[科普中國]-結(jié)構(gòu)塑性極限分析

研究內(nèi)容內(nèi)容

當(dāng)作用在結(jié)構(gòu)上的載荷增大至某一極限值時(shí)，理想塑性材料結(jié)構(gòu)將變成幾何可變機(jī)構(gòu)（見結(jié)構(gòu)的幾何不變性），它的變形無限制地增大，從而使結(jié)構(gòu)失去承載能力。這種狀態(tài)稱為結(jié)構(gòu)的塑性極限狀態(tài)，對(duì)應(yīng)于此狀態(tài)的載荷稱為塑性極限載荷。

目的結(jié)構(gòu)塑性極限分析的目的是：

①求出極限載荷；

②確定極限狀態(tài)下滿足應(yīng)力邊界條件的應(yīng)力分布規(guī)律；

③找出結(jié)構(gòu)破損時(shí)的機(jī)構(gòu)形式。

塑性極限分析是在假設(shè)材料具有理想剛塑性性質(zhì)的前提下進(jìn)行的，因而避開了彈塑性分析的復(fù)雜計(jì)算。由極限分析的解所得到的極限載荷，和由彈塑性分析所得到的極限載荷完全相等。

基本假設(shè)和概念基本假設(shè)和概念在結(jié)構(gòu)極限分析中，一般采用如下幾個(gè)假設(shè)：①材料是理想剛塑性的（彈性應(yīng)變比塑性應(yīng)變小得多且強(qiáng)化性質(zhì)不明顯的材料）。②結(jié)構(gòu)變形足夠小。③在達(dá)到極限狀態(tài)前，結(jié)構(gòu)不失去穩(wěn)定性。④滿足比例加載條件（各應(yīng)力分量按一定比例增長）。

在結(jié)構(gòu)極限分析中，常用到以下兩個(gè)概念：①靜力容許應(yīng)力場。即滿足平衡條件和力的邊界條件且不破壞極限條件的應(yīng)力場。②運(yùn)動(dòng)容許位移場。即滿足幾何約束條件并使外力作正功的位移場。

研究方法靜力和機(jī)動(dòng)條件為了解決上述問題，除了要知道材料的有關(guān)參數(shù)外，還應(yīng)知道靜力和機(jī)動(dòng)條件，即結(jié)構(gòu)的的外力和幾何約束邊界條件以及結(jié)構(gòu)的材料常數(shù)。這些條件包括：①屈服條件。即結(jié)構(gòu)出現(xiàn)屈服時(shí)其廣義力（極限條件中所包含的彎矩、薄膜力或軸向力）應(yīng)滿足的條件。②破損機(jī)構(gòu)條件，即在極限狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，或結(jié)構(gòu)失去承載能力時(shí)的運(yùn)動(dòng)形式。③平衡條件。④幾何條件。其中①、②兩個(gè)條件應(yīng)建立在理論分析和實(shí)驗(yàn)研究的基礎(chǔ)上，是結(jié)構(gòu)極限分析的物理依據(jù)；③、④兩個(gè)條件是結(jié)構(gòu)處于彈性狀態(tài)或塑性狀態(tài)都必須滿足的條件。如果所求得的解滿足以上全部條件而且滿足所給的邊界條件，則該解即為極限分析的完全解。

重要概念由于不容易得到完全解，在極限分析理論中發(fā)展了兩個(gè)定理，即下限定理和上限定理：①下限定理：所有與靜力容許應(yīng)力場對(duì)應(yīng)的載荷中的最大載荷為極限載荷。②上限定理：所有與運(yùn)動(dòng)容許位移場對(duì)應(yīng)的載荷中的最小載荷為極限載荷。如果一個(gè)載荷既是極限載荷的上限，又是極限載荷的下限，則這個(gè)載荷必滿足極限分析中的全部條件。用以上兩個(gè)定理求極限載荷的方法分別稱為靜力法和運(yùn)動(dòng)法。

對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，為了求出極限載荷，可以放松對(duì)極限條件的要求，即對(duì)極限條件進(jìn)行簡化，以便找出解的上限或下限。常用的有最大法向應(yīng)力條件、單矩或雙矩弱作用的屈服條件。

對(duì)于梁、桁架、剛架、軸對(duì)稱圓板和旋轉(zhuǎn)軸對(duì)稱薄殼，都已找到了大量完全解。對(duì)于較復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，都可用靜力法或運(yùn)動(dòng)法分別找出下限解或上限解。

下限定理下限定理可表述為：與靜力容許場對(duì)應(yīng)的外載荷不大于真實(shí)的極限載荷。所謂靜力容許場是指滿足平衡方程和外力邊界條件并且不違背屈服條件的應(yīng)力場。下限定理提出了結(jié)構(gòu)不破壞的必要條件，用它可計(jì)算結(jié)構(gòu)承載能力的下限，這樣的下限有無窮多個(gè)。由于結(jié)構(gòu)不破壞時(shí)所能承受的最大載荷與結(jié)構(gòu)的真實(shí)極限載荷最接近，所以應(yīng)選取由下限定理求出的極限載荷下限中最大的一個(gè)作為極限載荷的近似值。按平衡條件、屈服條件用下限定理求極限載荷最大下限的方法稱為極限分析的靜力法。

上限定理上限定理可表述為：與機(jī)動(dòng)容許場對(duì)應(yīng)的外載荷不小于真實(shí)的極限載荷。所謂機(jī)動(dòng)容許場是指滿足幾何約束條件并能形成破損機(jī)構(gòu)的位移速度場。外力在此速度場上作功的功率大于等于結(jié)構(gòu)內(nèi)部的耗散功率。上限定理提出了結(jié)構(gòu)破壞的充分條件，用它可求得極限載荷的上限，這樣的上限也有無窮多個(gè)。在用上限定理求極限載荷時(shí)，由于假設(shè)結(jié)構(gòu)已經(jīng)破壞，所以應(yīng)選取所求得的極限載荷上限中最小的一個(gè)作為極限載荷的近似值，它和真實(shí)的極限載荷最接近。只考慮機(jī)動(dòng)方面的要求，而不考慮屈服條件和平衡條件的要求，按上限定理求極限載荷最小上限值的方法稱為極限分析的機(jī)動(dòng)法。對(duì)于復(fù)雜的結(jié)構(gòu)或復(fù)雜的載荷分布，常須用實(shí)驗(yàn)方法得出一個(gè)破壞機(jī)構(gòu)的形態(tài)，據(jù)此求出極限載荷的一個(gè)較好的上限值。如果一個(gè)載荷既是極限載荷上限，又是極限載荷的下限，它便是完全解的極限載荷。

簡化屈服條件除用靜力法和機(jī)動(dòng)法以外，結(jié)構(gòu)極限載荷的上限和下限還可以通過簡化屈服

條件求得。此法的理論依據(jù)是：在結(jié)構(gòu)的任何部分提高材料的屈服極限，都不會(huì)降低結(jié)構(gòu)的承載能力；而在結(jié)構(gòu)的任何部分降低材料的屈服極限,都不會(huì)提高結(jié)構(gòu)的承載能力。在廣義應(yīng)力空間中,屈服條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式往往是非線性的，聯(lián)合求解這種非線性的方程和復(fù)雜結(jié)構(gòu)的平衡微分方程在數(shù)學(xué)上往往有困難，因此，用線性的屈服條件代替非線性的屈服條件并找出復(fù)雜結(jié)構(gòu)的近似解，是求解極限載荷上、下限的有效方法。例如，在圖中所示的廣義應(yīng)力Q1、Q2的二維平面中，曲線A代表實(shí)際的屈服條件，多邊形B和多邊形C分別代表線性化了的內(nèi)接和外切的近似屈服條件。按多邊形B計(jì)算得到的極限載荷是實(shí)際極限載荷的下限，而按多邊形C計(jì)算得到的極限載荷是實(shí)際極限載荷的上限。

靜定結(jié)構(gòu)的極限荷載對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)，由幾何組成分析的知識(shí)，可知其自由度等于0，我們?cè)谶M(jìn)行彈塑性分析時(shí)，若在結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)塑性鉸，則體系在加載的方向上，將相應(yīng)地會(huì)多出一個(gè)自由度，體系形成一個(gè)可動(dòng)的機(jī)構(gòu)。因此，對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)，體系在任一截面上出現(xiàn)塑性鉸，則破壞。此時(shí)的荷載即為該靜定結(jié)構(gòu)的極限荷載。

應(yīng)用用極限分析進(jìn)行研究的結(jié)構(gòu)主要有梁、剛架、板、殼等幾種類型，它們?cè)跇O限狀態(tài)時(shí)有各自的特點(diǎn)。

梁和剛架是極限分析定理應(yīng)用得最有成效的結(jié)構(gòu)。計(jì)算梁和剛架的極限載荷須用到塑性鉸的概念。當(dāng)梁的某截面上的彎矩達(dá)到塑性極限值Μp時(shí),塑性變形只能在Μ=Μp點(diǎn)處發(fā)生,該處曲率變化率可以任意增大，這時(shí)曲率的變化率不連續(xù)，就好象鉸一樣，這樣的鉸稱為塑性鉸。塑性鉸和普通鉸的區(qū)別在于：普通鉸不能傳遞彎矩,而塑性鉸能傳遞塑性極限彎矩；普通鉸是雙向鉸,而塑性鉸是單向鉸，即當(dāng)轉(zhuǎn)角方向和彎矩方向一致時(shí)，可以發(fā)生自由塑性變形。塑性鉸一般出現(xiàn)在集中力作用處、支承處或當(dāng)均布載荷作用時(shí)剪力為零處。塑性鉸的位置可用實(shí)驗(yàn)方法確定。在結(jié)構(gòu)中形成足夠數(shù)目的塑性鉸后，結(jié)構(gòu)就變?yōu)闄C(jī)構(gòu)。

在極限狀態(tài)下，板中會(huì)出現(xiàn)塑性鉸線，它是塑性鉸的連線，其性質(zhì)和塑性鉸一樣，也可以用實(shí)驗(yàn)方法確定。圓板受軸對(duì)稱載荷作用時(shí)，在極限狀態(tài)下，所有徑向塑性鉸線將連成一片，從而形成塑性區(qū)。在殼體結(jié)構(gòu)中有一個(gè)或幾個(gè)區(qū)域處于塑性狀態(tài)后，殼體才會(huì)處于極限平衡狀態(tài)。

對(duì)于連續(xù)梁、桁架、剛架和受軸對(duì)稱載荷作用的圓板、環(huán)板、柱殼、球殼、錐殼已找到了不少極限分析的完全解。但對(duì)于靜不定次數(shù)比較高的靜不定結(jié)構(gòu)，計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜。對(duì)于多邊形板、受非軸對(duì)稱載荷作用的圓板、柱殼、錐殼以及球殼徑向接管、圓柱殼徑向接管極限分析的完全解，還需要作進(jìn)一步的研究。

反過來，根據(jù)極限分析原理，可以按照載荷的要求尋求最輕結(jié)構(gòu)，這就是極限設(shè)計(jì)。

整體結(jié)構(gòu)的塑性極限分析計(jì)算，應(yīng)符合下列規(guī)定：

1 對(duì)可預(yù)測結(jié)構(gòu)破壞機(jī)制的情況，結(jié)構(gòu)的極限承載能力可根據(jù)設(shè)定的結(jié)構(gòu)塑性屈服機(jī)制，采用塑性力學(xué)方法進(jìn)行分析；

2 對(duì)于難于預(yù)測結(jié)構(gòu)破壞機(jī)制的情況，結(jié)構(gòu)的極限承載能力可采用靜力或動(dòng)力彈塑性分析方法確定；

3 當(dāng)偶然作用具有動(dòng)力特征時(shí)，直接承受偶然作用的結(jié)構(gòu)構(gòu)件或部分，應(yīng)根據(jù)偶然作用的動(dòng)力特征考慮其動(dòng)力效應(yīng)影響。

研究簡史早在1914年，G.V.卡金契便對(duì)梁結(jié)構(gòu)提出了下限定理的萌芽看法。1934年，蘇聯(lián)的A.A.格沃茲杰夫?qū)Υ_定桿系結(jié)構(gòu)承載能力的問題，給出了上、下限定理。1948年蘇聯(lián)的C.M.法因貝格用邏輯推理方法進(jìn)一步考證了上、下限定理。1961年美國的W.普拉格等對(duì)二維和三維問題作了論述。此后，美國的P.G.霍奇應(yīng)用簡化屈服條件的方法，找到許多板殼極限分析的完全解。12