[科普中國]-對偶原理

基礎(chǔ)知識

在射影平面上，如果在一個射影定理中把點(diǎn)與直線的觀念對調(diào)，即把點(diǎn)改成直線，把直線改成點(diǎn)，把點(diǎn)的共線關(guān)系改成直線的共點(diǎn)關(guān)系，所得的命題仍然成立，這稱為對偶原理?？梢岳糜行亩吻€的配極映射來完成。

例如，德沙格定理是有關(guān)點(diǎn)、直線以及它們的銜接關(guān)系的定理，它是一個射影定理。它的對偶定理就是它的逆定理。該原理也可推廣到n維射影空間中去。1

產(chǎn)生柏斯卡著名的“神秘的六邊形”定理和布里安昌定理都具有對偶關(guān)系，其中前一定理是帕斯卡在1640年于其標(biāo)題為《略論圓錐曲線》的一張大幅印刷品中公布的；而后一定理則是在1806年由巴黎高等工藝學(xué)院的學(xué)生C.J.BrianCho首先發(fā)表的。這兩個定理的出現(xiàn)，時間間隔長達(dá)150多年。在這期間，數(shù)學(xué)家們己經(jīng)注意到，如果將關(guān)于平面圖形定理中的點(diǎn)和直線互換的話，得到的相應(yīng)陳述往往是正確的。至于出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因是什么，當(dāng)時尚不清楚。這種現(xiàn)象，在今天看來，即是對偶現(xiàn)象。布里安昌當(dāng)時對對偶原理盡管不大明確因而亦不太相信，但是他的上述定理的發(fā)現(xiàn)還是受對這種現(xiàn)象的模糊認(rèn)識影響的。

在歷史上，首先對對偶原理加以研究并將它作為一種研究數(shù)學(xué)的重要工具加以利用的，是法國的數(shù)學(xué)家J.V彭賽列。他在建立射影幾何理論時做到了這一點(diǎn)，他將對偶現(xiàn)象出現(xiàn)的原因歸結(jié)于極點(diǎn)和極線間的一種對應(yīng)關(guān)系(特殊對射)，關(guān)于平面圖形的定理在這種變換下保持它的真理性一即圖形性質(zhì)實(shí)際上是這種對應(yīng)變換(配極)的一種不變量。他在1822年寫的《論圖形的射影性質(zhì)》(在巴黎出版)和在1824年提交巴黎科學(xué)院的《衍合配極的一般理論》中，給出了極點(diǎn)和極線相互變換的一般表述，并以此建立了許多定理。不過，在這一時期，他利用配極來建立的對偶原理，是需要一個圓錐曲線來作中介的，也就是說這時的對偶原理還不具有像現(xiàn)在的一般形式。突破這種局限性的，是數(shù)學(xué)家吉爾崗尼，他堅決主張對偶原理是個普遍原理，適用于除涉及度量性質(zhì)外的一切陳述和定理，極點(diǎn)和極線是不必要的中介支撐物?！皩ε夹浴币辉~就是首先由他引進(jìn)的。他將這一詞用來表示一定理和由此變換(點(diǎn)、直線互換)出的新定理間的關(guān)系，而且為清晰起見，他還發(fā)明了將對偶定理寫在原定理的旁邊并排放置的做法。盡管吉爾崗尼擺脫了彭賽列對偶原理陳述的束縛，擴(kuò)大了原理的應(yīng)用范圍，但是他的表述也是有缺陷的。

19世紀(jì)中葉以前，對偶原理從理論上被弄清了，但使用它的正確的邏輯基礎(chǔ)當(dāng)時還沒明確。直到20世紀(jì)初公理化方法建立起來以后，人們才在從自對偶公理組的角度來建立射影幾何體系的成功嘗試中得到了這一原理的邏輯證明。由于對偶原理對射影幾何的發(fā)展起了重大的推動作用，推動了數(shù)學(xué)家們對其在格論、一般布爾代數(shù)系統(tǒng)、布爾代數(shù)、集合代救、偏序集、范疇論等領(lǐng)域中應(yīng)用的研究。

綜上可知，對偶原理作為一種方法，經(jīng)歷了一個由提出、認(rèn)識模糊到認(rèn)識清楚及由一個領(lǐng)域擴(kuò)展到多個領(lǐng)域甚至整個數(shù)學(xué)領(lǐng)域的過程。2

性質(zhì)對偶原理是一座橋梁，借助于它，可以從數(shù)學(xué)某領(lǐng)域中的一定理走到另一定理(對偶定理)，當(dāng)前一定理從邏輯上被證明后，后一定理的正確性是無須再證的。即對偶原理具有真的特點(diǎn)。

另一方面，對偶原理對于數(shù)學(xué)的發(fā)展具有很重要的促進(jìn)作用，也就是說它在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中具有實(shí)用價值，因而具有善的特點(diǎn)。

最后通過對對偶原理的具體分析，對偶原理刻畫了數(shù)學(xué)理論的一種對稱性，而對稱具有美的特征，所以它也是一種具體的數(shù)學(xué)美學(xué)的方法。2

具體內(nèi)容數(shù)學(xué)中的對偶原理

1.如果兩個三角形的對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相會于一點(diǎn)，則這兩個三角形的對應(yīng)邊的交點(diǎn)必定在同一直線上。

（如果兩個三角形的對應(yīng)邊的交點(diǎn)在同一直線上，則這兩個三角形的對應(yīng)頂點(diǎn)的連線必定相會于一點(diǎn)。）

2.一個六邊形的六個頂點(diǎn)在一條二次曲線上，當(dāng)且僅當(dāng)，該三對對邊的交點(diǎn)在一條線上。

（一個六邊形的六條邊切一條二次曲線，當(dāng)且僅當(dāng)，聯(lián)該三對頂點(diǎn)的線交于一點(diǎn)。）3

物理中的對偶原理

在電磁學(xué)中，均勻介質(zhì)中的靜電場與均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中的恒定電場有對偶關(guān)系，電位移矢量D與電流密度矢量J，電荷q與電流I對偶。電路中，電壓源與電流源、短路與開路、串聯(lián)與并聯(lián)、電阻與電導(dǎo)、電容與電感，都存在對偶關(guān)系。在使用節(jié)點(diǎn)電壓法和回路電流法時，不改變互為對偶的元件的值，將會得到形式完全一樣的對偶方程，從而得到相同的一組解。

現(xiàn)代控制理論中的對偶原理

在自動控制論中，有時候需要研究系統(tǒng)的可控性和可觀測性。利用對偶原理可以對研究系統(tǒng)方程帶來很多方便。2

應(yīng)用對偶原理在現(xiàn)代數(shù)學(xué)特別是幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)等學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用，對于推動數(shù)學(xué)的發(fā)展起著很好的作用。舉例來講，在范疇論中，借助于對偶變換(對偶化)，由始對象便可得終對象、由單態(tài)射得滿態(tài)射、由核得上核、由積得上積；在同調(diào)代數(shù)中，由正向極限得反向極限、由內(nèi)射模得投射模、由內(nèi)射包得投射包、由投射分解(維數(shù))得內(nèi)射分解(維數(shù))、由復(fù)形得上復(fù)形、由雙復(fù)形得上雙復(fù)形、由同調(diào)得上同調(diào)等。

除此之外，對偶原理在物理學(xué)中也有廣泛的應(yīng)用。例如，如果在導(dǎo)電媒質(zhì)中的電流密度矢量與電介質(zhì)中的電位移矢量處于相同的邊界情況(邊界形狀、尺寸、相互位置及場源都相同)下，介質(zhì)中的靜電場與均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中的恒定電場具有相同的電場分布，即兩者等位面的分布一致，且線與線的分布也一致。由于這兩種場的對偶性，通過對偶量的代換，就可以直接由靜電場的解得到恒定電場的解，節(jié)省了計算量。1