[科普中國]-陀螺力矩

陀螺力矩的概念

陀螺力矩（gyroscopic moment）又稱回轉(zhuǎn)力矩。陀螺受外力矩作用而運動時， 對施力物體的反作用力偶矩。例如飛機的渦輪轉(zhuǎn)子 高速自轉(zhuǎn)，在飛機轉(zhuǎn)彎因而轉(zhuǎn)子軸承迫使轉(zhuǎn)子軸連 同轉(zhuǎn)子發(fā)生進動時，轉(zhuǎn)子軸即有力偶矩等于陀螺力 矩的力偶作用在兩端軸承上。當(dāng)陀螺以角速度ω 繞其對稱軸高速自轉(zhuǎn)時，若同時以角速度Ω進動， 則由賴柴耳定理及陀螺的近似理論知，此時作用于陀螺的外力矩 ， 而陀螺力矩 。式中Jz是陀螺對自轉(zhuǎn)軸z的轉(zhuǎn)動慣量。2

軸承中的陀螺力矩對于接觸角大于零的軸承，當(dāng)滾動體繞兩相交的公轉(zhuǎn)和自轉(zhuǎn)軸線旋轉(zhuǎn)時，滾動體要受到一慣性力矩的作用，此慣性力矩稱為陀螺力矩，此慣性力矩的方向垂直于公轉(zhuǎn)軸和自轉(zhuǎn)軸構(gòu)成的平面。

特別的，對于螺旋槳飛機，加速產(chǎn)生向左偏轉(zhuǎn)的陀螺力矩，減速產(chǎn)生向右偏的力矩。

對于做高速旋轉(zhuǎn)的物體，如果自轉(zhuǎn)軸有某個方向的轉(zhuǎn)動，則陀螺力矩有使自轉(zhuǎn)平面向著此方面轉(zhuǎn)動的趨勢。但要注意的是，陀螺力矩是作用在施力物體上的，旋轉(zhuǎn)體受到的是相反方向的力矩。因此可以舉例說明：飛機做定常右滾，由于受到擾動產(chǎn)生右偏航速度，則陀螺力矩方向是指向飛機左側(cè)的，飛機在反作用力作用下將發(fā)生抬頭。說白了就是飛機在慣性力矩作用下抬頭。

主軸-軸承系統(tǒng)中的陀螺力矩效應(yīng)近年來在我國航空航天、軍工、汽車、能源等行業(yè)領(lǐng)域，為不斷提高加工效率，高速加工技術(shù)發(fā)展十分迅速。高速主軸單元作為高速加工技術(shù)的主要載體，其動力學(xué)特性的優(yōu)劣決定著高速加工技術(shù)水平的高低?！爸鬏S－軸承”系統(tǒng)作為高速主軸單元的主要回轉(zhuǎn)系統(tǒng)，在高速旋轉(zhuǎn)時，將受到高轉(zhuǎn)速場誘發(fā)的高速效應(yīng)( 即離心力效應(yīng)和陀螺力矩效應(yīng)) 的作用，使其動力學(xué)特性相對于靜止狀態(tài)時會發(fā)生較大變化。因此，針對“主軸－軸承”系統(tǒng)建立可靠、準確的動力學(xué)模型，對于評估該系統(tǒng)動力學(xué)特性，預(yù)測主軸單元高速性能十分必要，具有重要的科學(xué)和工程意義。3

“主軸－軸承”系統(tǒng)動力學(xué)建模過程中最關(guān)鍵亦是最基礎(chǔ)的一步在于對軸承非線性分析模型的建立。上世紀50 － 60年代，Palmgreen和Jones分別是建立滾動軸承靜力學(xué)和擬動力學(xué)分析方法的代表性人物；隨后，Harris在其基礎(chǔ)上完善并發(fā)展了滾動軸承的擬動力學(xué)分析理論，成為目前絕大多數(shù)滾動軸承非線性分析模型的首選；1978年之后，Gupta建立了滾動軸承的動力學(xué)分析模型，但由于滾動軸承運動規(guī)律的過于復(fù)雜，Gupta的模型對設(shè)計和應(yīng)用指導(dǎo)意義不強。近年來，Zverv等研究了滾動軸承在高轉(zhuǎn)速和高預(yù)緊狀態(tài)下的彈性變形問題，為主軸單元設(shè)計時軸承的選型提供了準則。

研究表明：基于非線性滾動軸承分析模型建立“主軸－軸承”系統(tǒng)動力學(xué)模型的同時，全面系統(tǒng)地研究高速效應(yīng)影響規(guī)律，對于探索高速主軸單元處于不同轉(zhuǎn)速場時的動力學(xué)特性是十分必要的。因此，本文首先采用理論建模與實驗建模相結(jié)合的方法建立了準確的系統(tǒng)動力學(xué)數(shù)字模型；然后在此基礎(chǔ)上逐一研究了高轉(zhuǎn)速場誘發(fā)的各種高速效應(yīng)對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響規(guī)律。由于本文旨在研究高速效應(yīng)對“主軸－軸承”系統(tǒng)動態(tài)特性的影響規(guī)律，熱效應(yīng)是進一步研究問題，在本文不在考慮范疇之內(nèi)，故忽略熱效應(yīng)。

從微觀的角度出發(fā)，角接觸球軸承在靜止、未預(yù)緊狀態(tài)下內(nèi)外圈曲率中心與球中心共線，內(nèi)、外圈接觸角相等; 而在高速旋轉(zhuǎn)時，由于離心力的作用會導(dǎo)致內(nèi)圈接觸角增大，同時外圈接觸角減小。高速時，不失一般性的假設(shè)外圈曲率中心固定，因此有軸承內(nèi)部變形協(xié)調(diào)關(guān)系，進而可建立軸承幾何變形協(xié)調(diào)方程組；此外，高速時滾動體受到離心力和陀螺力矩的作用。

所謂高速效應(yīng)即旋轉(zhuǎn)機械在高速工況時受到的離心力效應(yīng)和陀螺力矩效應(yīng)，“主軸－軸承”系統(tǒng)作為一類特殊的旋轉(zhuǎn)機械，在高速旋轉(zhuǎn)時其動力學(xué)特性亦會受到高速效應(yīng)的影響。但各高速效應(yīng)對系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響程度并不等同，因此，分別研究主軸離心力效應(yīng)、主軸陀螺力矩效應(yīng)以及滾動軸承運行剛度對系統(tǒng)在高速工況下動力學(xué)特性的影響規(guī)律是十分必要的。4

陀螺力矩對軸臨界轉(zhuǎn)速的影響當(dāng)軸上固定有較大橫向尺寸的質(zhì)量作弓形轉(zhuǎn)動時，不但圓盤中心偏離其平衡位置而且圓盤本身也要圍繞盤上某個直徑轉(zhuǎn)動，這樣的系統(tǒng)相當(dāng)于2n個自由度，而當(dāng)軸在穩(wěn)定平衡位置作微小振動時，因很快衰減，不影響軸的正常狀態(tài)，如果裝有圓盤，情況就不一樣了，圓盤必繞其原有位置作微小轉(zhuǎn)動，規(guī)律為：5

其中，α為最大轉(zhuǎn)角，p為振動頻率(與軸繞平衡位置的振動頻率一樣)，由此得出圓盤中點(即繞圓盤上某一直徑)轉(zhuǎn)動中的慣性力矩為：

其中J1表示繞其直徑的慣性矩，由上式看出：Mmax與α同符號，慣性力矩的效果不是幫助而是抵消軸回到平衡位置的，也就是說，圓盤的慣性力矩相當(dāng)于一個彎矩，它增大軸的撓度或者說減少了軸的剛性。