[科普中國(guó)]-塑性增量理論

簡(jiǎn)介

塑性力學(xué)中用應(yīng)變?cè)隽勘硎鰪椝苄圆牧媳緲?gòu)關(guān)系的理論，也稱塑性流動(dòng)理論。彈塑性材料的本構(gòu)關(guān)系與應(yīng)變和應(yīng)力的歷史有關(guān)，因而彈塑性材料的應(yīng)力和應(yīng)變之間沒有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。為了反映變形的歷史，本構(gòu)關(guān)系須以增量形式給出。1

研究簡(jiǎn)史1870年法國(guó)的A.J.C.B.de圣維南首先提出，在塑性變形過程中,塑性材料的應(yīng)變?cè)隽康姆至客瑧?yīng)力偏量的分量成比例。此后，法國(guó)的M.萊維于1871年和德國(guó)的R.von米澤斯于 1913年各自獨(dú)立地得到三維情況的普遍的本構(gòu)方程。1924年德國(guó)的L.普朗特提出，對(duì)某些彈塑性問題，應(yīng)考慮彈性應(yīng)變?cè)隽俊.羅伊斯于1930年將普朗特的思想推廣到三維應(yīng)力問題，并建立了彈塑性體的普朗特-羅伊斯本構(gòu)方程。此后,美國(guó)的W.普拉格和D.C.德魯克又給出了具有強(qiáng)化性質(zhì)的材料的本構(gòu)方程。1

增量形式的本構(gòu)方程萊維和米澤斯認(rèn)為，材料在屈服后即發(fā)生塑性流動(dòng)。根據(jù)他們的理論，本構(gòu)方程為：

式中 為塑性應(yīng)變偏量增量的分量； 為應(yīng)力偏量的分量； 為非負(fù)的比例系數(shù)，它不僅和材料性質(zhì)有關(guān)，而且和塑性變形歷史有關(guān)。式（1）稱為萊維-米澤斯方程。

當(dāng)彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變相比不可忽略時(shí)，應(yīng)將彈性應(yīng)變和塑性應(yīng)變同時(shí)考慮，相應(yīng)的普朗斯-羅伊斯本構(gòu)方程（簡(jiǎn)稱普朗斯-羅伊斯方程）為：

式中 、 、 分別為總的、彈性的和塑性的應(yīng)變偏量增量的分量；G為材料的剪切模量（見材料的力學(xué)性能）。

德魯克根據(jù)塑性變形過程中附加應(yīng)力對(duì)應(yīng)變?cè)隽克鞯墓Ψ秦?fù)這一假設(shè)，在應(yīng)變?cè)隽恐鬏S和應(yīng)力主軸重合的前提下，得出塑性應(yīng)變?cè)隽康氖噶亢颓妫ㄒ娗l件）法線方向重合的結(jié)論。如果屈服面的外發(fā)線方向用屈服函數(shù)f的梯度矢量（其分量為 ）來表示，則有：

式中 為應(yīng)力分量； 為塑性應(yīng)變?cè)隽糠至俊Ｔ趲缀紊?，式?）表示塑性應(yīng)變?cè)隽康氖噶颗c屈服面正交。在塑性變形體積不可壓縮的假設(shè)下，塑性應(yīng)變?cè)隽康姆至亢退苄詰?yīng)變偏量增量的分量是相等的，即

f在式（3）中起著塑性勢(shì)能的作用。如果取f為米澤斯屈服函數(shù)，則由式（3）可以得到式（1）。式（3）稱為屈服條件相關(guān)聯(lián)的塑性流動(dòng)法則，也叫正交法則。

對(duì)于強(qiáng)化材料，塑性變形通常改變屈服面的大小、形狀和位置（見強(qiáng)化規(guī)律），這時(shí)要用加載面（又稱后繼屈服面）來判斷一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是否達(dá)到了塑性狀態(tài)。如果材料在從一個(gè)塑性狀態(tài)變化到另一個(gè)塑性狀態(tài)的過程中產(chǎn)生新的塑性應(yīng)變，則這個(gè)過程稱為塑性加載（簡(jiǎn)體加載）；如果從某個(gè)塑性狀態(tài)轉(zhuǎn)到某一彈性狀態(tài)的過程中并不產(chǎn)生新的塑性變形，則這個(gè)過程稱為卸載；如果材料從一個(gè)塑性狀態(tài)轉(zhuǎn)到另一個(gè)塑性狀態(tài)，而應(yīng)力增量不引起塑性應(yīng)變的變化，則這個(gè)過程稱為中性變載。由于在加載、卸載和中性變載過程中彈塑性介質(zhì)的本構(gòu)方程具有不同的形式，所以必須給出一個(gè)判斷加載、卸載和中性變載的準(zhǔn)則。對(duì)強(qiáng)化材料，塑性加-卸載準(zhǔn)則可表示為：

式（5）的幾何意義是，在應(yīng)力空間中，應(yīng)力增量矢量指向加載面外側(cè)為加載，指內(nèi)側(cè)為卸載，與加載面相切則為中性變載。由于只有 當(dāng)才可能有新的塑性變形，因此可將流動(dòng)法則中的和用下式聯(lián)系起來：

式中h稱為強(qiáng)化函數(shù)，它與應(yīng)力、應(yīng)變、塑性變形歷史和強(qiáng)化模型的選取有關(guān)。根據(jù)式（3）和式（5）并考慮彈性應(yīng)變?cè)隽浚憧傻玫狡绽?德魯克的彈塑性強(qiáng)化材料的本構(gòu)方程（簡(jiǎn)稱普拉格-德魯克方程）：

式中 為材料的彈性常數(shù)；重復(fù)下標(biāo)表示約定求和。2

應(yīng)用和發(fā)展在實(shí)際應(yīng)用中,使用普朗特-羅伊斯方程或普拉格－德魯克方程求彈塑性問題的解析解是很困難的，但近年來它們?cè)诮饘俳Y(jié)構(gòu)的有限元分析（見有限元法）中得到廣泛的應(yīng)用。在金屬加工和成型問題的計(jì)算中，由于塑性變形比彈性變形大得多通常略去彈性變形，因而萊維-米澤斯方程得到了廣泛的應(yīng)用。

1951年，德魯克提出一個(gè)塑性的基本公設(shè)，稱為德魯克公設(shè)。它可敘述為：處于某一初始應(yīng)力狀態(tài)下的材料單元，借助一個(gè)外部作用，在原有的應(yīng)力狀態(tài)上緩慢地加上一組附加的應(yīng)力，然后卸除，則在附加應(yīng)力作用過程中，以及在附加應(yīng)力作用與卸除的一個(gè)循環(huán)內(nèi)，外部作用所作的功是非負(fù)的。此外，蘇聯(lián)的A.A.伊柳辛也提出一個(gè)以應(yīng)變表述的塑性基本公設(shè)。用這些公設(shè)可以證明塑性流動(dòng)的正交法則，導(dǎo)出加-卸載準(zhǔn)則,以及證明加載面的外凸性。這兩個(gè)公設(shè)對(duì)塑性力學(xué)的發(fā)展起了推動(dòng)作用。3