[科普中國(guó)]-轉(zhuǎn)換原理

轉(zhuǎn)換原理亦稱(chēng)萊布尼茨原理，是聯(lián)系分析的標(biāo)準(zhǔn)模型與非標(biāo)準(zhǔn)模型的紐帶。

簡(jiǎn)介轉(zhuǎn)換原理亦稱(chēng)萊布尼茨原理，是聯(lián)系分析的標(biāo)準(zhǔn)模型與非標(biāo)準(zhǔn)模型的紐帶。

簡(jiǎn)單地說(shuō)，轉(zhuǎn)換原理是說(shuō)形式語(yǔ)言中相同的斷言在標(biāo)準(zhǔn)模型和非標(biāo)準(zhǔn)模型中或者同真或者同假。在分析的（初等或高階的）非標(biāo)準(zhǔn)模型的定義中，要求在標(biāo)準(zhǔn)模型中的句子在擴(kuò)張后的非標(biāo)準(zhǔn)模型中也成立；反之，由于后者是前者的擴(kuò)張，因而這種句子在局限于標(biāo)準(zhǔn)模型時(shí)也成立，人們把這個(gè)性質(zhì)稱(chēng)為轉(zhuǎn)換原理。

應(yīng)用在用超冪構(gòu)造的非標(biāo)準(zhǔn)全域中，可以證明轉(zhuǎn)換原理成立。在非標(biāo)準(zhǔn)全域的公理定義中，第二條正是轉(zhuǎn)換原理。

發(fā)展在萊布尼茨(Leibniz,G.W.)發(fā)現(xiàn)微積分的時(shí)候，他曾經(jīng)假定存在一個(gè)數(shù)系，它與通常的實(shí)數(shù)系具有相同的性質(zhì)，但它包含非零的無(wú)限小，萊布尼茨的說(shuō)法顯然包含一個(gè)矛盾，即通常的實(shí)數(shù)系至少不具備萊布尼茨所期望的那種擴(kuò)大的數(shù)系的一條性質(zhì)，即在實(shí)數(shù)系中沒(méi)有非零的無(wú)限小。

魯賓孫(Robinson, A)的重大功績(jī)之一就是使用現(xiàn)代邏輯意義上的形式語(yǔ)言解決了上述矛盾。萊布尼茨的說(shuō)法被重新解釋為：存在實(shí)數(shù)系的一個(gè)擴(kuò)張，它包含非零無(wú)限小元素，而且它與實(shí)數(shù)系具有相同的性質(zhì)，只要這些性質(zhì)能夠在特定的形式語(yǔ)言中被表達(dá)。實(shí)際上，非零無(wú)限小這個(gè)性質(zhì)是不能如此表達(dá)的。1

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

杜強(qiáng) - 高級(jí)工程師 - 中國(guó)科學(xué)院工程熱物理研究所