[科普中國]-阿基米德半群

概念介紹

阿基米德半群(Archimedean semigroup)是單半群的一種推廣。半群S，若對任意a，b∈S，存在n使得a∈SbS(a∈Sb，a∈bS，a∈bS∩Sb)，則稱S為阿基米德的(左阿基米德的，右阿基米德的，t阿基米德的)。它是單半群(左單半群，右單半群)的推廣。阿基米德半群S是單半群的冪零擴(kuò)張，當(dāng)且僅當(dāng)S含正則元。

阿基米德半群是以古希臘著名數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家阿基米德命名而來。2

人物簡介阿基米德是古希臘物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家。靜力學(xué)和流體力學(xué)的奠基人。公元前287年生于西西里島的敘拉古。父親是天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家。少年時在亞歷山大里亞城學(xué)習(xí)。讀書期間對力學(xué)、天文學(xué)、數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣，并表現(xiàn)出非凡的才干。

公元前240年他作了敘拉古國王的顧問。在此期間用他學(xué)到的知識解決了大量生產(chǎn)實踐、軍事技術(shù)方面的難題。傳說國王把黃金交給工匠制作王冠，王冠制成后國王疑心里面摻假，即召見阿基米德來鑒定，他冥思苦想，終于在進(jìn)入澡盆洗澡時發(fā)現(xiàn)水面上浮，由此總結(jié)出他排開水的重量與他身體相等。這樣他解決了國王的疑點(diǎn)，并提出確立浮力大小的著名的阿基米德定律。他還推出了杠桿原理，解決了許多生產(chǎn)實踐問題。對這個原理他深信不疑，并聲稱：“假如給我一個支點(diǎn)，我就能推動地球”。在《論平面圖形的平衡》一書中進(jìn)一步確定了各種平面圖形的重心。

阿基米德一生的主要興趣和研究方向是在純幾何學(xué)方面。他推出了各種幾何圖形的面積、物體的表面積和體積公式。他自己認(rèn)為發(fā)現(xiàn)圓柱體容積和它的內(nèi)接球體的容積的比例是他平生最大的成就。他創(chuàng)立的“窮竭法”是現(xiàn)代微積分的先導(dǎo)。

他一生曾有許多發(fā)明用于生產(chǎn)實踐。為解決尼羅河水灌溉問題，他發(fā)明了“阿基米德螺旋”，即圓筒狀螺旋揚(yáng)水器。他設(shè)計的杠桿加滑輪裝置用很小的力將大船拉到水里。他發(fā)明的作戰(zhàn)器械把羅馬入侵者阻止于敘拉古城外達(dá)三年之久。他還曾讓許多士兵手執(zhí)凹面鏡會聚陽光燒毀了羅馬軍隊的木制戰(zhàn)艦。

公元前212年敘拉古城失陷。正在聚精會神地研究幾何圖形的阿基米德不幸被一羅馬士兵殺死。直到公元前75年他的墳?zāi)共疟划?dāng)時擔(dān)任西西里財政官的西塞羅發(fā)現(xiàn)。并虔誠地做了修繕。多年后羅馬人在他的墓地建造了圓球內(nèi)切于圓柱體的藝術(shù)造型，紀(jì)念他一生對幾何學(xué)的杰出貢獻(xiàn)。

公元1670年，牛津出版了《阿基米德遺著全集》，收集了他一生的全部著作。3

群設(shè)G是一個非空集合，G上有一個叫做乘法的代數(shù)運(yùn)算，即有一個G×G到G的映射，對a，b∈G，(a，b) 在這個映射之下的象記作ab，如果以下條件被滿足，則稱G是一個群： (1) 對于任意的a，b，c∈G，(ab)c=a(bc)。(2)對任意的a，b∈G，方程ax=b，ya=b在G中有解。設(shè)G是一個群，存在唯一的元素e∈G使得對任意的a∈G，ea=ae=a，e稱為G的單位元。對任何a∈G，存在唯一的元素a∈G，使得aa=aa=e，a稱為a的逆元。一個群的元素個數(shù)如果是有限的，則稱這個群是有限群，否則，這個群稱為無限群。有限群的元素個數(shù)稱為這個群的階。對于群G的元素a，使得a=e的最小正整數(shù)m稱為a的階，這里a表示m個a相乘的積，如果不存在這樣的正整數(shù)m，則稱a是無限階的。

設(shè)G1，G2是兩個群，是G1到G2的一個映射，如果對任意的a，b ∈ G，(ab)=φ(a)φ(b)，則稱φ是群G1到G2的同態(tài)。群G1到G2的同態(tài)φ如果是單射(滿射)，則稱φ是單同態(tài)(滿同態(tài))，如果φ還是個一一映射，則稱是一個同構(gòu)，而且稱群G1與G2是同構(gòu)的，記作G1≌G2。如果一個非空集合A到自身的一些一一映射在映射的復(fù)合運(yùn)算下作成一個群，這種群稱為變換群。凱萊定理指出，每個群都與一個變換群同構(gòu)。有限集合到自身的一一映射稱為置換，n個元素的集合的全體置換做成的群稱為n次對稱群，記作Sn。設(shè)G是一個群，a∈G，規(guī)定對于正整數(shù)m，(a-1)=a，a=e，則對任何整數(shù)n，a有意義。設(shè)G是一個群，如果存在a∈G，使得G={a|n為整數(shù)}，則稱G為循環(huán)群，記作G=(a)，a稱為G的一個生成元。設(shè)G=(a)，如果a的階無限，則G與全體整數(shù)在加法運(yùn)算之下做成的群同構(gòu)。如果a的階為正整數(shù)n，則G與模n的剩余類在加法運(yùn)算之下做成的群同構(gòu)。設(shè)G是一個群，H是G的子集，如果H對于G的運(yùn)算也做成一個群，則稱H是G的一個子群。設(shè)H是群G的一個子群，對任意的a∈G，定義aH={ah|h∈H}，Ha={ha|h∈H}，aH和Ha分別稱為子群H的一個左陪集和右陪集。若G是有限群，則H的左、右陪集的個數(shù)都等于|G|/|H|。從而有限群G中每個元素的階都是G的階的因子。設(shè)H是群G的子群，如果對任意的a∈G，aH=Ha，則稱H是G的正規(guī)子群，或不變子群。設(shè)H是G的一個正規(guī)子群，H的左陪集全體記作G/H，對任意的aH，bH ∈ G/H，定義 (aH) (bH) = (ab) H，則G/H也做成一個群，這個群稱為G的一個商群，映射π： G→G/H，a→aH，是一個滿同態(tài)。設(shè)φ是群G1到群G2的同態(tài)，Kerφ= {a∈G1|φ(a)=e}稱為φ的核。φ(G1)={φ(a)|a∈G1} 稱為的象，Ker是G1的正規(guī)子群，(G1)是G2的子群，并且(G1)≌G1/Kerφ。

半群半群是最簡單、最自然的一類代數(shù)系統(tǒng)。一個非空集合S連同定義在它上面的一個結(jié)合的(即滿足結(jié)合律的)二元運(yùn)算“·”的代數(shù)系統(tǒng)(S，·)稱為一個半群。半群(S，·)簡記為S。

半群是群的推廣。群自然是半群；反之顯然未必。半群也是環(huán)的推廣。環(huán)在只考慮它的乘法運(yùn)算的時候是一個半群，稱為環(huán)的乘半群；但任何一個帶零半群卻未必是某個環(huán)的乘半群。半群代數(shù)理論的系統(tǒng)研究始于20世紀(jì)50年代(雖然，這方面的工作可追溯到1904年蘇士凱維奇(Suschkwitz，A.K.)關(guān)于有限半群的論文)。在數(shù)學(xué)內(nèi)部和外部的巨大推動下，半群理論已成為代數(shù)學(xué)的一個公認(rèn)的分支學(xué)科，并早已以其特有的方法獨(dú)立于群論和環(huán)論之外.在20世紀(jì)60年代，蘇聯(lián)和美國率先出版了兩本專著，利雅平(Ляпин，E.C.)的《半群》和克利福德(Clifford，A.H.)與普雷斯頓(Preston，G.B.)的兩卷《半群代數(shù)理論》，這對半群代數(shù)理論的發(fā)展，在國際上起了巨大的推動作用。由德國斯普林格出版社出版的《半群論壇》更是有關(guān)半群理論的一個重要的國際性專門刊物。許多數(shù)學(xué)家在世界各地開展半群理論的研究和各層次高級人才的培養(yǎng)(直到博士后)。半群代數(shù)理論是半群理論中最基本、最活躍、也最富成果的一部分。此外，尚有半群的分析、拓?fù)浜托蚶碚摗?

單群單群是一類重要的群。即不含非平凡正規(guī)子群的群。若群G≠{e}，且除{e}及G本身外不再含其他的正規(guī)子群，則稱G為單群。若此時G還是有限群，則稱G為有限單群。有限單群的例子有：素數(shù)階群，交錯群An，n≥5。有限單群的研究是有限群論中一個十分活躍的領(lǐng)域。

單半群單半群是一類似于單群的半群。不含零的半群S，若不含任何真理想，則稱S為單的。不含零的半群S，若不含任何真左(右)理想，則稱S為左(右)單的。含零的半群，若{0}和S本身是它的僅有的理想，且S≠{0}，則稱S為零-單的。

半單群半單群是一類特殊的群。沒有異于1的交換正規(guī)子群的有限群。設(shè)G是有限群，若G是擬單群的中心積或G=1，則稱G為半單群。例如，有限非交換單群的直積為半單群。有限群G具有一個惟一的極大正規(guī)半單子群，稱為G的層，記為L(G)。5