[科普中國]-對偶元素

對偶元素是射影幾何的一個術(shù)語，指射影幾何中元素間的一種特殊關(guān)系。在歐氏幾何中，幾何圖形是點的軌跡，是把點作為圖形基本元素，而射影幾何認為圖形可看成是直線的包絡(luò)。直線作為點的對偶元素，也是一種基本元素，從而有了線坐標。

射影幾何絕大多數(shù)人所熟悉的幾何學(xué)仍然是公元前300年左右古希臘Euclid建立的歐氏幾何學(xué)而射影幾何學(xué)則是得益于作畫寫生時透視聚焦方法的啟示。從十七世紀開始，幾何學(xué)家在研究投影和截面取景時的方法和結(jié)果，大大地豐富了歐氏幾何的內(nèi)容，并逐漸認識到這是幾何學(xué)一個新的分支，稱之為射影幾何學(xué)。

射影幾何是研究圖形的射影性質(zhì)，即它們經(jīng)過射影變換后，依然保持不變的圖形性質(zhì)的幾何學(xué)分支學(xué)科。也叫投影幾何學(xué)，在經(jīng)典幾何學(xué)中，射影幾何處于一個特殊的地位，通過它可以把其他一些幾何學(xué)聯(lián)系起來。

射影變換有兩個重要的性質(zhì)：首先，射影變換使點列變點列，直線變直線，線束變線束，點和直線的結(jié)合性是射影變換的不變性；其次，射影變換下，交比不變。交比是射影幾何中重要的概念，用它可以說明兩個平面點之間的射影對應(yīng)。

對偶元素簡介對偶元素（dual elements）是射影幾何的一個術(shù)語。指射影幾何中元素間的一種特殊關(guān)系。在射影平面上，點與直線互為對偶元素；在三維射影空間中，點與平面互為對偶元素，直線的對偶元素仍是直線。

在射影幾何里，把點和直線叫做對偶元素，把“過一點作一直線”和“在一直線上取一點”叫做對偶運算。在兩個圖形中，它們?nèi)绻际怯牲c和直線組成，把其中一圖形里的各元素改為它的對偶元素，各運算改為它的對偶運算，結(jié)果就得到另一個圖形。這兩個圖形叫做對偶圖形。在一個命題中敘述的內(nèi)容只是關(guān)于點、直線和平面的位置，可把各元素改為它的對偶元素，各運算改為它的對偶運算的時候，結(jié)果就得到另一個命題。這兩個命題叫做對偶命題。1在射影平面里，如果一個命題成立，則它的對偶命題也成立。

對偶圖形對偶圖形（dual figures），具有特定關(guān)系的兩個圖形。指成對偶對應(yīng)的幾何圖形。射影幾何中一個圖形與把其中的各個幾何元素換成對偶元素，把其中的各個運算換成對偶運算而得到的另一個圖形間的關(guān)系。

例如，在射影平面上，把由點和直線所組成的一個圖形中的各元素改為它的對偶元素，各運算改為它的對偶運算，其結(jié)果形成另一個圖形，這兩個圖形稱為對偶圖形。又如在三維射影空間中，把由點、直線和平面所組成的一個圖形中各元素改為它的對偶元素，各運算改為它的對偶運算，其結(jié)果形成另一個圖形，這兩個圖形稱為空間中的對偶圖形。

對偶命題對偶命題是具有特定關(guān)系的兩個命題，指成對偶對應(yīng)的幾何命題。射影幾何中一個命題與把其中的各個幾何元素換成對偶元素，把其中的各個運算換成對偶運算而得到的另一個命題間的關(guān)系。例如，在射影平面上，設(shè)有點、直線及其相互接合關(guān)系所構(gòu)成的一個命題，將此命題中的各元素改為它的對偶元素，各運算改為它的對偶運算，其結(jié)果形成另一個命題，這兩個命題稱為平面上的對偶命題。又如，在三維射影空間中，設(shè)有點、直線、平面及其相互接合關(guān)系所構(gòu)成的一個命題，將此命題中的各元素改為它的對偶元素，各運算改為它的對偶運算，其結(jié)果形成另一個命題，則這兩個命題稱為三維空間中的對偶命題。

對偶原理在射影幾何中有重要地位，證明一個定理的同時也就證明了它的對偶定理，因此可以事半功倍。注意：對偶原則是射影幾何所特有的，它只適用于幾何元素的結(jié)合與順序關(guān)系的命題，而不能應(yīng)用于度量關(guān)系。

對偶性質(zhì)在歐氏幾何里，認為幾何圖形是點的軌跡，是把點作為圖形基本元素。射影幾何里認為圖形也可看成是直線的包括直線的包絡(luò)。作為點的對偶元素，也是一種基本元素，從而有了線坐標。

在點線的結(jié)合方程里，不同情況下可表示為點的方程或直線的方程，就是說點和直線具有同等的地位，或者說它們是完全對稱的。于是，由代數(shù)推導(dǎo)得出的關(guān)于點的幾何圖形的性質(zhì)對于對偶的線的幾何圖形應(yīng)該同樣具有；反之，關(guān)于線的幾何圖形的性質(zhì)，對于對偶的點的圖形也成立，這就是它們間的代數(shù)對偶性。

射影幾何的對偶原則導(dǎo)致了一種利用對偶性完成命題證明的方法，即當我們不容易直接解決某命題時，可以考慮它的對偶命題，當對偶命題得到解決時，原命題也就解決了。這種方法與證明逆否命題來完成原命題的證明是類似的。2

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

孫和軍 - 副教授 - 南京理工大學(xué)