哥德巴赫猜想的證明：解決難題的新進(jìn)展

編者注：閱讀本文時(shí)，可以跳過公式，不會(huì)影響理解。

自1742年提出至今，哥德巴赫猜想（Goldbach’s conjecture）已經(jīng)困擾數(shù)學(xué)界長(zhǎng)達(dá)三個(gè)世紀(jì)之久。作為數(shù)論領(lǐng)域存在時(shí)間最久的未解難題之一，哥德巴赫猜想儼然成為一面旗幟，激勵(lì)著無數(shù)數(shù)學(xué)家向著真理的彼岸前行。

對(duì)不少人來說，知道哥德巴赫猜想，離不開兩個(gè)人，陳景潤(rùn)和徐遲。后者那篇著名的報(bào)告文學(xué)，讓很多人知道了有位中國數(shù)學(xué)家，用了幾大麻袋演算紙，將哥德巴赫猜想的證明往前推進(jìn)了一步。

但陳景潤(rùn)究竟在這個(gè)領(lǐng)域取得了多大的進(jìn)展呢？讓我們從哥德巴赫猜想本身說起。

源起：素?cái)?shù)引發(fā)的懸案

一個(gè)大于1的自然數(shù)，如果除了1與其自身外，無法被其他自然數(shù)整除，那么稱這個(gè)自然數(shù)為素?cái)?shù)（又稱質(zhì)數(shù)）；大于1的自然數(shù)若不是素?cái)?shù)，則稱之為合數(shù)。

今天故事的發(fā)端，就是這類被稱為“素?cái)?shù)”的數(shù)字。早在古埃及時(shí)代，人們似乎就已經(jīng)意識(shí)到了素?cái)?shù)的存在[1]。而古希臘的數(shù)學(xué)家們很早就已經(jīng)開始對(duì)素?cái)?shù)進(jìn)行系統(tǒng)化的研究。例如歐幾里得在《幾何原本》中就已經(jīng)證明了無限多個(gè)素?cái)?shù)的存在[2]以及算術(shù)基本定理（即正整數(shù)的唯一分解定理，指出任何大于1的自然都可以唯一地寫成若干個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積）[3]。而埃拉托斯特尼提出的篩法則為找出一定范圍內(nèi)所有的素?cái)?shù)提供了可行的思路[4]。

古希臘數(shù)學(xué)家、“幾何學(xué)之父”歐幾里得（左）與數(shù)學(xué)家、地理學(xué)家、天文學(xué)家埃拉托斯特尼（右）。前者在其著作《幾何原本》中提出五大公設(shè)，成為歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。后者設(shè)計(jì)出了經(jīng)緯度系統(tǒng)，并計(jì)算出地球的直徑。

圖片來源：wikipedia

埃拉托斯特尼篩法。篩法的原理十分簡(jiǎn)單，計(jì)算者從2開始，將每個(gè)素?cái)?shù)的倍數(shù)篩出，記作合數(shù)。埃拉托斯特尼篩法是列出所有小素?cái)?shù)最有效的方法之一。

圖片來源：wikipedia

隨著對(duì)素?cái)?shù)理解的深入，素?cái)?shù)的諸多奇特性質(zhì)被人們發(fā)掘出來。1742年6月7日，普魯士數(shù)學(xué)家克里斯蒂安·哥德巴赫在寫給瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉的信中，提到了自己有關(guān)素?cái)?shù)的一個(gè)發(fā)現(xiàn)：任一大于2的整數(shù)都可以寫成三個(gè)質(zhì)數(shù)之和。值得一提的是，當(dāng)時(shí)歐洲數(shù)學(xué)界約定1也是素?cái)?shù)。所以換成現(xiàn)代的數(shù)學(xué)語言，即“任一大于5的整數(shù)都可寫成三個(gè)質(zhì)數(shù)之和”。

將偶數(shù)表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和。截至2012年4月，數(shù)學(xué)家已經(jīng)驗(yàn)證了4乘以10的18次方以內(nèi)的偶數(shù)，沒有發(fā)現(xiàn)哥德巴赫猜想的反例[5]。

圖片來源：wikipedia

哥德巴赫無法確認(rèn)這一發(fā)現(xiàn)的普適性，所以他寄希望于歐拉可以給出證明。歐拉在6月30日的回信中肯定了哥德巴赫的發(fā)現(xiàn)，并給出了猜想的等價(jià)版本:

任一大于2的偶數(shù)，都可表示成兩個(gè)素?cái)?shù)之和。

這也是現(xiàn)在哥德巴赫猜想的通常表述方式，其亦稱為“強(qiáng)哥德巴赫猜想”或“關(guān)于偶數(shù)的哥德巴赫猜想”。歐拉認(rèn)為可以將這一猜想視為定理，只可惜他也無法給出猜想的證明。

哥德巴赫信件的手稿

圖片來源：www.mscs.dal.ca

由“強(qiáng)哥德巴赫猜想”，可以推出：

任一大于5的奇數(shù)都可寫成三個(gè)素?cái)?shù)之和。

這也稱為“弱哥德巴赫猜想”或“關(guān)于奇數(shù)的哥德巴赫猜想”。當(dāng)然如果“強(qiáng)哥德巴赫猜想”可以被證明，“弱哥德巴赫猜想”也就迎刃而解。

沉寂：難以逾越的高山

哥德巴赫猜想的困難程度可以與任何一個(gè)已知的數(shù)學(xué)難題相比。

——戈弗雷·哈羅德·哈代

哥德巴赫猜想一直以來都深受業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者的青睞，一個(gè)很重要的原因就是其表述十分簡(jiǎn)潔易懂。然而猜想的證明實(shí)際上是極為困難的。自1742年猜想被正式提出后的160余年里，數(shù)學(xué)家苦苦探尋，都沒有取得任何實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展，更多的只是提出一些等價(jià)的命題，或者是對(duì)猜想進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證。

1900年，著名數(shù)學(xué)家希爾伯特在第二屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出的著名的二十三個(gè)問題，其中第八個(gè)問題就涉及三個(gè)有關(guān)素?cái)?shù)的猜想：黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素?cái)?shù)猜想。至今上述三個(gè)猜想的研究雖然較20世紀(jì)初已經(jīng)有了長(zhǎng)足的進(jìn)展，甚至有弱化的情況已經(jīng)被證明，但三個(gè)問題本身均仍未被解決。

參加學(xué)術(shù)會(huì)議的希爾伯特。1900年，希爾伯特在巴黎舉行的第二屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上作了題為《數(shù)學(xué)問題》的演講，提出了23個(gè)最重要的數(shù)學(xué)問題。希爾伯特問題在相當(dāng)一段時(shí)間內(nèi)引導(dǎo)了世界數(shù)學(xué)研究的方向，有力地推動(dòng)了20世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展。在許多數(shù)學(xué)家努力下，希爾伯特問題中的大多數(shù)在20世紀(jì)中得到了解決。

圖片來源：The Oberwolfach Photo Collection

然而這長(zhǎng)達(dá)160余年的探索并非毫無成果。由于歐拉、高斯、黎曼、狄利克雷、阿達(dá)馬等數(shù)學(xué)家在數(shù)論與函數(shù)論領(lǐng)域的突破性研究，為之后以哥德巴赫為代表的數(shù)論研究打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

突破：劃破夜空的曙光

數(shù)學(xué)是科學(xué)中的皇后，而數(shù)論是數(shù)學(xué)中的皇后。

——卡爾·弗雷德里?！じ咚?/p>

問題真正的實(shí)質(zhì)性進(jìn)展出現(xiàn)在二十世紀(jì)20年代。當(dāng)時(shí)出現(xiàn)了兩種代表性的思路，一種是英國數(shù)學(xué)家哈代與李特爾伍德在1923年論文中使用的“哈代-李特爾伍德圓法”[6]，另一種是挪威數(shù)學(xué)家布朗（Viggo Brun）使用的“布朗篩法”[7,8]。

哈代（左）、李特爾伍德（中）與布朗（右）。哈代，英國數(shù)學(xué)家，二十世紀(jì)英國分析學(xué)派的代表人物，其研究對(duì)后世分析學(xué)和數(shù)論的發(fā)展有深刻的影響。李利特爾伍德，英國數(shù)學(xué)家，研究領(lǐng)域涵蓋數(shù)論和數(shù)學(xué)分析，與哈代有著長(zhǎng)達(dá)35年的合作。布朗，挪威數(shù)學(xué)家，其在數(shù)論領(lǐng)域的工作極大地推動(dòng)了哥德巴赫猜想和孿生素?cái)?shù)猜想等的研究。

圖片來源：wikipedia、U of St And

借助上述方法，哈代和李特爾伍德在1923年的論文中證明了“在假設(shè)廣義黎曼猜想成立的前提下，每個(gè)充分大的奇數(shù)都能表示為三個(gè)素?cái)?shù)的和以及幾乎每一個(gè)充分大的偶數(shù)都能表示成兩個(gè)素?cái)?shù)的和”[6]。這里的“廣義黎曼猜想”，指的是用狄利克雷L函數(shù)代替黎曼猜想中的黎曼ζ函數(shù)，其他表述不變。哈代和李特爾伍德的工作使哥德巴赫猜想的證明向前邁進(jìn)了一大步。

利用上述方法，布朗在1919年證明，“每個(gè)充分大的偶數(shù)都可以寫成兩個(gè)數(shù)之和，并且這兩個(gè)數(shù)每個(gè)都是不超過9個(gè)素因數(shù)的乘積”[7]，所以上述結(jié)論也被記作“9+9”。按照布朗的思路，如果最終可以將素因數(shù)的個(gè)數(shù)縮減至1個(gè)，即最終證明“1+1”，那么也就意味著證明了哥德巴赫猜想。

沖刺：鼓舞人心的號(hào)角

陳景潤(rùn)的每一項(xiàng)工作，都好像是在喜馬拉雅山山巔上行走。

——安德烈·韋伊

上文提到的兩種思路都在二十世紀(jì)都得到了極大的發(fā)展。這也極大地推動(dòng)了哥德巴赫猜想和弱哥德巴赫猜想的證明工作。1937年蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫（Ivan Vinogradov）在對(duì)于弱哥德巴赫猜想研究中取得了重大的突破[10]。他在圓法的基礎(chǔ)上，去掉了哈代和李特爾伍德證明中對(duì)于廣義黎曼猜想的依賴，完全證明了“充分大的奇素?cái)?shù)都能寫成三個(gè)素?cái)?shù)的和”，即“哥德巴赫-維諾格拉多夫定理”。不過維諾格拉多夫無法給出“充分大”的下限，所以找到這一下限便成為了弱哥德巴赫猜想研究的主要方向。2013年秘魯數(shù)學(xué)家哈洛德·賀歐夫各特（Harald Andrés Helfgott）成功將維諾格拉多夫“充分大”的下限縮小至10的29次方左右，通過計(jì)算機(jī)驗(yàn)證在此之下的所有奇數(shù)，結(jié)果無一例外都符合猜想，從而最終完成了弱哥德巴赫猜想的證明[11]。

維諾格拉多夫（左）與哈洛德·賀歐夫各特（右）。伊萬·馬特維耶維奇·維諾格拉多夫，蘇聯(lián)解析數(shù)論專家，斯捷克洛夫數(shù)學(xué)研究所所長(zhǎng)。哈洛德·賀歐夫各特，秘魯數(shù)學(xué)家，法國國家科學(xué)研究院和巴黎高等師范學(xué)院研究員。

圖片來源：wikipedia

相比較而言，強(qiáng)哥德巴赫猜想的研究困難相對(duì)更大。不過二十世紀(jì)上半葉以來，數(shù)學(xué)家遵照布朗篩法的研究思路，也取得了長(zhǎng)足的進(jìn)展。在布朗證明“9+9”后不久，1924年德裔美籍?dāng)?shù)學(xué)家拉德馬赫（Hans Adolph Rademacher）成功證明了“7+7”[12]，1932年德國數(shù)學(xué)家埃斯特曼（Theodor Estermann）證明了“6+6”[13]，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家布赫希塔布（Alexander. A. Buchstab）于1938年和1940年證明了分別證明了“5+5”與“4+4”[10]。

拉德馬赫（左）與埃斯特曼（右）

圖片來源：Math Gene Proj、Oxford Univ. Press

布朗篩法較以往的數(shù)論方法而言有很強(qiáng)的組合數(shù)學(xué)特征，應(yīng)用起來比較復(fù)雜。所以在研究的過程中，數(shù)學(xué)家不斷對(duì)原有的篩法進(jìn)行改進(jìn)?？紤]到以往的證明中，總是將命題“a+b”與對(duì)一個(gè)篩函數(shù)的估計(jì)直接聯(lián)系起來，得到的結(jié)果相對(duì)較弱。

1941年，庫恩（P. Kuhn）提出了“加權(quán)篩法”，借此我們可以在同樣的篩函數(shù)上、下界估計(jì)的基礎(chǔ)上得到強(qiáng)結(jié)果。例如庫恩于1954年就給出了“a+b<7”[8]，即每個(gè)偶數(shù)都可以寫成兩個(gè)數(shù)之和，使得它們各自的素因數(shù)個(gè)數(shù)加起來的總和小于7。而1950年前后挪威數(shù)學(xué)家阿特勒·塞爾伯格（Atle Selberg）提出的“塞爾伯格篩法”[15]則使得哥德巴赫猜想的研究前進(jìn)了一大步。塞爾伯格利用求二次型極值的方法極大地改進(jìn)了篩法，由此法可以得到篩函數(shù)的上界估計(jì)，結(jié)合布赫希塔布恒等式可以得到篩函數(shù)的下界估計(jì)。在此基礎(chǔ)上，維諾格拉多夫、王元等數(shù)學(xué)家先后完成了“3+3”、“a+b”（a+b<6）以及“2+3”的證明[10]。

塞爾伯格（左）與布赫希塔布（右）。阿特勒·塞爾伯格，挪威數(shù)學(xué)家。研究方向涵蓋解析數(shù)論，以及自守形式理論。獲得1950年的菲爾茲獎(jiǎng)和1986年的沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)。亞歷山大·布赫希塔布，蘇聯(lián)數(shù)論專家，以其對(duì)篩法的研究而聞名。

圖片來源：wikipedia、liveinternet.ru

以上的結(jié)果中，比較遺憾的是無法證明偶數(shù)分拆成的兩個(gè)數(shù)中一定有一個(gè)是素?cái)?shù)。主要原因就在于要證明形如“1+x”的命題時(shí)，需要估計(jì)篩函數(shù)S(A,P,z)的上界和下界時(shí)，需要估計(jì)主項(xiàng)與余項(xiàng)，并證明余項(xiàng)相對(duì)于主項(xiàng)可以忽略。這有點(diǎn)類似圓法的思路。不過“1+x”的估計(jì)涉及到算術(shù)級(jí)數(shù)中素?cái)?shù)分布的均值定理，需要利用較為復(fù)雜的解析數(shù)論手段。

最早取得突破的是匈牙利數(shù)學(xué)家阿爾弗雷德·倫伊（Alfréd Rényi）[16]。他率先定性地證明了命題“1+x”，但卻沒能給出x的具體值。而在這一領(lǐng)域里，我國老一輩數(shù)學(xué)家取得了卓越的成績(jī)。1962年潘承洞利用倫伊的思路成功證明了“1+5”，同年王元指出潘承洞的結(jié)論實(shí)則可以推出“1+4”。

中國解析數(shù)論學(xué)派。左上：華羅庚，右上：王元，下：潘承洞與潘承彪?！爸袊馕鰯?shù)論學(xué)派”指以華羅庚為代表的數(shù)論學(xué)派，該學(xué)派對(duì)于質(zhì)數(shù)分布與哥德巴赫猜想作出了許多重大貢獻(xiàn)。華羅庚，中國科學(xué)院院士，美國國家科學(xué)院外籍院士。他是我國解析數(shù)論、典型群、矩陣幾何、自守函數(shù)論與多元復(fù)變函數(shù)等領(lǐng)域研究的創(chuàng)始人與奠基者，也是中國在世界上最具影響力的數(shù)學(xué)家之一。王元，中國科學(xué)院院士。他首先將解析數(shù)論中的篩法用于哥德巴赫猜想的研究。潘承洞，中科院院士，以哥德巴赫猜想的研究聞名。他首先確定命題“1+x”中x的具體數(shù)值，并證明命題“1+5”和“1+4”成立。潘承彪，中科院院士，著名數(shù)論學(xué)家，潘承洞胞弟，亦是數(shù)論學(xué)家張益唐在北京大學(xué)時(shí)的研究生導(dǎo)師。

圖片來源：U of St And、財(cái)新網(wǎng)

而使用篩法的最好結(jié)果是由我國數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)得到的。1966年，陳景潤(rùn)在《科學(xué)通報(bào)》上發(fā)表了有關(guān)“1+2”的證明，即“任何一個(gè)充分大的偶數(shù)都可以表示成兩個(gè)素?cái)?shù)的和或者一個(gè)素?cái)?shù)及一個(gè)2次殆素?cái)?shù)的和”[17]。換言之，對(duì)于任給一個(gè)大偶數(shù)N，總可以找到奇素?cái)?shù)p',p''或p1,p2,p3，使得

1973年，陳景潤(rùn)給出了“1+2”的詳細(xì)證明，同時(shí)改進(jìn)了1966年研究的數(shù)值結(jié)果。是年4月，中國科學(xué)院主辦的《中國科學(xué)》上，公開發(fā)表了陳景潤(rùn)的論文《大偶數(shù)表為一個(gè)素?cái)?shù)及一個(gè)不超過兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和》[18]。在這一證明中，陳景潤(rùn)對(duì)篩法作出了重大的改進(jìn)，提出了一種新的加權(quán)篩法。因此“1+2”也被稱為陳氏定理。

上面僅僅是對(duì)于陳景潤(rùn)“1+2”證明思路的簡(jiǎn)單梳理，事實(shí)上其證明過程十分繁瑣，而且需要很高的技巧性。能夠最終得出“1+2”的證明，陳景潤(rùn)無愧于數(shù)論大師之名。

陳景潤(rùn)，福建福州人，大學(xué)畢業(yè)于廈門大學(xué)數(shù)學(xué)系。1953年到1954年被分配至北京市第四中學(xué)任教，后被“停職回鄉(xiāng)養(yǎng)病”。1954年，調(diào)回廈大任資料員，同時(shí)開展數(shù)論研究，次年擔(dān)任助教。1957年9月，華羅庚安排把陳景潤(rùn)調(diào)入中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所。1966年，證明了“1+2”（陳氏定理）。

圖片來源：財(cái)新網(wǎng)

陳景潤(rùn)后來不斷改進(jìn)自己的結(jié)果，從某種意義上來說已經(jīng)將篩法的威力發(fā)揮到了極致。但很可惜的是，陳景潤(rùn)的加權(quán)篩法要證明最終哥德巴赫猜想（“1+1”）需要在加權(quán)篩中取x=2，而這將導(dǎo)致估計(jì)主項(xiàng)和余項(xiàng)變得難以實(shí)現(xiàn)。所以如今數(shù)學(xué)界的主流意見認(rèn)為，最終證明哥德巴赫猜想，還需要新的思路或者新的數(shù)學(xué)工具，或者在現(xiàn)有的方法上進(jìn)行顛覆性的改進(jìn)。但無論如何，陳景潤(rùn)已經(jīng)走在了哥德巴赫猜想研究的最前沿。

王元（左）、陳景潤(rùn)（中）與潘承洞（右）

圖片來源：財(cái)新網(wǎng)

哥德巴赫猜想為國人所熟知，很大程度上要?dú)w功于當(dāng)代作家徐遲的報(bào)告文學(xué)《哥德巴赫猜想》[19]。在當(dāng)時(shí)特殊的歷史時(shí)期，這篇報(bào)告文學(xué)使整個(gè)社會(huì)為之一震，同時(shí)也推動(dòng)了我國“報(bào)告文學(xué)”這一文學(xué)題材的繁榮?？上У氖且舱且?yàn)檫@篇報(bào)告文學(xué)，使得不少?zèng)]有受過正規(guī)數(shù)學(xué)訓(xùn)練的數(shù)學(xué)愛好者投入到哥德巴赫猜想的“研究”之中。據(jù)說中科院在相當(dāng)長(zhǎng)的一段時(shí)間里，每年都會(huì)收到“幾麻袋”的討論或聲稱證明了哥德巴赫猜想的來信來稿。而筆者寫作本文的原因之一，也是希望粗略回顧和介紹哥德巴赫猜想與陳景潤(rùn)的“陳氏定理”。同時(shí)希望讀者可以多多少少了解“1+2”、“1+1”之類的命題的真正內(nèi)涵，而不至于望文生義，把哥德巴赫猜想視為一道普普通通的課后習(xí)題。

展望：未完待續(xù)的旅行

數(shù)學(xué)家與畫家和詩人一樣，是模式的創(chuàng)造者?！旮ダ住す_德·哈代

近年來，數(shù)論這一學(xué)科的研究中心似乎也在慢慢轉(zhuǎn)移，哥德巴赫猜想的研究熱度相對(duì)上個(gè)世紀(jì)中葉也有所下降。不過數(shù)學(xué)家對(duì)于以哥德巴赫猜想為代表的素?cái)?shù)相關(guān)問題的研究從來沒有停止。比較著名的有前面提到的黎曼猜想以及孿生素?cái)?shù)猜想。

回望哥德巴赫猜想的發(fā)展歷程，其發(fā)端似乎是數(shù)學(xué)家心血來潮的胡思亂想。事實(shí)上許多歷史上大名鼎鼎的猜想皆是如此。

如今不少人談數(shù)學(xué)而色變，不僅對(duì)于普通人，對(duì)于很多科技工作者來說也是這樣，希望千方百計(jì)地繞開數(shù)學(xué)這匹“猛獸”。為此不少數(shù)學(xué)家絞盡腦汁，要找出數(shù)學(xué)和日常生活的種種聯(lián)系。

其實(shí)，一方面數(shù)學(xué)本就與世界的發(fā)展密不可分，另一方面快節(jié)奏的時(shí)代追求“經(jīng)世致用”本也無可非議。只不過筆者此處更希望從數(shù)學(xué)本身來看待其存在的意義。如哈代所言，“數(shù)學(xué)家與畫家和詩人一樣，是模式的創(chuàng)造者”，數(shù)學(xué)本身是有其美感存在的。數(shù)學(xué)界追求真理的旅行，就是發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造美的旅行。中科院物理所的曹則賢老師曾在他的書里提到，“讀數(shù)學(xué)、物理書和看小說一樣，并非完全能看懂的就是好的”[2]。但愿本文的讀者也不會(huì)被文中偶爾蹦出來的公式嚇到，而是可以透過這些繁雜的演算獲得屬于自己的思考。

“人是一株會(huì)思考的蘆葦。”沒有了思考，人類終將失去存在的意義。

參考文獻(xiàn):

[1] Gillings, R. J. (1974). The Recto of the Rhind mathematical papyrus how did the ancient Egyptian scribe prepare it. Archive for History of Exact Sciences, 12(4), 291-298.

[2] 曹則賢 (2019). 驚艷一擊：數(shù)理史上的絕妙證明. 北京：外語教學(xué)與研究出版社.

[3] Stillwell, J . (2010) Mathematics and its history. New York: Springer-Verlag.

[4] Pomerance, Carl (1982). The Search for Prime Numbers. Scientific American. 247 (6): 136–147.

[5] Weisstein, Eric W. "Goldbach Conjecture." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https:// mathworld.wolfram.com/ Goldbach Conjecture.html.

[6] Hardy, G. H. and Littlewood, J. E. (1923). Some Problems of Partitio Numerorum (III): On the expression of a number as a sum of primes. Acta Mathematica. 44: 1–70.

[7] Viggo Brun (1919). "La série 1/5 + 1/7 + 1/11 + 1/13 + 1/17 + 1/19 + 1/29 + 1/31 + 1/41 + 1/43 + 1/59 + 1/61 + ..., où les dénominateurs sont nombres premiers jumeaux est convergente ou finie". Bulletin des Sciences Mathématiques. 43: 100–104, 124–128.

[8] 王元 (1984). The Goldbach Conjecture. New Jersey: World Scientific.

[9] Halberstam, Heini and Richert, Hans-Egon. Sieve Methods. London Mathematical Society Monographs 4. London-New York: Academic Press. 1974.

[10] 潘承洞，潘承彪 (1981). 哥德巴赫猜想. 北京：科學(xué)出版社.

[11] Helfgott, H. A. (2013). Major arcs for Goldbach's problem. arXiv preprint arXiv:1305.2897.

[12] Rademacher, H. (1924, December). Beitr?ge zur viggo brunschen methode in der zahlentheorie. In Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universit?t Hamburg (Vol. 3, No. 1, pp. 12-30). Springer-Verlag.

[13] Estermann, T. (1932). Eine neue Darstellung und neue Anwendungen der Viggo Brunschen Methode. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1932(168), 106-116.

[14] Kuhn, P. (1941). Zur Viggo Brun'schen Siebmethode. I. Norske Vid. Selsk. Forh., Trondhjem, 14, 145-148.

[15] Selberg, A. (1984). On an elementary method in the theory of primes. In Goldbach Conjecture (pp. 151-154).

[16] "On the representation of even numbers as sums of a prime and an almost prime number,"Izv. Akad. Nauk. SSSR Ser. Mat., Vol. 12 (1948), pp. 57-78. (In Russian.)

[17] 陳景潤(rùn). On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes. 科學(xué)通報(bào)（英文版）. 1966, (9): 385–386.

[18] 陳景潤(rùn). 大偶數(shù)表為一個(gè)素?cái)?shù)及一個(gè)不超過二個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和. 中國科學(xué)A輯. 1973, (2): 111–128.

[19] 徐遲. 哥德巴赫猜想. 人民文學(xué). 1978, (1): 53–68.

[20] https://asone.ai/polymath/ index.php?title=Bounded _gaps _between_primes.