[科普中國(guó)]-容斥原理

簡(jiǎn)介

在計(jì)數(shù)時(shí)，必須注意沒有重復(fù)，沒有遺漏。為了使重疊部分不被重復(fù)計(jì)算，人們研究出一種新的計(jì)數(shù)方法，這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對(duì)象的數(shù)目先計(jì)算出來，然后再把計(jì)數(shù)時(shí)重復(fù)計(jì)算的數(shù)目排斥出去，使得計(jì)算的結(jié)果既無遺漏又無重復(fù)，這種計(jì)數(shù)的方法稱為容斥原理。

定義如果被計(jì)數(shù)的事物有A、B、C三類，那么，A類和B類和C類元素個(gè)數(shù)總和= A類元素個(gè)數(shù)+ B類元素個(gè)數(shù)+C類元素個(gè)數(shù)—既是A類又是B類的元素個(gè)數(shù)—既是A類又是C類的元素個(gè)數(shù)—既是B類又是C類的元素個(gè)數(shù)+既是A類又是B類而且是C類的元素個(gè)數(shù)。（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）2。

例如：一次期末考試，某班有15人數(shù)學(xué)得滿分，有12人語文得滿分，并且有4人語、數(shù)都是滿分，那么這個(gè)班至少有一門得滿分的同學(xué)有多少人？

分析：依題意，被計(jì)數(shù)的事物有語、數(shù)得滿分兩類，“數(shù)學(xué)得滿分”稱為“A類元素”，“語文得滿分”稱為“B類元素”，“語、數(shù)都是滿分”稱為“既是A類又是B類的元素”，“至少有一門得滿分的同學(xué)”稱為“A類和B類元素個(gè)數(shù)”的總和。為15+12-4=23。

公式

也可表示為

設(shè)S為有限集, ,則

由于

所以

兩個(gè)集合的容斥關(guān)系公式：A∪B =|A∪B| = |A|+|B| - |A∩B |(∩：重合的部分）

三個(gè)集合的容斥關(guān)系公式：|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| + |A∩B∩C|

詳細(xì)推理如下：

1、 等式右邊改造 = {[（A+B - A∩B）+C - B∩C] - C∩A }+ A∩B∩C

2、維恩圖分塊標(biāo)記如右圖圖：1245構(gòu)成A，2356構(gòu)成B，4567構(gòu)成C

3、等式右邊（）里指的是下圖的1+2+3+4+5+6六部分：

那么A∪B∪C還缺部分7。

4、等式右邊[]號(hào)里+C（4+5+6+7）后，相當(dāng)于A∪B∪C多加了4+5+6三部分，

減去B∩C（即5+6兩部分）后，還多加了部分4。

5、等式右邊{}里減去C∩A （即4+5兩部分）后，A∪B∪C又多減了部分5，

則加上A∩B∩C（即5）剛好是A∪B∪C。

嚴(yán)格證明對(duì)于容斥原理我們可以利用數(shù)學(xué)歸納法證明：

**證明：**當(dāng) 時(shí)，等式成立(證明略)。

假設(shè) 時(shí)結(jié)論成立，則當(dāng) 時(shí)，

所以當(dāng) 時(shí)，結(jié)論仍成立。因此對(duì)任意 ，均可使所證等式成立。1

舉例例1（小學(xué)奧數(shù)題）

某校六⑴班有學(xué)生45人，每人在暑假里都參加體育訓(xùn)練隊(duì)，其中參加足球隊(duì)的有25人，參加排球隊(duì)的有22人，參加游泳隊(duì)的有24人，足球、排球都參加的有12人，足球、游泳都參加的有9人，排球、游泳都參加的有8人，問：三項(xiàng)都參加的有多少人？

分析：參加足球隊(duì)的人數(shù)25人為A類元素，參加排球隊(duì)人數(shù)22人為B類元素，參加游泳隊(duì)的人數(shù)24人為C類元素，既是A類又是B類的為足球排球都參加的12人，既是B類又C類的為足球游泳都參加的9人，既是C類又是A類的為排球游泳都參加的8人，三項(xiàng)都參加的是A類B類C類的總和設(shè)為X。注意：這個(gè)題說的每人都參加了體育訓(xùn)練隊(duì)，所以這個(gè)班的總?cè)藬?shù)即為A類B類和C類的總和。

答案：25+22+24-12-9-8+X=45 ，解得X=33

例2（高中題）

在1到1000的自然數(shù)中，能被3或5整除的數(shù)共有多少個(gè)？不能被3或5整除的數(shù)共有多少個(gè)？

分析：顯然，這是一個(gè)重復(fù)計(jì)數(shù)問題（當(dāng)然，如果不怕麻煩你可以分別去數(shù)3的倍數(shù)，5的倍數(shù)）。我們可以把“能被3或5整除的數(shù)”分別看成A類元素和B類元素，能“同時(shí)被3或5整除的數(shù)（15的倍數(shù)）”就是被重復(fù)計(jì)算的數(shù)，即“既是A類又是B類的元素”。求的是“A類或B類元素個(gè)數(shù)”。我們還不能直接計(jì)算，必須先求出所需條件。1000÷3=333……1，能被3整除的數(shù)有333個(gè)（想一想，這是為什么？）同理，可以求出其他的條件。

例3（高中題）

分母是1001的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)一共有多少個(gè)？

分析：這一題實(shí)際上就是找分子中不能與1001進(jìn)行約分的數(shù)。由于1001=7×11×13，所以就是找不能被7，11，13整除的數(shù)。

解答：1~1001中，有7的倍數(shù)1001/7 = 143 （個(gè))；有11的倍數(shù)1001/11 = 91 （個(gè)），有13的倍數(shù)1001/13 = 77 （個(gè)）；有7*11=77;77是11的倍數(shù)1001/77 = 13 （個(gè)），有7*13=91;91是13的倍數(shù)；1001/91 = 11 （個(gè)），有11*13=143;143是13的倍數(shù)1001/143 = 7 （個(gè)）.有1001的倍數(shù)1個(gè)。

由容斥原理知：在1~1001中，能被7或11或13整除的數(shù)有（143+91+77）-（13+11+7）+1=281（個(gè)），從而不能被7、11或13整除的數(shù)有1001-281=720（個(gè)）.也就是說，分母為1001的最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)有720個(gè)。

例4（小學(xué)奧數(shù)題）

某個(gè)班的全體學(xué)生在進(jìn)行了短跑、游泳、投擲三個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試后，有4名學(xué)生在這三個(gè)項(xiàng)目上都沒有達(dá)到優(yōu)秀，其余每人至少有一項(xiàng)達(dá)到了優(yōu)秀，達(dá)到了優(yōu)秀的這部分學(xué)生情況如下表：

|| ||

求這個(gè)班的學(xué)生共有多少人？

分析：這個(gè)班的學(xué)生數(shù)，應(yīng)包括達(dá)到優(yōu)秀和沒有達(dá)到優(yōu)秀的。

4+17+18+15-6-6-5+2=39（人）3

例5（小學(xué)奧數(shù)題）

在一根長(zhǎng)的木棍上有三種刻度線，第一種刻度線將木棍分成10等份，第二種將木棍分成12等份，第三種將木棍分成15等份。如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，木棍總共被鋸成多少段？

分析：

很顯然，要計(jì)算木棍被鋸成多少段，只需要計(jì)算出木棍上共有多少條不同的刻度線，在此基礎(chǔ)上加1就是段數(shù)了。

若按將木棍分成10等份的刻度線鋸開，木棍有9條刻度線。在此木棍上加上將木棍分成12等份的11條刻度線，顯然刻度線有重復(fù)的，如5/10和6/12都是1/2。同樣再加上將木棍分成15等份的刻度線，也是如此。所以，我們應(yīng)該按容斥原理的方法來解決此問題。用容斥原理的那一個(gè)呢？想一想，被計(jì)數(shù)的事物有那幾類？每一類的元素個(gè)數(shù)是多少？

解答

解一：[10，12，15]=60，設(shè)木棍60厘米

60÷10=6厘米，60÷12=5厘米，60÷15=4(厘米

10等分的為第一種刻度線，共10－1=9(條)

12等分的為第二種刻度線，共12－1=11(條)

15等分的為第三種刻度線，過15－1=14(條)

第一種與第二種刻度線重合的[6，5]=30，60÷30－1=2－1=1(條)

第一種與第三種刻度線重合的[6，4]=12，60÷12－1=5－1=4(條)

第二種與第三種刻度線重合的[5，4]=20，60÷20－1=3－1=2(條)

三種刻度線重合的沒有，[6、5、4]=60

因此，共有刻度線9+11+14－1－4－2=27條，木棍總共被鋸成27+1=28段。

解二：總長(zhǎng)看成單位1分別分成10、12、15段。1/10與1/12的最小公倍數(shù)1/2，1/10與1/15的最小公倍數(shù)1/5，1/12與1/15的最小公倍數(shù)1/3，1/10，1/12和1/15的最小公倍數(shù)為1，有10+12+15-（2+5+3）+1=28

解三：

10、12、15的最小公倍數(shù)是60，假設(shè)木棍就是長(zhǎng)60，

1、那么，分成10等份的每份6，刻度就是

0，6，12，18，24，30，36，42，48，54，60

2、分成12等分的每份就是5，

0，5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，55，60

3、分成15等分的每份就是4，

0，4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60

4、把相同刻度的合并，就是有刻度如下：

0，4，5，6，8，10，12，15，16，18，20，24，25，28，30，32，35，36，40，42，44，45，48，50，52，54，55，56，603