[科普中國(guó)]-可行方向

整體介紹

一個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)在可行域內(nèi)是一個(gè)自由點(diǎn)，即在各個(gè)方向上都可以作出移動(dòng)得到新點(diǎn)，如圖1所示，但一旦當(dāng)設(shè)計(jì)點(diǎn)處于一個(gè)起作用約束上時(shí)，它的移動(dòng)就會(huì)受到可行性的限制。此時(shí)點(diǎn)的可行方向s必滿足2

條件，因?yàn)橐剐曼c(diǎn)在內(nèi)，必滿足，由于

其中，且對(duì)于充分小的常數(shù)，故式必定成立。此時(shí)，可行方向s與約束梯度向量的夾角大于90°，如圖1所示。2

式的極限情況是取等號(hào)，這時(shí)有

即可行方向s與該點(diǎn)的約束梯度向量垂直，也就是說，該點(diǎn)的可行方向就是該點(diǎn)約束面的切線方向t—t。

當(dāng)某個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)同時(shí)有幾個(gè)約束起作用時(shí)，如圖1中的x點(diǎn)是約束和約束約束面的交點(diǎn)，其可行方向集合

即圖中的陰影線內(nèi)的任一方向都是可行方向。同理，當(dāng)既有不等約束的起作用約束集合又有等式約束集合時(shí)，其x點(diǎn)的可行方向集合為：2

產(chǎn)生可行方向的條件可行方向是指沿該方向作微小移動(dòng)后，所得到的新點(diǎn)是可行點(diǎn)，且目標(biāo)函數(shù)值有所下降。顯然，可行方向應(yīng)滿足可行和下降兩個(gè)條件。

可行條件方向的可行條件是指沿該方向作微小移動(dòng)后，所得到的新點(diǎn)為可行點(diǎn)。若點(diǎn)在一個(gè)約束面上，對(duì)點(diǎn)作約束面的切線，顯然滿足可行條件的方向應(yīng)與起作用的約束函數(shù)在點(diǎn)的梯度的夾角大于或等于90°。

下降條件方向的下降條件是指沿該方向作微小移動(dòng)后，所得新點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值是下降的,滿足下降條件的方向應(yīng)和目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)的梯度的夾角大于90°。3

可行方向的產(chǎn)生方法滿足可行和下降條件的方向在可行下降方向區(qū)內(nèi)，則在該區(qū)內(nèi)尋找一個(gè)最有利的方向作為本次迭代的搜索方向，關(guān)于這個(gè)方向的產(chǎn)生方法主要有隨機(jī)產(chǎn)生法、線性規(guī)劃法和梯度投影法幾種，具體方法及過程可參考后文相關(guān)參考書籍。3

隨機(jī)產(chǎn)生法這種方法從原理上講與隨機(jī)方向搜索法產(chǎn)生的方法基本相同。先在點(diǎn)產(chǎn)生N個(gè)隨機(jī)單位方向向量，然后將產(chǎn)生的N個(gè)方向逐個(gè)進(jìn)行可行性和下降條件的檢驗(yàn)，用這種方法產(chǎn)生適用可行方向的優(yōu)點(diǎn)是比較簡(jiǎn)單，容易實(shí)現(xiàn)程序化。

線性規(guī)劃法這種方法對(duì)線性和非線性的不等式約束優(yōu)化問題均適應(yīng)，但不能容納等式約束，是可行方向法中選擇適用可行方向的主要方法之一。這種方法的要點(diǎn)是：在可行下降扇形區(qū)內(nèi)選擇一方向d進(jìn)行搜索，可得到一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值下降的可行點(diǎn)。3

梯度投影法梯度投影法有時(shí)也稱為大步梯度法，主要用于求解線性約束優(yōu)化問題。當(dāng)沿約束面進(jìn)行尋優(yōu)搜索時(shí)，需要確定一個(gè)沿約束面運(yùn)動(dòng)的適用可行方向。3