[科普中國]-陀螺力矩

陀螺力矩的概念

陀螺力矩（gyroscopic moment）又稱回轉(zhuǎn)力矩。陀螺受外力矩作用而運(yùn)動(dòng)時(shí)， 對(duì)施力物體的反作用力偶矩。例如飛機(jī)的渦輪轉(zhuǎn)子 高速自轉(zhuǎn)，在飛機(jī)轉(zhuǎn)彎因而轉(zhuǎn)子軸承迫使轉(zhuǎn)子軸連 同轉(zhuǎn)子發(fā)生進(jìn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)子軸即有力偶矩等于陀螺力 矩的力偶作用在兩端軸承上。當(dāng)陀螺以角速度ω 繞其對(duì)稱軸高速自轉(zhuǎn)時(shí)，若同時(shí)以角速度Ω進(jìn)動(dòng)， 則由賴柴耳定理及陀螺的近似理論知，此時(shí)作用于陀螺的外力矩 ， 而陀螺力矩 。式中Jz是陀螺對(duì)自轉(zhuǎn)軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。2

軸承中的陀螺力矩對(duì)于接觸角大于零的軸承，當(dāng)滾動(dòng)體繞兩相交的公轉(zhuǎn)和自轉(zhuǎn)軸線旋轉(zhuǎn)時(shí)，滾動(dòng)體要受到一慣性力矩的作用，此慣性力矩稱為陀螺力矩，此慣性力矩的方向垂直于公轉(zhuǎn)軸和自轉(zhuǎn)軸構(gòu)成的平面。

特別的，對(duì)于螺旋槳飛機(jī)，加速產(chǎn)生向左偏轉(zhuǎn)的陀螺力矩，減速產(chǎn)生向右偏的力矩。

對(duì)于做高速旋轉(zhuǎn)的物體，如果自轉(zhuǎn)軸有某個(gè)方向的轉(zhuǎn)動(dòng)，則陀螺力矩有使自轉(zhuǎn)平面向著此方面轉(zhuǎn)動(dòng)的趨勢。但要注意的是，陀螺力矩是作用在施力物體上的，旋轉(zhuǎn)體受到的是相反方向的力矩。因此可以舉例說明：飛機(jī)做定常右滾，由于受到擾動(dòng)產(chǎn)生右偏航速度，則陀螺力矩方向是指向飛機(jī)左側(cè)的，飛機(jī)在反作用力作用下將發(fā)生抬頭。說白了就是飛機(jī)在慣性力矩作用下抬頭。

主軸-軸承系統(tǒng)中的陀螺力矩效應(yīng)近年來在我國航空航天、軍工、汽車、能源等行業(yè)領(lǐng)域，為不斷提高加工效率，高速加工技術(shù)發(fā)展十分迅速。高速主軸單元作為高速加工技術(shù)的主要載體，其動(dòng)力學(xué)特性的優(yōu)劣決定著高速加工技術(shù)水平的高低?！爸鬏S－軸承”系統(tǒng)作為高速主軸單元的主要回轉(zhuǎn)系統(tǒng)，在高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，將受到高轉(zhuǎn)速場誘發(fā)的高速效應(yīng)( 即離心力效應(yīng)和陀螺力矩效應(yīng)) 的作用，使其動(dòng)力學(xué)特性相對(duì)于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)會(huì)發(fā)生較大變化。因此，針對(duì)“主軸－軸承”系統(tǒng)建立可靠、準(zhǔn)確的動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)于評(píng)估該系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性，預(yù)測主軸單元高速性能十分必要，具有重要的科學(xué)和工程意義。3

“主軸－軸承”系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模過程中最關(guān)鍵亦是最基礎(chǔ)的一步在于對(duì)軸承非線性分析模型的建立。上世紀(jì)50 － 60年代，Palmgreen和Jones分別是建立滾動(dòng)軸承靜力學(xué)和擬動(dòng)力學(xué)分析方法的代表性人物；隨后，Harris在其基礎(chǔ)上完善并發(fā)展了滾動(dòng)軸承的擬動(dòng)力學(xué)分析理論，成為目前絕大多數(shù)滾動(dòng)軸承非線性分析模型的首選；1978年之后，Gupta建立了滾動(dòng)軸承的動(dòng)力學(xué)分析模型，但由于滾動(dòng)軸承運(yùn)動(dòng)規(guī)律的過于復(fù)雜，Gupta的模型對(duì)設(shè)計(jì)和應(yīng)用指導(dǎo)意義不強(qiáng)。近年來，Zverv等研究了滾動(dòng)軸承在高轉(zhuǎn)速和高預(yù)緊狀態(tài)下的彈性變形問題，為主軸單元設(shè)計(jì)時(shí)軸承的選型提供了準(zhǔn)則。

研究表明：基于非線性滾動(dòng)軸承分析模型建立“主軸－軸承”系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的同時(shí)，全面系統(tǒng)地研究高速效應(yīng)影響規(guī)律，對(duì)于探索高速主軸單元處于不同轉(zhuǎn)速場時(shí)的動(dòng)力學(xué)特性是十分必要的。因此，本文首先采用理論建模與實(shí)驗(yàn)建模相結(jié)合的方法建立了準(zhǔn)確的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)數(shù)字模型；然后在此基礎(chǔ)上逐一研究了高轉(zhuǎn)速場誘發(fā)的各種高速效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響規(guī)律。由于本文旨在研究高速效應(yīng)對(duì)“主軸－軸承”系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響規(guī)律，熱效應(yīng)是進(jìn)一步研究問題，在本文不在考慮范疇之內(nèi)，故忽略熱效應(yīng)。

從微觀的角度出發(fā)，角接觸球軸承在靜止、未預(yù)緊狀態(tài)下內(nèi)外圈曲率中心與球中心共線，內(nèi)、外圈接觸角相等; 而在高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，由于離心力的作用會(huì)導(dǎo)致內(nèi)圈接觸角增大，同時(shí)外圈接觸角減小。高速時(shí)，不失一般性的假設(shè)外圈曲率中心固定，因此有軸承內(nèi)部變形協(xié)調(diào)關(guān)系，進(jìn)而可建立軸承幾何變形協(xié)調(diào)方程組；此外，高速時(shí)滾動(dòng)體受到離心力和陀螺力矩的作用。

所謂高速效應(yīng)即旋轉(zhuǎn)機(jī)械在高速工況時(shí)受到的離心力效應(yīng)和陀螺力矩效應(yīng)，“主軸－軸承”系統(tǒng)作為一類特殊的旋轉(zhuǎn)機(jī)械，在高速旋轉(zhuǎn)時(shí)其動(dòng)力學(xué)特性亦會(huì)受到高速效應(yīng)的影響。但各高速效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的影響程度并不等同，因此，分別研究主軸離心力效應(yīng)、主軸陀螺力矩效應(yīng)以及滾動(dòng)軸承運(yùn)行剛度對(duì)系統(tǒng)在高速工況下動(dòng)力學(xué)特性的影響規(guī)律是十分必要的。4

陀螺力矩對(duì)軸臨界轉(zhuǎn)速的影響當(dāng)軸上固定有較大橫向尺寸的質(zhì)量作弓形轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，不但圓盤中心偏離其平衡位置而且圓盤本身也要圍繞盤上某個(gè)直徑轉(zhuǎn)動(dòng)，這樣的系統(tǒng)相當(dāng)于2n個(gè)自由度，而當(dāng)軸在穩(wěn)定平衡位置作微小振動(dòng)時(shí)，因很快衰減，不影響軸的正常狀態(tài)，如果裝有圓盤，情況就不一樣了，圓盤必繞其原有位置作微小轉(zhuǎn)動(dòng)，規(guī)律為：5

其中，α為最大轉(zhuǎn)角，p為振動(dòng)頻率(與軸繞平衡位置的振動(dòng)頻率一樣)，由此得出圓盤中點(diǎn)(即繞圓盤上某一直徑)轉(zhuǎn)動(dòng)中的慣性力矩為：

其中J1表示繞其直徑的慣性矩，由上式看出：Mmax與α同符號(hào)，慣性力矩的效果不是幫助而是抵消軸回到平衡位置的，也就是說，圓盤的慣性力矩相當(dāng)于一個(gè)彎矩，它增大軸的撓度或者說減少了軸的剛性。