[科普中國(guó)]-邊界元素法

基本思想

將微分方程相應(yīng)的基本解作為權(quán)函數(shù) , 應(yīng)用加權(quán)余量法并應(yīng)用格林函數(shù)導(dǎo)出聯(lián)系解域中待求函數(shù)值與邊界上的函數(shù)值與法向?qū)?shù)值之間關(guān)系的積分方程 ; 令積分方程在邊界上成立 ,獲得邊界積分方程 , 該方程表述了函數(shù)值和法向?qū)?shù)值在邊界上的積分關(guān)系 ,而在這些邊界值中 ,一部份是在邊界條件中給定的 ,另一部份是待求的未知量 ,邊界元法就是以邊界積分方程作為求解的出發(fā)點(diǎn) ,求出邊界上的未知量 ; 在所導(dǎo)出的邊界積分方程基礎(chǔ)上利用有限元的離散化思想 ,把邊界離散化 ,建立邊界元代數(shù)方程組 ,求解后可獲得邊界上全部節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值和法向?qū)?shù)值 ; 將全部邊界值代入積分方程中 , 即可獲得內(nèi)點(diǎn)函數(shù)值的計(jì)算表達(dá)式 ,它可以表示成邊界節(jié)點(diǎn)值的線性組合。1

優(yōu)點(diǎn)( 1) 將全解域的計(jì)算化為解域邊界上的計(jì)算 , 使求解問(wèn)題的維數(shù)降低了一維 ,減少了計(jì)算工作量 ;

( 2) 能夠方便地處理無(wú)界區(qū)域問(wèn)題 。例如對(duì)于勢(shì)流等的無(wú)限區(qū)域問(wèn)題 ,使用邊界元法求解時(shí)由于基本解滿足無(wú)窮遠(yuǎn)處邊界條件 , 在無(wú)窮遠(yuǎn)處邊界上的積分恒等于零 。因此對(duì)于無(wú)限區(qū)域問(wèn)題 , 例如具有無(wú)窮遠(yuǎn)邊界的勢(shì)流問(wèn)題 , 無(wú)需確定外邊界 ,只需在內(nèi)邊界上進(jìn)行離散即可 ;

( 3) 邊界元法的精度一般高于有限元法 。

缺點(diǎn)：邊界元方程組的系數(shù)矩陣是不對(duì)稱的滿陣，該方法目前只適用于線性問(wèn)題。