[科普中國(guó)]-梯形法則

基本介紹

一階牛頓-柯特斯閉型積分公式稱為梯形法則(trapezoidal rule)，下面先介紹牛頓-柯特斯公式。

牛頓-柯特斯公式牛頓-柯特斯公式(Newton-Cotes formulas)是一種常用的數(shù)值積分公式。它的基本策略是用另一個(gè)易于積分的近似函數(shù)替換被積函數(shù)或表格型數(shù)據(jù)，即

其中， 是具有如下形式的多項(xiàng)式

n為多項(xiàng)式的系數(shù)。例如，圖1(a)用一次多項(xiàng)式(即直線)作為近似函數(shù)；圖1(b)用拋物線作為近似函數(shù)。 1

也可以將整個(gè)積分區(qū)間分成若干個(gè)等距的子區(qū)間，每個(gè)子區(qū)間上使用分段多項(xiàng)式來(lái)逼近函數(shù)或等距間隔的數(shù)據(jù)。例如，圖2 使用三個(gè)直線段與坐標(biāo)軸所圍成的面積來(lái)逼近積分。還可以使用更高階的多項(xiàng)式去計(jì)算積分。

牛頓-柯特斯公式分為閉型(closed forms)和開(kāi)型(open forms)兩類。在積分過(guò)程中，如果積分區(qū)間兩端的數(shù)據(jù)點(diǎn)是已知的，則稱為閉型積分，如圖3(a)所示。反之，若積分區(qū)間超出了數(shù)據(jù)范圍，則稱為開(kāi)型積分，如圖3(b)所示。開(kāi)型公式一般不用于定積分，但可用于計(jì)算廣義積分和常微分方程的求解。這里主要介紹閉型積分公式。1

梯形法則介紹一階牛頓-柯特斯閉型積分公式稱為梯形法則(trapezoidal rule)，即在式(1)中使用一次多項(xiàng)式

我們知道，直線可以表示為

用這條直線下的面積作為積分 的一個(gè)估計(jì)值：

積分的結(jié)果為

此公式稱為梯形法則。1

如圖4所示，從幾何上看，梯形法則相當(dāng)于用連接 和 的直線與坐標(biāo)軸所圍梯形的面積來(lái)逼近積分?；仡檸缀蔚闹R(shí)知，梯形的面積等于高乘以上底和下底的算術(shù)平均值(圖5(a))。這個(gè)概念在此依然是成立的，只是梯形的方位改變了(圖5(b))。因此，積分公式可近似地表示為： 寬 平均高度，或者 平均高度。

其中，對(duì)于梯形法則，平均高度等于被積函數(shù)在積分區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)處函數(shù)值的算術(shù)平均值，即 。

所有的牛頓-柯特斯閉型積分公式都可以寫成式( 平均高度)的一般形式。事實(shí)上，它們的不同之處僅僅在于對(duì)平均高度的計(jì)算。1

梯形法則的誤差很明顯，在使用直線段下的積分逼近曲線積分的過(guò)程中，不可避免地會(huì)引入誤差(圖6)。對(duì)于單應(yīng)用型梯形法則，對(duì)于單應(yīng)用型梯形法則，近似局部截?cái)嗾`差為

其中，介于a，b之間。由上式可以看出，對(duì)于所有線性函數(shù)，梯形法則精確成立。但對(duì)于具有二階或更高階導(dǎo)數(shù)(即，有曲率)的函數(shù)，誤差總是存在的。1