[科普中國(guó)]-功效函數(shù)

引入

在進(jìn)行假設(shè)檢時(shí)，我們要確立原假設(shè)和備擇假設(shè)，為了選擇哪種假設(shè)，我們規(guī)定了拒絕域。如果樣本落在拒絕域內(nèi)，我們拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)，否則接受原假設(shè)。這樣我們?cè)趹?yīng)用某種檢驗(yàn)做判斷時(shí)，可能會(huì)犯如下兩種錯(cuò)誤：原假設(shè)是對(duì)的，我們卻拒絕了原假設(shè)，這稱為第一類錯(cuò)誤；相反，原假設(shè)是錯(cuò)的，我們卻接受了原假設(shè)，這稱為第二類錯(cuò)誤。1在檢驗(yàn)中我們希望犯兩類錯(cuò)誤的概率都盡可能地小，但實(shí)際上我們做不到這一點(diǎn)，為了說(shuō)明原因，我們需要引進(jìn)功效函數(shù)這一概念。2

定義設(shè)某檢驗(yàn)問(wèn)題的拒絕域?yàn)閃，則樣本觀測(cè)值X落在拒絕域W內(nèi)的概率稱為該檢驗(yàn)的功效函數(shù)，記為，為原假設(shè)和備擇假設(shè)中的參數(shù)。3

性質(zhì)當(dāng)原假設(shè)成立時(shí)，犯第一類錯(cuò)誤的概率就等于。當(dāng)備擇假設(shè)成立時(shí)，犯第二類錯(cuò)誤的概率就等于。

下面我們通過(guò)一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明我們無(wú)法使一個(gè)檢驗(yàn)犯第一類、第二類錯(cuò)誤的概率同時(shí)減少。

某廠生產(chǎn)的合金強(qiáng)度服從正態(tài)分布，其中的設(shè)計(jì)值為不低于110。為保證質(zhì)量，該廠每天都要對(duì)生產(chǎn)情況做例行檢查，以判斷生產(chǎn)是否正常進(jìn)行，即該合金的平均強(qiáng)度不低于110。某天從生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取25塊合金，測(cè)得其強(qiáng)度值為，均值為，問(wèn)當(dāng)日生產(chǎn)是否正常。

對(duì)于本例，其拒絕域?yàn)?img src="https://img-xml.kepuchina.cn/images/newsWire/tkaQ2cP79lSiYvw2v4PrgSIiiuThvKe9x9xB.jpg" alt="" />

注意到這個(gè)功效函數(shù)是的減函數(shù)，如右圖利用這個(gè)功效函數(shù)易得犯兩類錯(cuò)誤的概率分別為（原假設(shè)成立），（備擇假設(shè)成立）。

由此可以得出犯兩類錯(cuò)誤的概率之間的關(guān)系：

1、當(dāng)?shù)谝活愬e(cuò)誤的概率減少時(shí)，c隨之減小，而c的減小必導(dǎo)致犯第二類錯(cuò)誤的概率增大。

2、當(dāng)?shù)诙愬e(cuò)誤的概率減少時(shí)，c隨之增大，而c的增大必導(dǎo)致犯第一類錯(cuò)誤的概率增大。

這一現(xiàn)象說(shuō)明：兩類錯(cuò)誤的一個(gè)減小必導(dǎo)致另一個(gè)的增大。