[科普中國]-復(fù)合分布

復(fù)合分布(composite distribution)是一類概率分布，如果一個隨機變量ξ服從的分布與一個參數(shù)α有關(guān)，而α也是一個隨機變量，α服從一個確定的分布，這時稱隨機變量ξ服從一個復(fù)合分布。例如，復(fù)合二項分布、復(fù)合泊松分布、復(fù)合負(fù)二項分布等。

基本介紹復(fù)合分布是由分布參數(shù)的隨機化產(chǎn)生的概率分布。設(shè)隨機變量的分布函數(shù)[或概率函數(shù)]所依賴的參數(shù)本身是隨機變量，則由分布函數(shù)[或概率函數(shù)]

所決定的概率分布稱做復(fù)合分布。如X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，其分布函數(shù)為，而服從參數(shù)為的分布，則相應(yīng)的復(fù)合分布的分布函數(shù)為

混合分布也可以視為復(fù)合分布。

相關(guān)定理設(shè)隨機變量服從的分布與一個參數(shù)有關(guān)，而也是一個隨機變量，它服從一個確定的分布，且與相互獨立，這時稱隨機變量服從一個復(fù)合分布1。

定理1設(shè)隨機變量與參數(shù)均是取值為非負(fù)整數(shù)的離散型隨機變量，且，則復(fù)合分布為

**證明：**考慮二維隨機變量，對于，由條件分布，得

故邊際分布

即為所求。

定理2設(shè)為離散型隨機變量，為連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)滿足，當(dāng)

時，時，，則復(fù)合分布為

其中。

定理3設(shè)為連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為，為離散型隨機變量，其分布滿足，則復(fù)合分布為

定理4設(shè)，均為連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)分別為且滿足，當(dāng)時，，則復(fù)合分布的密度函數(shù)為1

舉例說明例1 復(fù)合二項分布

設(shè)服從二項分布，，其中n服從參數(shù)為的泊松分布，則復(fù)合二項分布為

例2 設(shè)隨機變量服從泊松分布

其中參數(shù)是一個連續(xù)型隨機變量。其密度函數(shù)

則復(fù)合分布為

令，，于是

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財經(jīng)大學(xué)