[科普中國(guó)]-最小數(shù)原理

基本介紹

集合理論的重要性在于它的方法論意義，我們知道，有些數(shù)學(xué)問(wèn)題所涉及的各個(gè)元素的地位是不均衡的，其中的某個(gè)極端元素往往具有優(yōu)于其他元素的特殊性質(zhì)，能為解題提供方便，而利用這種極端性的依據(jù)之一就是有關(guān)集合的一條簡(jiǎn)單性質(zhì)。

最小數(shù)原理I 設(shè)M是自然數(shù)集的一個(gè)非空子集，則M中必有最小數(shù)。

最小數(shù)原理Ⅱ設(shè)M是實(shí)數(shù)集的一個(gè)有限的非空子集，則M中必有最小數(shù)。

推論 設(shè)M是實(shí)數(shù)集的一個(gè)有限的非空子集，則M中必有最大數(shù)。2

用最小數(shù)原理解決存在性問(wèn)題由于最小數(shù)原理實(shí)際上是一個(gè)存在性定理，因而與證明大量存在性問(wèn)題有著密切的關(guān)系，運(yùn)用最小數(shù)原理處理存在性問(wèn)題的關(guān)鍵首先是構(gòu)造滿(mǎn)足某種性質(zhì)的數(shù)集M，然后利用M中的最小數(shù)證明命題。

【例1】設(shè)S為整數(shù)的非空集，滿(mǎn)足：

（1）如果 那么

（2）如果 那么 ，

求證：在S中存在一個(gè)整數(shù)d，使得S由d的所有倍數(shù)組成。

**證明：**若S={0}，則命題顯然成立。

若S≠{0}，設(shè)S+為S中所有正數(shù)組成的集合，則S+≠?(這是因?yàn)?，S非空，存在非零c∈S，由條件(1)知，0=c-c∈S，-c=0-c∈S，在c，-c中至少有一個(gè)為正)。從而S+中有最小數(shù)，記為d，由(2)，nd∈S(n∈Z)，即{nd|n∈Z} S。

另一方面，對(duì)任意的h∈S有h=nd+r，0≤r