[科普中國(guó)]-特征向量

第一性質(zhì)

線性變換的特征向量是指在變換下方向不變，或者簡(jiǎn)單地乘以一個(gè)縮放因子的非零向量。

特征向量對(duì)應(yīng)的特征值是它所乘的那個(gè)縮放因子。

特征空間就是由所有有著相同特征值的特征向量組成的空間，還包括零向量，但要注意零向量本身不是特征向量1。

線性變換的主特征向量是最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量。

特征值的幾何重次是相應(yīng)特征空間的維數(shù)。

有限維向量空間上的一個(gè)線性變換的譜是其所有特征值的集合。

例如，三維空間中的旋轉(zhuǎn)變換的特征向量是沿著旋轉(zhuǎn)軸的一個(gè)向量，相應(yīng)的特征值是1，相應(yīng)的特征空間包含所有和該軸平行的向量。該特征空間是一個(gè)一維空間，因而特征值1的幾何重次是1。特征值1是旋轉(zhuǎn)變換的譜中唯一的實(shí)特征值。

例子隨著地球的自轉(zhuǎn)，除了在轉(zhuǎn)軸上的兩個(gè)箭頭，每個(gè)從地心往外指的箭頭都在旋轉(zhuǎn)。考慮地球在自轉(zhuǎn)一小時(shí)后的變換：地心指向地理南極的箭頭是這個(gè)變換的一個(gè)特征向量，但是從地心指向赤道上任何一點(diǎn)的箭頭不會(huì)是一個(gè)特征向量。又因?yàn)橹赶驑O點(diǎn)的箭頭沒(méi)有被地球的自轉(zhuǎn)拉伸，所以它的特征值是1。

另一個(gè)例子是，薄金屬板關(guān)于一個(gè)固定點(diǎn)均勻伸展，使得板上每一個(gè)點(diǎn)到該固定點(diǎn)的距離翻倍。這個(gè)伸展是一個(gè)具有特征值2的變換。從該固定點(diǎn)到板上任何一點(diǎn)的向量都是一個(gè)特征向量，而相應(yīng)的特征空間是所有這些向量的集合。

但是，三維幾何空間不是唯一的向量空間。例如，考慮兩端固定的拉緊的繩子，就像弦樂(lè)器的振動(dòng)弦那樣。振動(dòng)弦的原子到它們?cè)谙异o止時(shí)所處的位置的帶符號(hào)的那些距離視為一個(gè)空間中的一個(gè)向量的分量，那個(gè)空間的維數(shù)就是弦上原子的個(gè)數(shù)。

如果考慮繩子隨著時(shí)間流逝發(fā)生的變換，它的特征向量，或者說(shuō)特征函數(shù)（如果將繩子假設(shè)為一個(gè)連續(xù)媒介），就是它的駐波——即那些通過(guò)空氣的傳播讓人們聽到弓弦和吉他的撥動(dòng)聲的振動(dòng)。駐波對(duì)應(yīng)于弦的特定振動(dòng)，它們使得弦的形狀隨著時(shí)間變化而伸縮一個(gè)因子（特征值）。和弦相關(guān)的該向量的每個(gè)分量乘上了一個(gè)依賴于時(shí)間的因子。駐波的振幅（特征值）在考慮到阻尼的情況下逐漸減小。因此可以將每個(gè)特征向量對(duì)應(yīng)于一個(gè)壽命，并將特征向量的概念和共振的概念聯(lián)系起來(lái)1。

方程從數(shù)學(xué)上看，如果向量v與變換A滿足Av=λv，則稱向量v是變換A的一個(gè)特征向量，λ是相應(yīng)的特征值。這一等式被稱作“特征值方程”。

假設(shè)它是一個(gè)線性變換，那么v可以由其所在向量空間的一組基表示為：

其中vi是向量在基向量上的投影（即坐標(biāo)），這里假設(shè)向量空間為n 維。由此，可以直接以坐標(biāo)向量表示。利用基向量，線性變換也可以用一個(gè)簡(jiǎn)單的矩陣乘法表示。上述的特征值方程可以表示為：

但是，有時(shí)候用矩陣形式寫下特征值方程是不自然甚或不可能的。例如在向量空間是無(wú)窮維的時(shí)候，上述的弦的情況就是一例。取決于變換和它所作用的空間的性質(zhì)，有時(shí)將特征值方程表示為一組微分方程更好。若是一個(gè)微分算子，其特征向量通常稱為該微分算子的特征函數(shù)。例如，微分本身是一個(gè)線性變換因?yàn)椋ㄈ鬗和N是可微函數(shù)，而a和b是常數(shù)）

考慮對(duì)于時(shí)間t的微分。其特征函數(shù)滿足如下特征值方程：

其中λ是該函數(shù)所對(duì)應(yīng)的特征值。這樣一個(gè)時(shí)間的函數(shù)，如果λ = 0，它就不變，如果λ為正，它就按比例增長(zhǎng)，如果λ是負(fù)的，它就按比例衰減。例如，理想化的兔子的總數(shù)在兔子更多的地方繁殖更快，從而滿足一個(gè)正λ的特征值方程。

該特征值方程的一個(gè)解是N = exp(λt)，也即指數(shù)函數(shù)；這樣，該函數(shù)是微分算子d/dt的特征值為λ的特征函數(shù)。若λ是負(fù)數(shù)，我們稱N的演變?yōu)橹笖?shù)衰減；若它是正數(shù)，則稱指數(shù)增長(zhǎng)。λ的值可以是一個(gè)任意復(fù)數(shù)。因此d/dt的譜是整個(gè)復(fù)平面。在這個(gè)例子中，算子d/dt作用的空間是單變量可微函數(shù)的空間。該空間有無(wú)窮維（因?yàn)椴皇敲恳粋€(gè)可微函數(shù)都可以用有限的基函數(shù)的線性組合來(lái)表達(dá)的）。但是，每個(gè)特征值λ所對(duì)應(yīng)的特征空間是一維的。它就是所有形為N = N0exp(λt)的函數(shù)的集合。N0是任意常數(shù)，也就在t=0的初始數(shù)量。

定理譜定理在有限維的情況，將所有可對(duì)角化的矩陣作了分類：它顯示一個(gè)矩陣是可對(duì)角化的，當(dāng)且僅當(dāng)它是一個(gè)正規(guī)矩陣。注意這包括自共軛（厄爾米特）的情況。這很有用，因?yàn)閷?duì)角化矩陣T的函數(shù)f(T)（譬如波萊爾函數(shù)f）的概念是清楚的。在采用更一般的矩陣的函數(shù)的時(shí)候譜定理的作用就更明顯了。例如，若f是解析的，則它的形式冪級(jí)數(shù)，若用T取代x，可以看作在矩陣的巴拿赫空間中絕對(duì)收斂。譜定理也允許方便地定義正算子的唯一的平方根。

譜定理可以推廣到希爾伯特空間上的有界正規(guī)算子，或者無(wú)界自共軛算子的情況。

特征向量概述簡(jiǎn)介計(jì)算矩陣的特征值和特征向量

假設(shè)我們想要計(jì)算給定矩陣的特征值。若矩陣很小，我們可以用特征多項(xiàng)式進(jìn)行符號(hào)演算。但是，對(duì)于大型矩陣這通常是不可行的，在這種情況我們必須采用數(shù)值方法。

求特征值描述正方形矩陣的特征值的重要工具是特征多項(xiàng)式，λ是A的特征值等價(jià)于線性方程組(A – λI) v = 0 （其中I是單位矩陣）有非零解v (一個(gè)特征向量)，因此等價(jià)于行列式|A – λI|=01。

函數(shù)p(λ) = det(A – λI)是λ的多項(xiàng)式，因?yàn)樾辛惺蕉x為一些乘積的和，這就是A的特征多項(xiàng)式。矩陣的特征值也就是其特征多項(xiàng)式的零點(diǎn)。

一個(gè)矩陣A的特征值可以通過(guò)求解方程pA(λ) = 0來(lái)得到。 若A是一個(gè)n×n矩陣，則pA為n次多項(xiàng)式，因而A最多有n個(gè)特征值。 反過(guò)來(lái)，代數(shù)基本定理說(shuō)這個(gè)方程剛好有n個(gè)根，如果重根也計(jì)算在內(nèi)的話。所有奇數(shù)次的多項(xiàng)式必有一個(gè)實(shí)數(shù)根，因此對(duì)于奇數(shù)n，每個(gè)實(shí)矩陣至少有一個(gè)實(shí)特征值。在實(shí)矩陣的情形，對(duì)于偶數(shù)或奇數(shù)的n，非實(shí)數(shù)特征值成共軛對(duì)出現(xiàn)。

求特征向量一旦找到兩兩互不相同的特征值λ，相應(yīng)的特征向量可以通過(guò)求解方程(A – λI) v = 0 得到，其中v為待求特征向量，I為單位陣。

當(dāng)特征值出現(xiàn)重根時(shí)，如λ1=λ2，此時(shí)，特征向量v1的求解方法為(A-λ1I)v1=0，v2為(A-λ2I)v2=v1，依次遞推。

沒(méi)有實(shí)特征值的一個(gè)矩陣的例子是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度。

數(shù)值計(jì)算在實(shí)踐中，大型矩陣的特征值無(wú)法通過(guò)特征多項(xiàng)式計(jì)算，計(jì)算該多項(xiàng)式本身相當(dāng)費(fèi)資源，而精確的“符號(hào)式”的根對(duì)于高次的多項(xiàng)式來(lái)說(shuō)很難計(jì)算和表達(dá)：阿貝爾－魯費(fèi)尼定理顯示高次（5次或更高）多項(xiàng)式的根無(wú)法用n次方根來(lái)簡(jiǎn)單表達(dá)。對(duì)于估算多項(xiàng)式的根的有效算法是有的，但特征值的小誤差可以導(dǎo)致特征向量的巨大誤差。求特征多項(xiàng)式的零點(diǎn)，即特征值的一般算法，是迭代法。最簡(jiǎn)單的方法是冪法：取一個(gè)隨機(jī)向量v，然后計(jì)算一系列單位向量。

這個(gè)序列幾乎總是收斂于絕對(duì)值最大的特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量。這個(gè)算法很簡(jiǎn)單，但是本身不是很有用。但是，象QR算法這樣的算法正是以此為基礎(chǔ)的。

第二性質(zhì)代數(shù)重次A的一個(gè)特征值λ的代數(shù)重次是λ作為A的特征多項(xiàng)式的零點(diǎn)的次數(shù)；換句話說(shuō)，若λ是一個(gè)該多項(xiàng)式的根，它是因子(t ? λ)在特征多項(xiàng)式中在因式分解后中出現(xiàn)的次數(shù)。一個(gè)n×n矩陣有n個(gè)特征值，如果將代數(shù)重次計(jì)算在內(nèi)的話，因?yàn)槠涮卣鞫囗?xiàng)式次數(shù)為n。

一個(gè)代數(shù)重次1的特征值為“單特征值”。

在關(guān)于矩陣?yán)碚摰臈l目中，可能會(huì)遇到如下的命題：

"一個(gè)矩陣A的特征值為4，4，3，3，3，2，2，1"

表示4的代數(shù)重次為二，3的是三，2的是二，而1的是1。這樣的風(fēng)格因?yàn)榇鷶?shù)重次對(duì)于矩陣?yán)碚撝械暮芏鄶?shù)學(xué)證明很重要而被大量使用。

回想一下，我們定義特征向量的幾何重次為相應(yīng)特征空間的維數(shù)，也就是λI ? A的零空間。代數(shù)重次也可以視為一種維數(shù)：它是相應(yīng)廣義特征空間 (第一種意義)的維數(shù)，也就是矩陣(λI ? A)^k對(duì)于任何足夠大的k的零空間。也就是說(shuō)，它是“廣義特征向量”（第一種意義）的空間，其中一個(gè)廣義特征向量是任何一個(gè)如果 λI ? A作用連續(xù)作用足夠多次就“最終”會(huì)變0的向量。任何特征向量是一個(gè)廣義特征向量，以此任一特征空間被包含于相應(yīng)的廣義特征空間。這給了一個(gè)幾何重次總是小于代數(shù)重次的簡(jiǎn)單證明。這里的第一種意義不可和下面所說(shuō)的廣義特征值問(wèn)題混淆。

例如它只有一個(gè)特征值，也就是λ = 1。其特征多項(xiàng)式是(λ ? 1)2，所以這個(gè)特征值代數(shù)重次為2。但是，相應(yīng)特征空間是通常稱為x軸的數(shù)軸，由向量線性撐成，所以幾何重次只是1。

廣義特征向量可以用于計(jì)算一個(gè)矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。若當(dāng)塊通常不是對(duì)角化而是冪零的這個(gè)事實(shí)與特征向量和廣義特征向量之間的區(qū)別直接相關(guān)。

分解定理如上所述，譜定理表明正方形矩陣可以對(duì)角化當(dāng)且僅當(dāng)它是正規(guī)的。對(duì)于更一般的未必正規(guī)的矩陣，我們有類似的結(jié)果。當(dāng)然在一般的情況，有些要求必須放松，例如酉等價(jià)性或者最終的矩陣的對(duì)角性。 所有這些結(jié)果在一定程度上利用了特征值和特征向量。下面列出了一些這樣的結(jié)果：

舒爾三角形式表明任何矩陣等價(jià)于一個(gè)上三角矩陣；

奇異值分解定理， A = UΣV * 其中Σ為對(duì)角陣，而U,V為酉矩陣。A = UΣV * 的對(duì)角線上的元素非負(fù)，而正的項(xiàng)稱為A的奇異值。這對(duì)非正方形矩陣也成立2；

若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型，其中A = UΛU ? 1 其中Λ不是對(duì)角陣，但是分塊對(duì)角陣，而U是酉矩陣。若當(dāng)塊的大小和個(gè)數(shù)由特征值的幾何和代數(shù)重次決定。若當(dāng)分解是一個(gè)基本的結(jié)果。從它可以立即得到一個(gè)正方形矩陣可以完全用它的特征值包括重次來(lái)表述，最多只會(huì)相差一個(gè)酉等價(jià)。這表示數(shù)學(xué)上特征值在矩陣的研究中有著極端重要的作用。

作為若當(dāng)分解的直接結(jié)果，一個(gè)矩陣A可以“唯一”地寫作A = S + N其中S可以對(duì)角化，N是冪零的（也即，對(duì)于某個(gè)q，Nq=0），而S和N可交換(SN=NS)。

任何可逆矩陣A可以唯一地寫作A = SJ，其中S可對(duì)角化而J是么冪矩陣（即使得特征多項(xiàng)式是(λ-1)的冪，而S和J可交換）。

其他屬性譜在相似變換下不變： 矩陣A和P^-1AP有相同的特征值，這對(duì)任何方形矩陣A和任何可逆矩陣 P都成立。譜在轉(zhuǎn)置之下也不變：矩陣A和A^T有相同的特征值2。

因?yàn)橛邢蘧S空間上的線性變換是雙射當(dāng)且僅當(dāng)它是單射，一個(gè)矩陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)所有特征值都不是0。

若當(dāng)分解的一些更多的結(jié)果如下：

一個(gè)矩陣A相似于對(duì)角陣當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于A的每一個(gè)特征值的代數(shù)重次等于幾何重次。特別地有，一個(gè)n×n矩陣如果有n個(gè)不同特征值，則總是可以對(duì)角化的。

矩陣作用的向量空間可以視為其廣義特征向量所撐成的不變子空間的直和。對(duì)角線上的每個(gè)塊對(duì)應(yīng)于該直和的一個(gè)子空間。若一個(gè)塊是對(duì)角化的，其不變子空間是一個(gè)特征空間。否則它是一個(gè)廣義特征空間，如上面所定義；

因?yàn)檑E，也就是矩陣主對(duì)角線元素之和，在酉等價(jià)下不變，若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型說(shuō)明它等于所有特征值之和；

類似的有，因?yàn)槿蔷仃嚨奶卣髦稻褪侵鲗?duì)角線上的項(xiàng)，其行列式等于等于特征值的乘積（按代數(shù)重次計(jì)算出現(xiàn)次數(shù)）。

正規(guī)矩陣的一些子類的譜的位置是：

一個(gè)厄爾米特矩陣(A = A*)的所有特征值是實(shí)數(shù)。進(jìn)一步的有，所有正定矩陣(v*Av > 0 for all vectors v)的所有特征值是正數(shù)；

所有斜厄爾米特矩陣(A = ?A*)的特征值是純虛數(shù)；

所有酉矩陣(A-1 = A*)的特征值絕對(duì)值為1;

假設(shè)A是一個(gè)m×n矩陣，其中m ≤ n，而B是一個(gè)n×m矩陣。則BA有和AB相同的特征值加上n ? m個(gè)等于0的特征值。

每個(gè)矩陣可以被賦予一個(gè)算子范數(shù)。算子范數(shù)是其特征值的模的上確界，因而也是它的譜半徑。該范數(shù)直接和計(jì)算最大模的特征值的冪法直接相關(guān)。當(dāng)一個(gè)矩陣是正規(guī)的，其算子范數(shù)是其特征值的最大模，并且獨(dú)立于其定義域的范數(shù)。

共軛特征向量一個(gè)共軛特征向量或者說(shuō)共特征向量是一個(gè)在變換下成為其共軛乘以一個(gè)標(biāo)量的向量，其中那個(gè)標(biāo)量稱為該線性變換的共軛特征值或者說(shuō)共特征值。共軛特征向量和共軛特征值代表了和常規(guī)特征向量和特征值相同的信息和含義，但只在使用交替坐標(biāo)系統(tǒng)的時(shí)候出現(xiàn)。

例如，在相干電磁散射理論中，線性變換A代表散射物體施行的作用，而特征向量表示電磁波的極化狀態(tài)。在光學(xué)中，坐標(biāo)系統(tǒng)按照波的觀點(diǎn)定義，稱為前向散射對(duì)齊 (FSA)，從而導(dǎo)致了常規(guī)的特征值方程，而在雷達(dá)中，坐標(biāo)系統(tǒng)按照雷達(dá)的觀點(diǎn)定義，稱為后向散射對(duì)齊 (BSA)，從而給出了共軛特征值方程。

特征問(wèn)題一個(gè)廣義特征值問(wèn)題(第二種意義)有如下形式

其中A和B為矩陣。其廣義特征值(第二種意義)λ 可以通過(guò)求解如下方程得到

形如A ? λB的矩陣的集合，其中λ是一個(gè)復(fù)數(shù)，稱為一個(gè)“鉛筆”。 若B可逆，則最初的問(wèn)題可以寫作標(biāo)準(zhǔn)的特征值問(wèn)題。但是，在很多情況下施行逆操作是不可取的，而廣義特征值問(wèn)題應(yīng)該如同其原始表述來(lái)求解。

如果A和B是實(shí)對(duì)稱矩陣，則特征值都為實(shí)數(shù)。這在上面的第二種等價(jià)表述中并不明顯，因?yàn)榫仃嘊 ? 1A未必是對(duì)稱的。

環(huán)中元素在方矩陣A，其系數(shù)屬于一個(gè)環(huán)的情況，λ稱為一個(gè)右特征值如果存在一個(gè)列向量x使得Ax=λx，或者稱為一個(gè)左特征值如果存在非零行向量y使得yA=yλ。

若環(huán)是可交換的，左特征值和右特征值相等，并簡(jiǎn)稱為特征值。否則，例如當(dāng)環(huán)是四元數(shù)集合的時(shí)候，它們可能是不同的。

若向量空間是無(wú)窮維的，特征值的概念可以推廣到譜的概念。譜是標(biāo)量λ的集合，對(duì)于這些標(biāo)量，沒(méi)有定義，也就是說(shuō)它們使得沒(méi)有有界逆。

很明顯，如果λ是T的特征值，λ位于T的譜內(nèi)。一般來(lái)講，反過(guò)來(lái)并不成立。在希爾伯特空間或者巴拿赫空間上有一些算子完全沒(méi)有特征向量。這可以從下面的例子中看到。 在希爾伯特空間(所有標(biāo)量級(jí)數(shù)的空間，每個(gè)級(jí)數(shù)使得收斂)上的雙向平移沒(méi)有特征向量卻有譜值。

在無(wú)窮維空間，有界算子的譜系總是非空的，這對(duì)無(wú)界自共軛算子也成立。通過(guò)檢驗(yàn)譜測(cè)度，任何有界或無(wú)界的自共軛算子的譜可以分解為絕對(duì)連續(xù)，離散，和孤立部分。指數(shù)增長(zhǎng)或者衰減是連續(xù)譜的例子，而振動(dòng)弦駐波是離散譜例子。氫原子是兩種譜都有出現(xiàn)的例子。氫原子的束縛態(tài)對(duì)應(yīng)于譜的離散部分，而離子化狀態(tài)用連續(xù)譜表示。圖3用氯原子的例子作了解釋。

應(yīng)用薛定諤方程一個(gè)變換用微分算子代表的特征值方程的例子是量子力學(xué)中的時(shí)不變薛定諤方程

HΨE = EΨE

其中H是哈密爾頓算子，一個(gè)二階微分算子而ΨE是波函數(shù)，對(duì)應(yīng)于特征值E的特征函數(shù)，該值可以解釋為它的能量。

一個(gè)氫原子中的一個(gè)電子的束縛態(tài)所對(duì)應(yīng)的波函數(shù)可以視為氫原子哈密爾頓算子的一個(gè)特征向量，也是角動(dòng)量算子的一個(gè)特征向量。它們對(duì)應(yīng)于可以解釋為它們的能量(遞增：n=1,2,3,...)和角動(dòng)量(遞增：s, p, d,...)的特征值。這里畫出了波函數(shù)絕對(duì)值的平方。更亮區(qū)域?qū)?yīng)于位置測(cè)度的更高概率密度。每幅圖的中心都是原子核，一個(gè)質(zhì)子但是，在這個(gè)情況我們只尋找薛定鄂方程的束縛態(tài)解，就像在量子化學(xué)中常做的那樣，我們?cè)谄椒娇煞e的函數(shù)中尋找ΨE。因?yàn)檫@個(gè)空間是一個(gè)希爾伯特空間，有一個(gè)定義良好的標(biāo)量積，我們可以引入一個(gè)基集合，在其中ΨE和H可以表示為一個(gè)一維數(shù)組和一個(gè)矩陣。這使得我們能夠用矩陣形式表達(dá)薛定鄂方程。

狄拉克記法經(jīng)常在這個(gè)上下文中使用，以強(qiáng)調(diào)狀態(tài)的向量和它的表示，函數(shù)ΨE之間的區(qū)別。在這個(gè)情況下，薛定鄂方程寫作

并稱是H的一個(gè)本征態(tài)(H有時(shí)候在入門級(jí)課本中寫作)，H被看作是一個(gè)變換（參看觀測(cè)值）而不是一個(gè)它用微分算子術(shù)語(yǔ)進(jìn)行的特定表示。在上述方程中，理解為通過(guò)應(yīng)用H到得到的一個(gè)向量。

分子軌道在量子力學(xué)中，特別是在原子物理和分子物理中，在Hartree-Fock理論下，原子軌道和分子軌道可以定義為Fock算子的特征向量。相應(yīng)的特征值通過(guò)Koopmans定理可以解釋為電離勢(shì)能。在這個(gè)情況下，特征向量一詞可以用于更廣泛的意義，因?yàn)镕ock算子顯式地依賴于軌道和它們地特征值。如果需要強(qiáng)調(diào)這個(gè)特點(diǎn)，可以稱它為隱特征值方程。這樣地方程通常采用迭代程序求解，在這個(gè)情況下稱為自洽場(chǎng)方法。在量子化學(xué)中，經(jīng)常會(huì)把Hartree-Fock方程通過(guò)非正交基集合來(lái)表達(dá)。這個(gè)特定地表達(dá)是一個(gè)廣義特征值問(wèn)題稱為Roothaan方程。

因子分析在因素分析中，一個(gè)協(xié)變矩陣的特征向量對(duì)應(yīng)于因素，而特征值是因素負(fù)載。因素分析是一種統(tǒng)計(jì)學(xué)技術(shù)，用于社會(huì)科學(xué)和市場(chǎng)分析、產(chǎn)品管理、運(yùn)籌規(guī)劃和其他處理大量數(shù)據(jù)的應(yīng)用科學(xué)。其目標(biāo)是用稱為因素的少量的不可觀測(cè)隨機(jī)變量來(lái)解釋在一些可觀測(cè)隨機(jī)變量中的變化。可觀測(cè)隨機(jī)變量用因素的線性組合來(lái)建模，再加上“殘差項(xiàng)。

特征臉是特征向量的例子

在圖像處理中，臉部圖像的處理可以看作分量為每個(gè)像素的灰度的向量。該向量空間的維數(shù)是像素的個(gè)數(shù)。一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)化面部圖形的一個(gè)大型數(shù)據(jù)集合的協(xié)變矩陣的特征向量稱為特征臉。它們對(duì)于將任何面部圖像表達(dá)為它們的線性組合非常有用。特征臉提供了一種用于識(shí)別目的的數(shù)據(jù)壓縮方式。在這個(gè)應(yīng)用中，一般只取那些最大特征值所對(duì)應(yīng)的特征臉。

慣量張量在力學(xué)中，慣量的特征向量定義了剛體的主軸。慣量是決定剛體圍繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的關(guān)鍵數(shù)據(jù)。

應(yīng)力張量在固體力學(xué)中，應(yīng)力張量是對(duì)稱的，因而可以分解為對(duì)角張量，其特征值位于對(duì)角線上，而特征向量可以作為基。因?yàn)樗菍?duì)角陣，在這個(gè)定向中，應(yīng)力張量沒(méi)有剪切分量；它只有主分量。

圖的特征值在譜系圖論中，一個(gè)圖的特征值定義為圖的鄰接矩陣A的特征值，或者（更多的是）圖的拉普拉斯算子矩陣I ? T ? 1 / 2AT ? 1 / 2，其中T是對(duì)角陣表示每個(gè)頂點(diǎn)的度數(shù)，在T ? 1 / 2中，0用于取代0 ? 1 / 2。圖的主特征向量用于測(cè)量其頂點(diǎn)的中心度。Google的PageRank算法就是一個(gè)例子。www圖的修正鄰接矩陣的主特征向量的分量給出了頁(yè)面評(píng)分。