[科普中國]-回收方向

回收方向(direction of recession)是指實線性空間的集合中的射線所定義的方向。設A為實線性空間X的集合，若h∈X且存在x∈A，使得對于任何λ≥0，有x+λh∈A，那么h稱為A的回收方向1。

定義給定非空凸集，我們說向量是的一個回收方向(direction ofrecession)，如果對所有的和都成立。因此，是的一個回收方向，如果我們從中任意的點出發(fā)，沿著的方向走到無窮，而永遠都不穿過的相對邊界跑到之外的點上去。

所有回收方向的集合是一個包含原點的錐體(core)，我們稱它為的回收錐(recession cone)，并記作 (參見圖1)。于是，如果對所有的和成立。閉凸集的一條重要性質(zhì)就是為檢驗是否成立，只需要驗證對單一的成立就可以了2。

分析理解命題令為閉的真凸函數(shù)，考慮水平集

則:(a) 所有非空水平集都具有相同的回收錐，記作，由

給出，其中是的上圖的回收錐2。

(b) 如果某個非空水平集是緊的，那么所有這些水平集都是緊的。

注意在命題(a) 中，的閉性對于水平集具有共同的回收錐是實質(zhì)性的，讀者可以用一個例子來驗證這一點，考慮如下凸的但非閉的函數(shù).它由

給出.這里，對我們有因此但因此

對于閉的真凸函數(shù)，非空水平集的(公共) 回收錐稱為的回收錐(參見圖2)。向量稱為的回收方向。

理解回收方向的最直觀的方式是從一個下降的角度看問題：如果我們從任意處出發(fā)，并且沿著回收方向隨意運動，我們必然保持位于每個包含的水平集內(nèi)，或者等價地，我們必然只遇到滿足的點換句話說，的回收方向就是對連續(xù)不上升的方向.反過來，如果我們從某個出發(fā)，而且在沿著方向d移動的時候，我們遇到點z滿足，那么d不可能成為回收方向。由的水平集的凸性，一旦我們跨過水平集的相對邊界，我們就永遠不會再次跨越該邊界，而且易知，一個方向若不是回收方向，將是最終連續(xù)上升的方向[見圖3(e),(f)]。

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閉的真凸函數(shù)在某個處沿著方向d的上升/下降行為，如果d是f的回收方向，就存在著兩種可能性: 要么f單調(diào)減少到某個有限值或[分別對應圖和]，要么f達到小于等于的某個值并且保持為該值[圖和]，如果d不是f的回收方向，那么最終f會單調(diào)增加到[圖和]，即對某個和所有滿足的我們有，這樣的行為僅決定于d，獨立于x 在中的選取2。

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財經(jīng)大學