公元前3世紀(jì)下半葉古希臘科學(xué)家阿基米德在論著《群牛問(wèn)題》中記載了本問(wèn)題。該問(wèn)題在1880年由阿姆托爾提供了一種解答,該解答需要求解二元二次方程t2-d*u2=1,因d的值達(dá)400多萬(wàn)億,所以完全問(wèn)題的最小解中牛的總數(shù)是一個(gè)超過(guò)20萬(wàn)位的數(shù),可見(jiàn)阿基米德當(dāng)時(shí)未必解出過(guò)這個(gè)問(wèn)題,且它的結(jié)果也與實(shí)際不符。歷史上對(duì)這個(gè)問(wèn)題的研究豐富了初等數(shù)論的內(nèi)容。
問(wèn)題的來(lái)歷公元前3世紀(jì)下半葉古希臘科學(xué)家阿基米德在論著《群牛問(wèn)題》中記載了本問(wèn)題。原文用詩(shī)句寫(xiě)成:
朋友,如果你自認(rèn)為還有幾分聰明,
請(qǐng)來(lái)準(zhǔn)確無(wú)誤地算一算太陽(yáng)神的牛群,
它們聚集在西西里島,
分成四群悠閑地品嘗青草。
第一群象乳汁一般白潔,
第二群閃耀著烏黑的光澤。
第三群棕黃,
第四群毛色花俏,
每群牛有公有母、有多有少。
先告訴你各群的公牛比例:
白牛數(shù)等于棕牛數(shù)再加上黑牛數(shù)的三分之一又二分之一。
此外,黑牛數(shù)為花牛數(shù)的四分之一加五分之一,再加上全部棕公牛。
朋友,你還必須牢記花牛數(shù)是白牛的六分之一又七分之一,
再搭上全部的棕色公牛。
但是,各群的母牛都有不同的比例:
白色的母牛數(shù)等于全部黑色公母牛的三分之一又四分之一。
而黑母牛又是全部花牛的四分之一加上五分之一,
請(qǐng)注意,母牛公牛都要算進(jìn)去。
同樣的,花母牛的數(shù)字是全部棕牛的五分之一加六分之一。
最后,棕色母牛與全部白牛的六分之一加七分之一相一致。
朋友,若你能確切地告訴我這些公牛母牛膘肥體壯、毛色各異,
一共有多少聚集在那里,
你就不愧為精通算計(jì)。
但你還稱不上聰明無(wú)比,
除非你能回答如下的問(wèn)題:
把所有的黑白公牛齊集一起,
恰排成正方形,整整齊齊。
遼闊的西西里島草地,
還有不少公牛在聚集。
當(dāng)棕色的公牛與花公牛走到一起,
排成一個(gè)三角形狀。
棕色公牛、花公牛頭頭在場(chǎng),
其他的牛沒(méi)有一頭敢往里闖。
朋友,你若能夠根據(jù)上述條件,
準(zhǔn)確說(shuō)出各種牛的數(shù)量,
那你就是勝利者,
你的聲譽(yù)將如日月永放光芒。
題目: 西西里島的草地上, 太陽(yáng)神的牛群中有公牛也有母牛,公牛母牛都是白、 黑、 花、 棕4種毛色; 白色公牛多于棕色公牛, 多出的頭數(shù)是黑色公牛的 12+13 ; 黑色公牛多于棕色公牛, 多出的頭數(shù)是花公牛的 14+15 ; 花公牛多于棕色公牛, 多出的頭數(shù)是白色公牛的 16+17 ; 白色母牛是黑牛的 13+14 ; 黑色母牛是花牛的 14+15 ;花母牛是棕色牛的 15+16 ; 棕色母牛是白色牛的 16+17 .問(wèn)各色公牛與母牛有多少頭?
問(wèn)題的深意阿基米德的論文向來(lái)是以命題的形式來(lái)表達(dá)的,而這篇的體例不同,它是用詩(shī)句寫(xiě)成的。標(biāo)題是給埃拉托塞尼的信。胡爾奇(Hultsch)曾猜想這是阿基米德“顯本領(lǐng)(tour de force)”之作,以此向亞歷山大的學(xué)者們(特別是阿波羅尼奧斯)挑戰(zhàn)。但它的真實(shí)性頗值得懷疑,因?yàn)椤叭号?wèn)題”大概很早以前就已存在,阿基米德只是重新研究而已,詩(shī)句也未必出自他的手1。
問(wèn)題的敘述詩(shī)的大意是:西西里島草原上有一大群牛,公牛和母牛各有4種顏色。設(shè)W、X、Y、Z分別表示白、黑、黃、花色的公牛數(shù), w、x、y、z分別表示這白、黑、黃、花色的母牛數(shù)。
要求有
,
,
,
,
,
,
,
為一個(gè)正方形(數(shù)),
為一個(gè)三角形(數(shù))(即形如 的數(shù),m為正整數(shù))。
求各種顏色牛的數(shù)目。
倒數(shù)第二個(gè)條件中的正方形數(shù)有兩種解釋:
一種是 ,因?yàn)橐獢D成一個(gè)正方形,還需要考慮身長(zhǎng)與體寬的比,故右端不是任意兩個(gè)正整數(shù)之積mn而是 (k是常數(shù)),稱為“較簡(jiǎn)問(wèn)題”。
另一種為 (完全平方數(shù)),即長(zhǎng)與寬上牛的數(shù)目相等,稱為“完全問(wèn)題”2。
問(wèn)題的解決“較簡(jiǎn)問(wèn)題”已由武爾姆解決?!巴耆珕?wèn)題”在1880年為阿姆托爾(Amthor)所解決。
即使較簡(jiǎn)問(wèn)題,牛的總數(shù)也已達(dá)到頭之多!
而完全需要求解二元二次方程 。
最小解牛的總數(shù)是,位數(shù)超過(guò)20萬(wàn)!當(dāng)時(shí)阿基米德未必解得出來(lái)。
而即使沒(méi)有最后兩個(gè)條件,群牛問(wèn)題的最小正數(shù)解也達(dá)50'389'082,故它的敘述自然與實(shí)際不符——西西里島再大也裝不下這么多牛的。但歷史上對(duì)這個(gè)問(wèn)題的研究豐富了初等數(shù)論的內(nèi)容3。
本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:
孫和軍 - 副教授 - 南京理工大學(xué)