[科普中國]-正合序列

在數(shù)學中，正合序列、正合列或譯作恰當序列于同調(diào)代數(shù)中居于核心地位，其中特別重要的一類是短正合序列。

定義一個由某類適宜的范疇（例如阿貝爾群、向量空間或模，詳如后述）中的對象與態(tài)射構成的序列

被稱作在 處正合，當且僅當

一般而言，該范疇中的序列

被稱作是正合的，當且僅當它在 、 、 處正合。類似定義可以推廣至沒有端點的無窮序列。

為了探討序列的正合性，范疇中必須能構造一個態(tài)射的像 與核 ，并確保這兩種構造具備在阿貝爾群、向量空間或模的情形一樣的范疇論性質(zhì)。處理這類問題的框架是阿貝爾范疇，以下考慮的范疇如未說明皆為阿貝爾范疇。1

例子1、序列

正合的充要條件是 是單射。

2、序列

正合的充要條件是 是滿射。

3、對任何態(tài)射 ，以下序列都是正合的：

注意：在群的范疇中，必須要求 在 中的像是正規(guī)子群才能考慮 ，故上述正合性對一般范疇不成立。1

短正合序列一個具下述形式的正合序列：

稱作短正合序列。

分裂短正合序列若以下任一等價條件成立，則稱短正合序列分裂：

1、有截面（即存在使得）。

2、有縮回（即存在使得）。

3、該短正合序列同構（在鏈復形的意義下）于

其中的箭頭是直和的典范映射。

對于群的范疇，前兩個條件不一定蘊含第三個，它們只能保證可以表為與的半直積；例如我們可考慮群同態(tài)

其中是3次對稱群。由給出，它的像是交代群，商為；但無法分解成。

將正合序列拆解為短正合序列正合序列可以透過核Ker與上核Coker的構造拆解為短正合序列，構造方式如下：考慮一正合序列

設

其中，這就給出了一個短正合序列

一般而言，設為鏈復形，我們同樣定義；此時鏈復形的正合性等價于所有短鏈的正合性。

推廣給定一個短正合序列

有時也稱為經(jīng)由的擴張。2

長正合序列若有鏈復形的短正合序列：

反復運用蛇引理，可以導出正合序列：

對上鏈復形的上同調(diào)亦同，此時連接同態(tài)的方向是。這類序列稱作長正合序列，它是同調(diào)代數(shù)最重要的技術之一。在代數(shù)拓撲中，長正合序列與相對同調(diào)群和Mayer-Vietoris序列相關。導函子也可以導出相應的長正合序列。2

參見正合函子

鏈復形

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財經(jīng)大學