn)估計(jì)法。該方法能夠根據(jù)己知隨機(jī)變量的概率分布，求得待求隨機(jī)變量的各階矩。

點(diǎn)估計(jì)法屬于逼近技術(shù)的一種，利用輸入隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)信息來逼近輸出隨機(jī)變量的數(shù)字特征。其主要運(yùn)算過程分為以下幾步。

l)用潮流方程中輸入隨機(jī)變量W的各個分布函數(shù)求出相應(yīng)的前2M-1階中心矩。

2)通過構(gòu)造的方式，利用前2M-1階中心矩獨(dú)立求出每個輸入隨機(jī)變量的M個離散狀態(tài)，使得這M個離散狀態(tài)包含了前2M-1階中心矩的所有信息。

3)用所求得的每個輸入隨機(jī)變量的M個離散狀態(tài)和它們的均值，構(gòu)造M′K個輸入隨機(jī)變量的離散狀態(tài)，求出對應(yīng)輸出隨機(jī)變量的M′K個離散狀態(tài)。

4)用求得的潮流方程輸出隨機(jī)變量X和Z的M′K個離散狀態(tài)逼近相應(yīng)的期望值與方差等相關(guān)數(shù)字特征。

由以上步驟可以分析點(diǎn)估計(jì)法的特點(diǎn)如下：

1)該方法中實(shí)際的輸入量為輸入隨機(jī)變量前2M-1階中心矩，此中心矩可以由概率分布函數(shù)直接求出，也可以由大量樣本逼近擬合方程式展開得到，這樣就不必受限于必須己知輸入變量概率分布的條件約束。

2)點(diǎn)估計(jì)法不需要知道輸入與輸出之間的具體函數(shù)關(guān)系表達(dá)式，僅要求每個輸入有唯一對應(yīng)的輸出。

3)輸出隨機(jī)變量有2M-1階多項(xiàng)式逼近的精度，為了提高估計(jì)的精度，可以增加輸入變量的高階矩信息，即增加取點(diǎn)個數(shù)。但實(shí)際應(yīng)用中點(diǎn)個數(shù)M大于3時不僅急劇增大計(jì)算量，而且往往造成解的結(jié)果非實(shí)數(shù)，因此M通常取2或3，即構(gòu)成常用的兩點(diǎn)估計(jì)法和三點(diǎn)估計(jì)法。

兩點(diǎn)估計(jì)法計(jì)算簡單、容易實(shí)現(xiàn)，但其只利用輸入變量的前三階矩信息，計(jì)算精度低;三點(diǎn)估計(jì)法既能得到較高精度的估計(jì)值，又保持了簡易性，在點(diǎn)估計(jì)法中廣為使用。點(diǎn)估計(jì)法的缺點(diǎn)在于計(jì)算結(jié)果中隨機(jī)變量的高階矩不夠精確，無法準(zhǔn)確獲得變量的概率分布函數(shù)。同時在處理輸入變量的時間和空間相關(guān)性上具有一定的計(jì)算復(fù)雜度。

一次二階矩法一次二階矩法作為一種近似概率仿真方法，己被廣泛應(yīng)用于機(jī)械、結(jié)構(gòu)可靠性分析中。該方法通過將狀態(tài)方程泰勒展開，近似保留一次線性項(xiàng)，形成包含前兩階矩(即均值和方差)的計(jì)算方程式。在電力系統(tǒng)概率潮流分析中，其具體步驟如下：

步驟1：將輸入隨機(jī)變量對輸出狀態(tài)變量的潮流方程按泰勒級數(shù)展開為一次項(xiàng)形式。

步驟2：計(jì)算輸入變量均值方程式。

步驟3：計(jì)算輸入變量協(xié)方差方程式。

步驟4：由步驟2和3聯(lián)合，通過輸入變量的均值和協(xié)方差計(jì)算輸出狀態(tài)變量的數(shù)字特征。

一次二階矩法計(jì)算簡單，效率高;但其計(jì)算能力有限，僅能處理輸出與輸入之間均值和方差的數(shù)值計(jì)算，算法模型誤差較大，并且計(jì)算精度受到系統(tǒng)概率潮流模型約束很大，因此研究較少。

狀態(tài)變換法狀態(tài)變換按照變換方法分為線性變換、多項(xiàng)式變換和無跡變換等。線性變換法基于正態(tài)變量線性變換不變性定理，假設(shè)節(jié)點(diǎn)注入隨機(jī)變量均服從正態(tài)分布，將潮流方程線性化后可得系統(tǒng)狀態(tài)變量為節(jié)點(diǎn)注入變量的線性組合并且仍服從正態(tài)分布。多項(xiàng)式變換多用作其他計(jì)算方法的輔助手段，用以表征電力系統(tǒng)隨機(jī)因素的模型轉(zhuǎn)換等問題。無跡變換認(rèn)為:擬合一個概率分布比求解非線性變換容易得多，基于此，通過較少的樣本點(diǎn)和相應(yīng)的樣本權(quán)重準(zhǔn)確捕獲狀態(tài)分布參數(shù)，通過非線性函數(shù)傳遞后輸出狀態(tài)變量的期望與方差。

狀態(tài)變換法的優(yōu)點(diǎn)在于變換過程數(shù)學(xué)理論清晰，意義明確，計(jì)算規(guī)模不大，但由于該方法以高斯正態(tài)分布為變換基礎(chǔ)，使其在新能源(不滿足高斯分布)并網(wǎng)問題下的概率分析存在一些不足。

近似法概率潮流展望近似在各個科學(xué)領(lǐng)域均有應(yīng)用，在電力系統(tǒng)概率潮流中近似計(jì)算的使用也較為普遍。與確定性潮流相比，概率潮流的計(jì)算規(guī)模顯著提升，快速的近似計(jì)算顯得更為迫切。目前己有的近似法概率潮流算法中，計(jì)算結(jié)果以均值和方差為主要目標(biāo)，如何獲得狀態(tài)變量較為準(zhǔn)確的整體概率分布是改進(jìn)的重要方向。另一方而，近似法概率潮流算法計(jì)算結(jié)果的可信度與誤差分析也是研究的內(nèi)容之一。

在近似法中，隨機(jī)變量狀態(tài)的變換是一種基礎(chǔ)計(jì)算手段，而泛函分析領(lǐng)域的空間轉(zhuǎn)換與之具有相似的計(jì)算邏輯，把發(fā)展成熟的泛函空間變換應(yīng)用于近似法概率潮流，是值得探索的方向。

解析法概率潮流解析法概率潮流主要關(guān)注如何利用隨機(jī)變量間的關(guān)系進(jìn)行卷積計(jì)算得到狀態(tài)量的概率分布，即核心思想在于有效處理復(fù)雜的卷積計(jì)算。在卷積計(jì)算的過程中，往往會做一些近似處理，因此解析法廣義上可歸為近似法。傳統(tǒng)的卷積技術(shù)是一種獲得概率潮流的基本方法，假設(shè)變量獨(dú)立，在己知注入概率分布的情況下，可以通過卷積技術(shù)得到待求狀態(tài)變量的概率密度函數(shù)。但對于多元線性方程的卷積計(jì)算量十分龐大，因此限制了其使用。己有解析法中卷積計(jì)算多采用快速傅里葉變換、半不變量法〕和序列運(yùn)算理論10。

解析法處理卷積計(jì)算的應(yīng)用前提是假設(shè)輸入隨機(jī)變量相互獨(dú)立，導(dǎo)致解析法在處理變量相關(guān)性上具有固有缺陷，因此，解析方法中變量相關(guān)性處理是研究的熱點(diǎn)。

快速傅里葉變換在信號處理學(xué)科領(lǐng)域，快速傅里葉變換是處理卷積問題的最佳方式，其具備良好的精度和效率，對于處理小規(guī)模數(shù)據(jù)系統(tǒng)具備很大的優(yōu)越性。在電力系統(tǒng)方而，隨著系統(tǒng)規(guī)模的增大，系統(tǒng)分析的輸入變量急劇增加，使得快速傅里葉變換不再具備精度和效率上的優(yōu)勢，因此，在20世紀(jì)80年代經(jīng)歷了短暫的研究后，快速傅里葉變換逐漸退出電力系統(tǒng)概率潮流分析領(lǐng)域。

半不變量法目前在電力系統(tǒng)廣泛使用的處理卷積的方法是半不變量法。該方法的核心思想是將復(fù)雜的卷積運(yùn)算轉(zhuǎn)換為半不變量之間簡單的算術(shù)運(yùn)算，從而大大降低計(jì)算過程的復(fù)雜度。具體計(jì)算步驟可以概括如下:將潮流方程中的隨機(jī)變量w進(jìn)行概率分布擬合，經(jīng)過中心矩計(jì)算出輸入隨機(jī)變量的各階半不變量；然后，通過雅可比矩陣和靈敏度矩陣進(jìn)行簡單的數(shù)學(xué)運(yùn)算獲得潮流方程輸出變量X和Z的各階半不變量，結(jié)合不同級數(shù)擴(kuò)展方式得到相應(yīng)輸出變量的概率密度擴(kuò)展方程，從而獲得輸出隨機(jī)變量的概率分布。有文獻(xiàn)深入分析了半不變量法計(jì)算隨機(jī)潮流時各環(huán)節(jié)的假設(shè)條件及可能引起的誤差，并提出如何處理節(jié)點(diǎn)功率相關(guān)性、故障列表和調(diào)度策略等問題，使得半不變量法更加實(shí)用化。

半不變量法具備的最大優(yōu)勢在于計(jì)算方法簡單、計(jì)算效率高，雖然計(jì)算結(jié)果精確度存在一定爭議，但滿足工程應(yīng)用要求，因此受到廣泛研究。關(guān)于半不變量法的算法改進(jìn)研究主要集中在3個問題上:一是如何處理輸入隨機(jī)變量之間的相關(guān)性；二是如何正確分析靜態(tài)安全穩(wěn)定問題;三是如何更為精確地描述系統(tǒng)運(yùn)行狀態(tài)。有文獻(xiàn)提出一種基于Cholesky分解的計(jì)及輸入變量相關(guān)性的半不變量法概率潮流計(jì)算方法，并提出基于蒙特卡洛抽樣的方法解決一些輸入變量的半不變量難以被常規(guī)數(shù)值方法求解的問題。

序列運(yùn)算理論為了將原本復(fù)雜的卷積計(jì)算轉(zhuǎn)換為簡單的算術(shù)運(yùn)算，康重慶教授創(chuàng)建了序列運(yùn)算理論，在此基礎(chǔ)上擴(kuò)展了概率性序列運(yùn)算方法，從而形成了全新的電力系統(tǒng)不確定性分析框架。

基于序列運(yùn)算的概率直流潮流是以簡化序列卷積為出發(fā)點(diǎn)，其自定義的卷和、序乘等運(yùn)算方法計(jì)算簡單，在效率上具有很大的優(yōu)勢。但由于序列的建立和運(yùn)算的定義都要滿足全新的規(guī)則和要求，從而限制了該方法的大規(guī)模推廣應(yīng)用。

解析法概率潮流展望解析法概率潮流的研究重點(diǎn)在卷積運(yùn)算的高效處理上，快速傅里葉運(yùn)算難以處理大規(guī)模電力系統(tǒng)的多變量計(jì)算，序列運(yùn)算理論體系架構(gòu)的特殊性使之難以在短時間內(nèi)大規(guī)模推廣，因此半不變量法是解析法中研究的熱點(diǎn)算法。半不變量法在處理正態(tài)分布的變量相關(guān)性上己有較多的研究，該算法的研究重點(diǎn)是非正態(tài)分布的變量相關(guān)性處理，改善各階矩和半不變量的計(jì)算精度與計(jì)算效率，獲得更為準(zhǔn)確的概率密度函數(shù)。

結(jié)語電力系統(tǒng)中不確定因素的增加使得概率潮流成為研究熱點(diǎn)之一。從概率潮流算法原理的角度出發(fā)，將電力系統(tǒng)概率潮流算法分為模擬法、近似法和解析法3類，對各算法的研究現(xiàn)狀和發(fā)展進(jìn)行了綜述和總結(jié)，并對各類算法的發(fā)展趨勢提供了分析思路。

概率潮流與確定性潮流本質(zhì)上的區(qū)別在于輸入變量的不確定性，計(jì)算目標(biāo)是合理反映隨機(jī)分布本身的概率特性對于系統(tǒng)潮流的影響，因此，概率潮流的研究目的可概括為隨機(jī)變量的概率輸入及其對潮流輸出的概率貢獻(xiàn)。模擬法分析輸入隨機(jī)變量的抽樣方法，近似法關(guān)注輸出與輸入之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，解析法重點(diǎn)討論系統(tǒng)方程卷積的計(jì)算與簡化，而3類方法中隨機(jī)變量概率分布的表征和相關(guān)性分析都是關(guān)鍵因素。

而對新環(huán)境下電力系統(tǒng)的全新特征，未來概率潮流算法研究的總體發(fā)展趨勢應(yīng)該包含以下幾個主要方向：可再生能源功率輸出的概率密度函數(shù)并不一定精確滿足特定的典型分布，如何生成適用于概率潮流計(jì)算的準(zhǔn)確的可再生能源功率輸出的概率分布非常重要，目前己有的核密度估計(jì)法。具有很大的研究空間；在大規(guī)模新能源集中并網(wǎng)的趨勢下，如何處理區(qū)域內(nèi)新能源功率輸出的復(fù)雜相關(guān)性變得日益重要；電動汽車作為電網(wǎng)互動性負(fù)荷，與電網(wǎng)的功率交互是雙向的，如何對雙向功率負(fù)荷進(jìn)行概率建模也是研究難點(diǎn)之一；電力市場機(jī)制下的電源和負(fù)荷具備開放性特點(diǎn)，基于市場特征和需求響應(yīng)的最優(yōu)概率潮流分析具備很高的研究意義。