[科普中國(guó)]-拋物型偏微分方程

簡(jiǎn)稱拋物型方程，一類重要的偏微分方程。熱傳導(dǎo)方程是最簡(jiǎn)單的一種拋物型方程。 熱傳導(dǎo)方程研究熱傳導(dǎo)過(guò)程的一個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)模型。根據(jù)熱量守恒定律和傅里葉熱傳導(dǎo)實(shí)驗(yàn)定律導(dǎo)致熱傳導(dǎo)方程。

定義拋物型偏微分方程組簡(jiǎn)稱拋物型方程組 (system of parabolic equations,parabolic system)。對(duì)于拋物型方程組，一般來(lái)說(shuō)，最大值原理和比較原理并不成立。

二階拋物線方程組先定義二階拋物線方程組，僅以散度型的二階線性方程組為例。記 u=（u1,...,uk），

設(shè) Q 是 中的一個(gè)集合，并且對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)組（i，j）， ，Aij (x,t) 是定義在 Q 上的 矩陣?？紤]下面的二階線性偏微分方程組：

(1)

如果對(duì)任意的 和任意的 矩陣 的譜都位于右半平面，即譜的實(shí)部大于零，則稱方程組（1）在 Q 上是二階線性拋物型方程組。

高階拋物型方程組高階拋物型方程組的定義比較復(fù)雜，下面僅介紹高階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)不耦合的方程組。

假設(shè)對(duì)于 i=1,...,k，關(guān)于 ui 的偏微分方程

是 2mi 階拋物型方程，其中， 是整數(shù)。這時(shí)，稱偏微分方程組

是拋物型方程組，其中

對(duì)于一個(gè)拋物型方程組，如果每個(gè)方程式中耦合最多是未知函數(shù)的耦合，而沒(méi)有未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的耦合，就稱這樣的拋物型方程組為弱耦合，否則稱為強(qiáng)耦合。

例如，方程組

是一個(gè)耦合拋物型方程組，這里 d1,d2>0。下面的方程組

是一個(gè)強(qiáng)耦合拋物型方程組，其中a1,a2,b1,b2中至少有一個(gè)不為零，這里 d1,d2> 0。1

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財(cái)經(jīng)大學(xué)