[科普中國]-塑性全量理論

簡介

塑性力學中用全量應力和全量應變表述彈塑性材料本構關系的理論，又稱塑性變形理論。1924年H.亨奇從變分原理出發(fā)，得出了一組關于理想塑性材料的全量形式的應力-應變關系（即本構關系）。它是簡單加載條件下，增量理論的簡化方程，所以是塑性加工力學中最簡單的本構方程。簡單加載也稱比例加載，是指加載過程中物體內任一點的應力分量均按比例增加。

此后，蘇聯(lián)的A.A.伊柳辛提出簡單加載定理，使全量理論更為完整。全量理論的本構方程在數(shù)學表達上比較簡單，但它不能反映復雜的加載歷史，在應用上有局限性。

本構狀態(tài)方程控制變量變分原理的基礎理論之一是現(xiàn)代控制論中的最優(yōu)控制理論。因此最首要的是確定系統(tǒng)的參數(shù)和建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程，即所謂“系統(tǒng)辯識”問題。系統(tǒng)的參數(shù)可分為狀態(tài)變量和控制變量二部分。所謂狀態(tài)變量是指能夠完全描述系統(tǒng)狀態(tài)的最小的一組變量。就彈塑性全量邊值問題而言,確定系統(tǒng)狀態(tài)的物理量有位移ui、應變￡lj和應力oij共15個變量，其中有些通過定解方程可以從另一些量導出，有些則因其所描述的定解方程被變分極值的結果所取代而不必顯式給出，因此完全描述系統(tǒng)并不同時需要這么多變量。對于最小勢能原理，可取位移ui(三個變量)作為狀態(tài)變量；對于最小余能原理，狀態(tài)變量取應力iaj(共六個)。一般地，對于廣義變分原理，狀態(tài)變量可以是上述15個變量中的某些組合，這就要看所選用的能量泛函的形式了。在彈塑性系統(tǒng)中，流動參數(shù)d入控制著系統(tǒng)作彈性或塑性狀態(tài)的變化，保證屈服條件不致破壞，因而可作為系統(tǒng)的控制變量。

系統(tǒng)的狀態(tài)方程是描述實際系統(tǒng)各物理量之間關系的數(shù)學表達式。對于彈塑性系統(tǒng)來說，描述各物理量之間內在聯(lián)系的是本構關系，因此本構關系可以作為系統(tǒng)的狀態(tài)方程。經(jīng)推導后表達成一定實用形式的本構關系稱為本構狀態(tài)方程。從可控性的角度考慮，一般要求在控制容許域內本構狀態(tài)方程能夠保證控制變量具有唯一性。當本構狀態(tài)方程表達成線性互補的形式時，可滿足這一要求，且最終的有限元數(shù)值解呈線性狀態(tài)，可大大簡化計算。1

全量定理的本構方程在加載過程中，若應力張量各分量之間的比值保持不變。按同一參數(shù)單調增加，則加載稱為簡單加載，不滿足這個條件的叫復雜加載。在簡單加載下，用全量應力和全量應變表達的本構方程為：

式中 和 分別為應力偏量的分量和應變偏量的分量；

其中稱為等效應力，稱為等效應變。在全量理論中，為簡化起見，假設在簡單加載條件下曲線是單值對應的，并和簡單拉伸時的應力-應變曲線一樣。在上訴的全量理論中，應力和應變之間存在著一一對應的關系。2

簡單加載定理塑性全量理論，嚴格地說，要求結構內部每一質點的材料都經(jīng)歷簡單加載的歷史。但實際結構大多數(shù)是在非均勻應力條件下工作的，要保證結構內部每一點都滿足簡單加載條件，對于結構所承受的載荷和結構的材料必須提出某些要求。伊柳辛指出，如果滿足如下的四個條件，結構內各點都經(jīng)歷簡單加載：①小變形；②所有外載荷都通過一個公共參數(shù)按比例單調增加，如有位移邊界條件，只能是零位移邊界條件；③材料的等效應力和等效應變之間的關系可以表示為冪函數(shù)形式；④材料是不可壓縮的。這就是簡單加載定理。

進一步的研究還表明，全量理論不僅在簡單加載的條件下適用，對于某些偏離簡單加載的加載路徑也適用。至于在一般情況下應力路徑偏離簡單加載路徑多遠仍可使用全量理論的問題，還需要繼續(xù)從理論和實驗兩方面進行研究。由于全量理論的公式比較簡單，應用于實際計算比塑性增量理論方便，因此，使用相當廣泛3。

塑性全量理論的結構強度試驗在復雜結構件的強度試驗中，零組件、構件的拉斷、屈服及失穩(wěn)現(xiàn)象是結構破壞過程的主要表現(xiàn)形式。構件塑性形態(tài)的產(chǎn)生、發(fā)展直到最后破壞，均與試驗過程中構件承載的應力密切相關。通常情況下應力是判斷結構承載能力最重要的依據(jù)，但結構實驗檢測到的直接數(shù)據(jù)是構件變形而不是應力，所以在研究彈塑性問題時，把直接檢測到的應變通過應力應變表述函數(shù)轉換成對應載荷下的確切應力至關重要。

研究彈塑性問題時，通常使用塑性增量理論或塑性全量理論。在增量理論中，應力與應變的全量關系必然與加載路徑有關，但是，這在復雜結構試驗中很難搞清楚。在理論研究和大量試驗數(shù)據(jù)的基礎上，應用全量理論，提出一種新的應力應變表述函數(shù)，從而為解決復雜應力狀態(tài)下的彈塑性問題提供理論依據(jù)。4