[科普中國(guó)]-典范乘積

典范乘積是對(duì)應(yīng)于非零序列的外爾斯特拉斯基本因式構(gòu)成的無(wú)窮乘積，設(shè)有序列，是使

收斂的最小非負(fù)整數(shù)，稱(chēng)

為序列的典范乘積，這里是外爾斯特拉斯基本因式1。

定理1存在一個(gè)具有任意規(guī)定的零點(diǎn)的整函數(shù)，只要在零點(diǎn)為無(wú)窮多的情形下，，.除這些零點(diǎn)之外別無(wú)其他零點(diǎn)的任意整函數(shù)可以表示成如下形式：

其中，乘積是對(duì)所有的取的，為某些整數(shù)，為一個(gè)整函數(shù)2。

這一定理是由魏爾斯特拉斯提出的，它具有如下一條重要的推論：

推論 在整個(gè)平面上的任意亞純函數(shù)必是兩個(gè)整函數(shù)之商。

這是因?yàn)?，如果設(shè)在整個(gè)平面上是亞純的，則可求得一個(gè)整函數(shù)，以的極點(diǎn)作為該函數(shù)的零點(diǎn)，于是積是一個(gè)整函數(shù)，記為，即得，

在表示式(1)中，如果能選擇所有的互等，則該表示式就更為重要，上面的證明表明，只要級(jí)數(shù)對(duì)所有的R收斂，也就是說(shuō)，只要，則無(wú)窮乘積

收斂，而且表示一個(gè)整函數(shù)。設(shè)為使上述級(jí)數(shù)收斂的最小整數(shù)；于是表達(dá)式(2)就稱(chēng)為與序列相關(guān)的典范乘積，稱(chēng)為典型乘積的虧格。

在表示式(1)中，只要可能的話(huà)，我們總應(yīng)用典范乘積，因此這一表示式是惟一確定的，如果在這一表示式中，化為一個(gè)多項(xiàng)式，則稱(chēng)函數(shù)是有窮虧格的，而根據(jù)定義，的虧格就等于這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)或典范乘積的虧格二者之中較大的數(shù)。

例如，虧格等于零的整函數(shù)具有下列形式

且，虧格為1的整函數(shù)的典范表示或者為

其中，；或者為

其中。

定理2 阿達(dá)馬因子分解定理(Hadamard factorization theorem)是有窮級(jí)整函數(shù)的一種表示式。若函數(shù)是有窮級(jí)整函數(shù)，其級(jí)為ρ，則

其中是的零點(diǎn)的典范乘積，是次數(shù)不超過(guò)ρ的多項(xiàng)式，m是在原點(diǎn)的零點(diǎn)的級(jí)。