[科普中國(guó)]-最優(yōu)性原理

概念

一個(gè)最優(yōu)決策應(yīng)具有這樣的性質(zhì)，不管初始狀態(tài)和初始決策如何，剩下的決策（整個(gè)最優(yōu)決策中的一部分）對(duì)于從這一級(jí)開(kāi)始的后續(xù)多級(jí)過(guò)程，仍然是一個(gè)最優(yōu)決策。應(yīng)用最優(yōu)性原理，可以把多級(jí)決策問(wèn)題的求解過(guò)程看作是一個(gè)連續(xù)遞推過(guò)程，由后向前逐級(jí)推算。在求解過(guò)程中，前一級(jí)的決策和輸出狀態(tài)只是后一級(jí)的初始條件（初始狀態(tài)），并不影響后續(xù)子過(guò)程的最優(yōu)決策。1

基本原理設(shè)維離散系統(tǒng)為

要求確定最優(yōu)控制，使性能指標(biāo)

最小。式中，是固定的；不受限制（或）。

記為達(dá)到終端狀態(tài)的末級(jí)性能指標(biāo)，即有

當(dāng)時(shí)，得到

由于控制變量對(duì)當(dāng)前狀態(tài)無(wú)作用，只能改變后續(xù)狀態(tài)變量的值，而且控制變量必然是當(dāng)前狀態(tài)的函數(shù)，記最優(yōu)控制得到的性能指標(biāo)為

采用同樣的方法，得到遞推公式

上式稱(chēng)為貝爾曼遞推方程，它是動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本遞推關(guān)系式。由已知的級(jí)過(guò)程的最優(yōu)性能指標(biāo)，根據(jù)遞推公式確定最優(yōu)控制，就可得到級(jí)過(guò)程的最優(yōu)性能指標(biāo)。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的尋優(yōu)算法是從末級(jí)過(guò)程開(kāi)始的，然后，根據(jù)式子逐級(jí)倒推，最終得到多級(jí)過(guò)程的最優(yōu)決策和最優(yōu)性能指標(biāo)。遞推公式明確指出，每一步倒推時(shí)，并不是孤立地考慮當(dāng)前級(jí)的過(guò)程，而是從該級(jí)到最后一級(jí)所有過(guò)程的整體的最優(yōu)決策，使“整體”的性能指標(biāo)最優(yōu)。

動(dòng)態(tài)規(guī)劃的遞推公式再一次重申了一個(gè)重要概念——嵌入原理原理，就是說(shuō)，既然表示初始狀態(tài)為的一個(gè)級(jí)過(guò)程中，從第級(jí)開(kāi)始的最后級(jí)過(guò)程的最優(yōu)性能指標(biāo)，又表示初始狀態(tài)為的級(jí)的最優(yōu)性能指標(biāo)。嵌入原理的內(nèi)容是，當(dāng)時(shí)，一個(gè)級(jí)過(guò)程的最優(yōu)決策和最優(yōu)性能指標(biāo)是被嵌入在一個(gè)級(jí)過(guò)程的最優(yōu)決策過(guò)程之中的。1