[科普中國]-最小作用原理

在物理學(xué)里，最小作用原理，即最小作用量原理（英語：least action principle），或更精確地，平穩(wěn)作用量原理（英語：stationary action principle），是一種變分原理，當(dāng)應(yīng)用于一個機(jī)械系統(tǒng)的作用量時，可以得到此機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動方程。這原理的研究引導(dǎo)出經(jīng)典力學(xué)的拉格朗日表述和哈密頓表述的發(fā)展?？枴ぱ趴杀忍胤Q最小作用量原理為分析力學(xué)之母[1]。

在現(xiàn)代物理學(xué)里，這原理非常重要，在相對論、量子力學(xué)、量子場論里，都有廣泛的用途。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)里，這原理是莫爾斯理論的研究焦點(diǎn)。本篇文章主要是在闡述最小作用量原理的歷史發(fā)展。關(guān)于數(shù)學(xué)描述、推導(dǎo)和實(shí)用方法，請參閱條目作用量。最小作用量原理有很多種例子，主要的例子是莫佩爾蒂原理（Maupertuis' principle）和哈密頓原理。

在最小作用量原理之前，有很多類似的點(diǎn)子出現(xiàn)于測量學(xué)和光學(xué)。古埃及的拉繩測量者（rope stretcher）在測量兩點(diǎn)之間的距離時，會將固定于這兩點(diǎn)的繩索拉緊，這樣，可以使間隔距離減少至最低值[2]。托勒密在他的著作《地理學(xué)指南》（Geographia）第一冊第二章里強(qiáng)調(diào)，測量者必須對于直線路線的誤差做出適當(dāng)?shù)男拚?。古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《反射光學(xué)》（Catoptrica）里表明，將光線照射于鏡子，則光線的反射路徑的入射角等于反射角。稍后，亞歷山大的希羅證明這路徑的長度是最短的[3]。

費(fèi)馬的表述1662年，皮埃爾·德·費(fèi)馬提出費(fèi)馬原理，又稱為“最短時間原理”：光線移動的路徑是需時最少的路徑。1

費(fèi)馬原理更正確的版本應(yīng)是“平穩(wěn)時間原理”。對于某些狀況，光線移動的路徑所需的時間可能不是最小值，而是最大值，或甚至是拐值。例如，對于平面鏡，任意兩點(diǎn)的反射路徑光程是最小值；對于半橢圓形鏡子，其兩個焦點(diǎn)的光線反射路徑不是唯一的，光程都一樣，是最大值，也是最小值；對于半圓形鏡子，其兩個端點(diǎn)Q、P的反射路徑光程是最大值；又如最右圖所示，對于由四分之一圓形鏡與平面鏡組合而成的鏡子，同樣這兩個點(diǎn)Q、P的反射路徑的光程是拐值。

假設(shè)，介質(zhì)1、介質(zhì)2的折射率分別為、，光線從介質(zhì)1在點(diǎn)O移動進(jìn)入介質(zhì)2，則斯涅爾定律以方程表達(dá)為

其中，為入射角，為折射角。

從費(fèi)馬原理，可以推導(dǎo)出斯涅爾定律。通過設(shè)定光程對于時間的導(dǎo)數(shù)為零，可以找到“平穩(wěn)路徑”，這就是光線移動的路徑。光線在介質(zhì)1與介質(zhì)2的速度分別為

其中，是真空光速。

由于介質(zhì)會減緩光線的速度，折射率和都大于。

如右圖所示，從點(diǎn)Q到點(diǎn)P的移動時間為

根據(jù)費(fèi)馬原理，光線移動的路徑是所需時間為極值的路徑，取移動時間對變數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)定其為零：

由圖中的邊角關(guān)系，可以得到移動速度與折射角的關(guān)系式：

將移動速度與折射率的關(guān)系式代入，就會得到斯涅爾定律：

費(fèi)馬原理引發(fā)了極大的爭議。假若介質(zhì)的密度越小，光線的移動速度越快，則費(fèi)馬原理是正確的；但是，艾薩克·牛頓和勒內(nèi)·笛卡兒都認(rèn)為介質(zhì)的密度越大，光線的移動速度就越快。1802年，托馬斯·楊做實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)光波從較低密度介質(zhì)移動進(jìn)入較高密度介質(zhì)之后，光波的波長會變短，他因此推論光波的運(yùn)動速度會降低。23

莫佩爾蒂的表述最小作用量原理應(yīng)用于作用量的最初始表述，時常歸功于皮埃爾·莫佩爾蒂。于1744年和1746年，他寫出一些關(guān)于這方面的論文。但是，史學(xué)專家指出，這優(yōu)先聲明并不明確。萊昂哈德·歐拉在他的1744年論文里就已談到這原理。還有一些考據(jù)顯示出，在1705年，戈特弗里德·萊布尼茨就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)這原理了。

莫佩爾蒂發(fā)表的最小作用量原理闡明，對于所有的自然現(xiàn)象，作用量趨向于最小值。他定義一個運(yùn)動中的物體的作用量為，物體質(zhì)量、移動速度與移動距離的乘積：

莫佩爾蒂又從宇宙論的觀點(diǎn)來論述，最小作用量好像是一種經(jīng)濟(jì)原理。在經(jīng)濟(jì)學(xué)里，大概就是精省資源的意思。這論述的瑕疵是，并沒有任何理由，能夠解釋，為什么作用量趨向最小值，而不是最大值。假若，我們解釋最小作用量為大自然的精省資源，那么，我們又怎樣解釋最大作用量呢？

折射理論于1744年，在巴黎科學(xué)院發(fā)表的一篇論文《幾種以前互不相容的自然定律的合一論》中，莫佩爾蒂提出，光折射的路徑，從一種介質(zhì)到另一種介質(zhì)，是作用量的最小值。按照這論點(diǎn)，如前圖，假設(shè)光線從折射率為的介質(zhì)1折射于折射率為介質(zhì)2，則作用量為

其中，是光線的質(zhì)量。雖然光線并沒有質(zhì)量，這變量對于結(jié)果沒有任何影響，可以被忽略。

取作用量對于變數(shù){\displaystyle x}的導(dǎo)數(shù)，設(shè)定為零，經(jīng)過一些運(yùn)算，可以得到

請注意，這結(jié)果與牛頓的光粒子理論相符合；但是，與費(fèi)馬得到的結(jié)果南轅北轍，大不相同。4

非彈性碰撞1747年，莫佩爾蒂在伯林科學(xué)院（Academy of Berlin）發(fā)表了論文《運(yùn)動與靜止定律》。在這篇論文里，他將碰撞分為兩種，彈性碰撞與非彈性碰撞。彈性碰撞遵守動量守恒和能量守恒；非彈性碰撞只遵守動量守恒。莫佩爾蒂可以將最小作用量原理應(yīng)用于彈性碰撞與非彈性碰撞，正確地計(jì)算出碰撞后的物體的速度。

思考一個一維非彈性碰撞，假設(shè)兩個質(zhì)量分別為和的物體O1和物體O2，分別以初始速度和朝著同一方向移動，而且，，物體O1緊追著物體O2。當(dāng)兩物體發(fā)生非彈性碰撞后，結(jié)合成為物體O3，以終結(jié)速度移動。從固定于物體O3的參考系觀察，物體O1和物體O2的速度分別為和。所以，作用量為

其中，是時間。

取作用量對于變數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)定為零，經(jīng)過一些運(yùn)算，可以得到

所以，最終速度為

請注意，按照這種設(shè)定參考系的方法，前面折射問題的光折射作用量應(yīng)該是

還有，前面光折射作用量的距離參數(shù)是任意值，但是，非彈性碰撞作用量的碰撞前距離參數(shù)與碰撞后距離參數(shù)被設(shè)定為相等。

由于這些不一致之處，促使恩斯特·馬赫嚴(yán)厲批評，莫佩爾蒂的最小作用量原理只是一個模糊不清的概念，勉強(qiáng)地被用來解釋各種不同的物理現(xiàn)象。2

參閱變分法

活力 (物理)（vis viva）

高斯最小約束原理（Gauss' principle of least constraint）

赫茲最小曲率原理（Hertz's principle of least curvature）

雅可比原理（Jacobi's principle）2

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)