[科普中國(guó)]-對(duì)數(shù)容量

對(duì)數(shù)容量(logarithmic capacity)是由對(duì)數(shù)核確定的一種容量。在R中，關(guān)于對(duì)數(shù)核考慮緊集F的倒容量Wl(F)，當(dāng)限制F包含于單位圓B內(nèi)時(shí)，若Wl(F)>0，則把1/Wl(F)稱為F的維納容量。

概念對(duì)數(shù)容量(logarithmic capacity)是由對(duì)數(shù)核確定的一種容量。在R中，關(guān)于對(duì)數(shù)核考慮緊集F的倒容量Wl(F)，當(dāng)限制F包含于單位圓B內(nèi)時(shí)，若Wl(F)>0，則把1/Wl(F)稱為F的維納容量。對(duì)一般緊集F，Wl(F)可能取0值或負(fù)值，要做類似的處理不方便，故定義：

為F的對(duì)數(shù)容量.對(duì)F?B，兩種容量值相差甚大，但兩種零容集等價(jià)，都是全不連通的勒貝格零集。值得注意的是，包含于區(qū)間[0，1]的康托爾三分集是勒貝格零集，但具有正的對(duì)數(shù)容量。當(dāng)Cl(F)>0時(shí)，對(duì)R\F的無界分支上以無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為極的格林函數(shù)g(z，∞)，極限

存在，稱為魯賓常數(shù)，它正好等于Wl(F)。1

容量容量是刻畫巴拿赫空間中緊集的“大小”或“粗細(xì)”的一個(gè)不變量。設(shè)X是巴拿赫空間，A是X的一個(gè)緊子集?！瑇‖是x∈X的范數(shù)，是給定的正數(shù)，y1，y2，…，ym是A中的m個(gè)點(diǎn)，如果它們中每?jī)牲c(diǎn)之間的距離都超過ε，也即i≠k(i，k=1，2，…，m)時(shí)ρ(yi，yk)=‖yi-yk‖>ε，則稱點(diǎn)組{yk}k=1是ε-分離的.自然，對(duì)給定的ε>0，ε-分離的點(diǎn)組{yk}k=1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)與這些點(diǎn)的取法有關(guān)。但其最大值Mε(A)=maxm卻是集A的一個(gè)不變量，Cε(A)=logMε(A)稱為A的容量。Cε(A)關(guān)于A是單調(diào)遞增的而關(guān)于ε則是單調(diào)遞減的.在函數(shù)逼近論中，主要是對(duì)一些函數(shù)類考慮其容量在ε→0時(shí)的漸近性態(tài)及其應(yīng)用。它開始于20世紀(jì)50年代。

容量與熵之間有如下關(guān)系：若X是巴拿赫空間，A是X的緊子集，則對(duì)ε>0有不等式：

其中Cε(A)是A的容量，Hε(A)是A的熵，Hε(A)是A關(guān)于X的熵。

對(duì)數(shù)位勢(shì)對(duì)數(shù)位勢(shì)是一般位勢(shì)的經(jīng)典模型之一。在R中，以K(x，y)=-log|x-y|為核(稱為對(duì)數(shù)核)的位勢(shì)稱為對(duì)數(shù)位勢(shì)，記為Ul。對(duì)數(shù)核是對(duì)稱的、平移不變的，但不是正核.二維引力場(chǎng)的位勢(shì)即為對(duì)數(shù)位勢(shì)。

位勢(shì)論現(xiàn)代分析數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)分支，主要研究各種形式的位勢(shì)(函數(shù))和與其密切關(guān)聯(lián)的調(diào)和函數(shù)、上(下、超、次)調(diào)和函數(shù)族的各種性質(zhì)及其應(yīng)用。經(jīng)典位勢(shì)論的主要研究工具是微積分，并與微分方程、復(fù)變函數(shù)論緊密關(guān)聯(lián);現(xiàn)代位勢(shì)論以拓?fù)洹⒎汉治雠c測(cè)度論、廣義函數(shù)等為主要工具，與分析數(shù)學(xué)領(lǐng)域的諸多分支相互滲透并和隨機(jī)過程建立了深刻的內(nèi)在聯(lián)系。位勢(shì)論起源于物理學(xué)的萬有引力學(xué)說和靜電學(xué)，遠(yuǎn)在1733年，拉格朗日(Lagrange，J.-L.)就注意到引力場(chǎng)是一個(gè)函數(shù)(稱為牛頓位勢(shì))的梯度。

1925年，里斯(Riesz，F(xiàn).)引進(jìn)了上(下)調(diào)和函數(shù)的概念，為位勢(shì)論研究提供了新的方法；里斯分解定理建立了上調(diào)和函數(shù)與位勢(shì)之間的緊密聯(lián)系；而對(duì)上調(diào)和函數(shù)連續(xù)性的研究導(dǎo)致了細(xì)拓?fù)涓拍畹囊搿?

20世紀(jì)30年代，瓦萊·普桑(Vallée-Poussin，C.-J.-G.-N.de la)用現(xiàn)代觀點(diǎn)改進(jìn)并發(fā)展了龐加萊掃除法；弗羅斯特曼(Frostman，O.)發(fā)展了高斯變分法，成功地解決了緊集的平衡問題和掃除問題。同期，位勢(shì)論已推廣到非古典核的情況，特別是里斯位勢(shì)核，它已不屬于通常與偏微分方程關(guān)聯(lián)的位勢(shì)核了。

從20世紀(jì)40年代起，泛函分析、拓?fù)鋵W(xué)的方法被系統(tǒng)地引入位勢(shì)論并使它發(fā)展到一個(gè)新水平。1941年，嘉當(dāng)(Cartan，H.)利用希爾伯特空間理論研究具有有限能量的測(cè)度等，得到很大成功；同年，馬丁(Martin，R.S.)建立了馬丁邊界理論，導(dǎo)致了關(guān)于一般理想邊界的深入研究；1950年，戴尼(Deny，J.)用廣義函數(shù)論解決了完備化問題;1955年，紹凱(Choquet，G.)建立了一般容量理論及可容性定理，并用凸錐極端點(diǎn)理論改進(jìn)了馬丁的成果.此外，對(duì)于更一般空間(例如流形、LCA群)和更一般位勢(shì)核的位勢(shì)論也有了深入的探討。

近30多年來，位勢(shì)論迅速發(fā)展，其顯著特點(diǎn)之一是各種公理體系的建立.為統(tǒng)一處理已有的理論并加以推廣使之適用于一般橢圓型和拋物型方程或隨機(jī)過程，自20世紀(jì)50年代中期起，陶茨(Tautz，G.)、杜布(Doob，J.L.)、布雷洛、鮑爾(Bauer，H.)、邦尼(Bony，J.M.)、康斯坦丁斯庫(Constantinescu，C.)和柯尼(Cornea，A.)等人分別提出了不同的公理系統(tǒng)，建立各種形式的調(diào)和空間位勢(shì)論(最近，關(guān)于多重調(diào)和空間及非線性位勢(shì)論的公理系統(tǒng)也先后建立起來)；而戴尼和博靈(Beurling，A.)等人則從能量和狄利克雷積分等概念出發(fā)建立了狄利克雷空間論。位勢(shì)論發(fā)展的另一個(gè)顯著特點(diǎn)是，越來越廣泛深入地與相鄰分支，如復(fù)分析(包括黎曼曲面)、拓?fù)鋵W(xué)、幾何測(cè)度論、微分幾何、微分方程、調(diào)和分析等相互結(jié)合和滲透，且發(fā)揮日益明顯的作用與影響。特別引人注目的是，對(duì)于它與隨機(jī)過程論之深刻聯(lián)系的深入研究，同時(shí)促進(jìn)了這兩個(gè)分支的繁榮和發(fā)展，在杜布、亨特(Hunt，G.A.)、邁耶(Meyer，P.A.)和鐘開萊等人出色工作的基礎(chǔ)上，產(chǎn)生了所謂概率位勢(shì)論或馬爾可夫過程位勢(shì)論，與此有關(guān)的課題正吸引著大批學(xué)者去做深入研究。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)