[科普中國]-總體標準偏差

總體標準偏差是無窮多次測量情況下的實驗標準偏差，又稱為理論標準差。計算公式為：

只有當n充分大（例如取n為200以上）的情況下，σ才與s接近，但決不能相等。一般課本或專業(yè)書籍上， 往往把σ稱為標準偏差。通常，σ是未知的，S只能作為σ的估算值。而且， 由于n的次數(shù)有限，s本身也有個不確定度。

標準偏差是一組數(shù)值自平均值分散開來的程度的一種測量觀念。一個較大的標準偏差，代表大部分的數(shù)值和其平均值之間差異較大；一個較小的標準偏差，代表這些數(shù)值較接近平均值。

總體標準偏差σ值小，表明測量值比較集中，σ值大表明測量值比較分散。其中， 的目的是為避免正誤差和負誤差相互抵消，因而取其絕對值，開方的目的是為了不改變其量綱。

可用標準偏差表征測量值的分散程度， 例如用標準偏差表征測量儀器的重復性和復現(xiàn)性。σ是無限次測量的誤差的正均方根值，但它不是一個具體的誤差。式 -μ=δ，實際上真值是不可知的，一般以算術平均值來作為真值μ的最佳估計值。因此，可以用 代替μ，而用s作為總體標準偏差σ的估計值，此時有：

現(xiàn)在的問題是，S是否就是σ的無偏估計值。為了解決這個問題只要計算一下 的數(shù)學期望是否是 。如果計算得到 的數(shù)學期望是 ，那么就說明S就是σ的無偏估計值，否則就不是。為了計算方便，先把 寫成下面的形式：

則有：

由此可見， 的數(shù)學期望并不等于 ，因此 不是 的無偏估計值。如果用 來估計 ，必然在結果中含有一個系統(tǒng)誤差 。為了得到參數(shù) 的無偏估計值，只要把 乘以 就可以了，這就是說：

其中， 稱為總體方差。為了區(qū)別總體標準偏差，用S作為總體標準偏差σ的無偏估計值，則有：

這就是著名的貝塞爾公式。對同一被測量作n次測量，表征測量結果分散性的量s，可用貝塞爾公式算出。稱s為單次測量的標準偏差，一般稱其為實驗標準偏差，是表征測量結果分散性的重要參數(shù)。式中x為n次測量的算術平均值，xi-x=νi是殘差，n-1為自由度?？梢钥闯?，計算實驗標準偏差的3個重要參數(shù)是算術平均值、殘差和自由度。而σ為總體標準偏差，s為實驗標準偏差， 為總體方差， 為實驗方差。

當n→∞時， =μ，說明實驗標準偏差s與總體標準偏差σ的原始定義是一致的。而在n有限時，實驗標準偏差s計算所得的值只是總體標準偏差σ的一個估計值1。

總體標準偏差σ的物理意義是：當一臺確定的儀器對同一物理量進行n次重復測量時，表述該測量列隨機誤差的分散程度，σ越小。說明該儀器的精密度越好，反之精密度越差；或者，當用一臺確定的儀器對一批 個（或n組）零件進行測量時，表達該組被測件隨機誤差的分散程度， σ越小，說明該批零件的工藝穩(wěn)定性好，反之，工
　　藝穩(wěn)定性差。

可以看出，通過測量誤差引出了算術平均值，通過算術平均值引出了殘差和自由度， 進而引出了實驗標準偏差，實驗標準偏差用來表征對同一被測量作n次測量結果的分散性。而表征合理地賦予被測量之值的分散性，并與測量結果相聯(lián)系的參數(shù)就是測量不確定度。因此，實驗標準偏差是測量不確定度評定的重要參數(shù)，也是測量不確定度評定的理論基礎。

無論是總體標準偏差σ還是實驗標準偏差s，都不是一個具體的誤差。它的數(shù)值大小只不過說明在一定條件下進行一系列測量時， 隨機誤差出現(xiàn)的概率密度分布情況。σ值小表明測量值比較集中，σ值大表明測量值比較分散。所以，在測量中，取測量列的算術平均值作為測量結果，用實驗標準偏差表征測量值的分散程度。因此，算術平均值和實驗標準偏差是測量不確定度評定的數(shù)字特征。

在編制儀器的檢定規(guī)程時，除通過一定的分析計算，最終還須進行一系列的實驗測試。用n次測試結果計算出 σ值，然后根據(jù)需要給定其極限誤差。如我廠自制一臺稱重量用的測力裝置。被測參數(shù)為2000kg士15% 。該裝置的允許極限誤差究竟給多大才合理，保證使用要求？我們用三等測力計對其進行20次等精度測量。算出 σ=4.54，我們?nèi)O限誤差為3σ=15kg，證明該裝置能滿足使用要求。

當儀器不變，被測對象改變，即用同一臺儀器對同一批零件進行n件（或n組）測量，根據(jù)測量結果計算出 σ，以便進行工藝調整，尤其對特殊精密加工設備大修后的考核。除按規(guī)程經(jīng)機修檢驗外，一般都要試加工零件。送計量室，給出結論。這里就不能以一兩件零件來評定，而應重復加工數(shù)件，用確定修后結果。

當被測零件（或參數(shù)）精度特別高，又無更高精度的儀器可供選擇，而在已有的幾臺同類儀器上分別測量時。其結果差異又較大（儀器均合格），則可對幾臺儀器進行等精度檢定，分別計算出各自的σ值。在別無選擇的情況下，即可選其中σ最小的一臺用于該零件的測量。

當對一批測量值供需雙方有爭議，又不便對提出異議方的實物進行復測時，則可從被訴方同一批尚存的樣件中抽取n個子樣進行復測（或從原記錄中抽取n個數(shù)值）計算出σ值（為慎重，可同時復核一下計量器具的合格性），再根據(jù)對方提供的數(shù)據(jù)算出σ1值。如果被訴方的計量器具合格，且選擇符合誤差要求，當出現(xiàn) σ1>>σ 時，即可斷定σ1方的測量不準。利用這種分析方法可避免盲目退貨或盲目派員處理。如寶鋼就曾用此方法處理一起涉外爭議：一批出口鋼坯，對方提出異議，他們在確認計量器具合格的基礎上，從未發(fā)出的同一批中抽取32件進行復測，算出σ=0.03，據(jù)對方提供的數(shù)據(jù)算出σ1=0.21，σ1>> σ，因此確認對方測量有誤。對方終于接受了寶鋼的結論，撤銷了異議2。