[科普中國]-茹利亞方向

概念

茹利亞方向(Julia direction)是指函數(shù)值分布的奇異方向。對于超越整函數(shù)(或超越亞純函數(shù))，茹利亞方向是復(fù)平面C內(nèi)由原點(diǎn)出發(fā)的具有下述性質(zhì)的半射線J={z|arg z=θ0}：在以J為平分角線的任意小開度的角域內(nèi)，若是整函數(shù)情形，函數(shù)取每一有窮值無窮多次，至多除去一個(gè)例外；若是亞純函數(shù)情形，函數(shù)取每一值無窮多次，至多除去兩個(gè)例外。茹利亞(Julia，G.M.)于1919—1921年應(yīng)用蒙泰爾(Montel，P.A.)創(chuàng)立的正規(guī)族理論證明，任一超越整函數(shù)至少存在一條茹利亞方向。對于亞純函數(shù)的情形需要對函數(shù)f(z)的增長性加上某些條件，例如滿足：1

的亞純函數(shù)存在一條茹利亞方向，其中T(r，f)是f(z)的奈望林納特征函數(shù)。例如正負(fù)實(shí)軸是sin z的茹利亞方向。

整函數(shù)整個(gè)復(fù)平面C內(nèi)的全純函數(shù).多項(xiàng)式是整函數(shù)的特殊情形.不是多項(xiàng)式的整函數(shù)稱為超越整函數(shù)，例如：

此外，兩個(gè)整函數(shù)的和、差、積是整函數(shù)，又若分母恒不為零時(shí)，兩個(gè)整函數(shù)的商仍為整函數(shù)。整函數(shù)可看成多項(xiàng)式的自然推廣。代數(shù)基本定理指出，p次多項(xiàng)式在復(fù)平面內(nèi)恰有p個(gè)根(按重?cái)?shù)計(jì)算).據(jù)此，每一多項(xiàng)式有惟一的乘積表示，即：

f(z)=a(z-z1)…(z-zp)，

其中a為非零常數(shù)，z1，z2，…，zp是f(z)的零點(diǎn).反之，總能構(gòu)造一多項(xiàng)式使得它恰有事先給定的零點(diǎn)和相應(yīng)的重級，它能表示為乘積的形式，且除去一常數(shù)因子之外是惟一確定的.此外，多項(xiàng)式的次數(shù)p還能給出|f(z)|增長速度的度量，即當(dāng)|z|→∞時(shí)，有：

在整函數(shù)的研究中，常以多項(xiàng)式為模型提出并討論相應(yīng)的問題，而獲得類似的結(jié)果。

整函數(shù)的一般理論源于1876年外爾斯特拉斯(Weierstrass，K.(T.W.))的工作，他的兩個(gè)基本定理成為這一理論的出發(fā)點(diǎn).他的第一個(gè)定理是關(guān)于整函數(shù)的因子分解的(參見“魏爾斯特拉斯第一定理”).1882-1884年，拉蓋爾(Laguerre，M.)引入整函數(shù)的格這一新的概念，以此來區(qū)分整函數(shù)的類，整函數(shù)的格在某種意義下類似于多項(xiàng)式的次數(shù).1883年，龐加萊(Poincaré，(J.-)H.)建立了整函數(shù)的最大模：

與格的一個(gè)關(guān)系，即格為k的整函數(shù)滿足：

隨后，1893年，阿達(dá)馬(Hadamard，J.(-S.))得到一系列結(jié)果，它們合起來構(gòu)成了龐加萊定理的反命題。另一方面，1897年，波萊爾(Borel，(F.-é.-J.-)é.)給出了整函數(shù)的級的一個(gè)定義。整函數(shù)f(z)的級為：

外斯特拉斯的第二個(gè)定理是關(guān)于值分布的。1879年，皮卡(Picard，(C.-)é.)用橢圓模函數(shù)的方法證明了下述重要而深刻的定理：如果一整函數(shù)f(z)不取兩個(gè)有窮值，則f(z)為一常數(shù)。1896年，波萊爾給出了皮卡定理的一個(gè)初等證明.他還證明，每一個(gè)有窮ρ級的整函數(shù)，下式對所有a∈C成立：2

至多除去一個(gè)例外的a，其中n(r，a)是圓盤{z||z|≤r}內(nèi)f(z)的a值點(diǎn)個(gè)數(shù)，并按重級計(jì)算。

20世紀(jì)的前20年，波萊爾的結(jié)果是整函數(shù)理論中最高的成就。它使皮卡定理定量化，而且波萊爾定理中考慮的是函數(shù)的a值點(diǎn)數(shù)而不是龐加萊定理和阿達(dá)馬的結(jié)果中所考慮的零點(diǎn)數(shù)。這一點(diǎn)還顯示出有窮級整函數(shù)值分布的對稱性。在此意義下，它與多項(xiàng)式的結(jié)果是相似的。在整函數(shù)理論發(fā)展過程中，威曼(Wiman，A.)、瓦利隆(Valiron，G.)、林德勒夫(Lindelo¨f，E.L.)等人的工作也很活躍，并做出了許多貢獻(xiàn)。20世紀(jì)20年代，奈望林納(Nevanlinna，R.)創(chuàng)立了很廣泛的亞純函數(shù)值分布理論，它包括了整函數(shù)的經(jīng)典結(jié)果作為其特殊情形，而且形式更為精美。

亞純函數(shù)除極點(diǎn)外為全純的函數(shù)為亞純函數(shù)，它是復(fù)變函數(shù)論研究的主要對象之一。

德國數(shù)學(xué)家外爾斯特拉斯、瑞典數(shù)學(xué)家米塔-列夫勒、法國數(shù)學(xué)家柯西等都是亞純函數(shù)理論的奠基人。1876年，外爾斯特拉斯證明了一個(gè)亞純函數(shù)可以表示為兩個(gè)整函數(shù)的商。第二年，瑞典數(shù)學(xué)家米塔-列夫勒推廣了外爾斯特拉斯的結(jié)果，證明在任意一個(gè)區(qū)域上的亞純函數(shù)皆可表示為兩個(gè)函數(shù)的商，其中每一個(gè)都在該區(qū)域內(nèi)解析。法國數(shù)學(xué)家柯西也曾給出一種分解方法，對相當(dāng)廣的一類亞純函數(shù)得到簡單的表示式。

近代亞純函數(shù)理論是20世紀(jì)20年代由芬蘭數(shù)學(xué)家奈望林納所創(chuàng)立。他在1925年發(fā)表了亞純函數(shù)的一個(gè)一般性理論，這個(gè)理論中有兩個(gè)基本定理分別被稱為第一基本定理和第二基本定理，從它們可以推出一系列關(guān)于亞純函數(shù)的值分布的結(jié)果，豐富并推進(jìn)了前人的工作，產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響。

亞純函數(shù)的術(shù)語是由法國數(shù)學(xué)家布里奧和布凱共同引進(jìn)的。

人物簡介——蒙泰爾法國數(shù)學(xué)家。生于尼斯(Nice)。巴黎大學(xué)教授。1937年被選為巴黎科學(xué)院院士。主要貢獻(xiàn)在解析函數(shù)論和拓?fù)鋵W(xué)方面。在解析函數(shù)論中、他引進(jìn)了“正規(guī)函數(shù)族”的概念，給出了解析函數(shù)族是正規(guī)族的條件的“蒙泰爾定理”。主要著作有《正規(guī)解析函數(shù)族及其應(yīng)用》(Lecons sur lesfamilles normales de fonctions analytiques et leurs applications，1927)和《單葉和多葉函數(shù)》(Lec-ons sur les fonctions univalentesou multivalentes，1933)。在線性拓?fù)淇臻g中。他建立了所謂蒙特爾空間，簡稱(M)—空間。根據(jù)他的貢獻(xiàn)，法國許多大學(xué)和其它國家的一些大學(xué)都授予他榮譽(yù)博士稱號。3