[科普中國(guó)]-拉普拉斯定律

拉普拉斯（Laplace)定律 P=2T/r 。 P 代表肺泡回縮力，T代表表面張力，r代表肺泡半徑。肺回縮力與表面張力成正比，與肺泡的半徑成反比。

拉普拉斯（Laplace)定律 P=2T/r 。 P 代表肺泡回縮力，T代表表面張力，r代表肺泡半徑。肺回縮力與表面張力成正比，與肺泡的半徑成反比。

Ⅱ型肺泡上皮細(xì)胞合成和釋放肺泡表面活性物質(zhì)（alveolar surfactant），然后分布于肺泡的內(nèi)襯層的液膜，能隨著肺泡的張縮而改變其分布濃度，用來(lái)減少肺泡表面張力。表面張力增加，大肺泡容易破裂小肺泡容易萎縮，不利于肺的穩(wěn)定。

概述拉普拉斯定律，是工程數(shù)學(xué)中常用的一種積分定律。它是為簡(jiǎn)化計(jì)算而建立的實(shí)變量函數(shù)和復(fù)變量函數(shù)間的一種函數(shù)變換。對(duì)一個(gè)實(shí)變量函數(shù)作拉普拉斯變換，并在復(fù)數(shù)域中作各種運(yùn)算，再將運(yùn)算結(jié)果作拉普拉斯反變換來(lái)求得實(shí)數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果，往往比直接在實(shí)數(shù)域中求出同樣的結(jié)果在計(jì)算上容易得多。拉普拉斯變換的這種運(yùn)算步驟對(duì)于求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數(shù)方程來(lái)處理，從而使計(jì)算簡(jiǎn)化。在經(jīng)典控制理論中，對(duì)控制系統(tǒng)的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎(chǔ)上的。

定理拉氏變換在大部分的應(yīng)用中都是雙射的，最常見(jiàn)的{\displaystyle f(t)}和{\displaystyle F(s)}組合常印制成表，方便查閱。拉普拉斯變換得名自法國(guó)天文學(xué)家暨數(shù)學(xué)家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon marquis de Laplace），他在概率論的研究中首先引入了拉氏變換。

拉氏變換和傅里葉變換有關(guān)，不過(guò)傅里葉變換將一個(gè)函數(shù)或是信號(hào)表示為許多弦波的疊加，而拉氏變換則是將一個(gè)函數(shù)表示為許多矩的疊加。拉氏變換常用來(lái)求解微分方程及積分方程。在物理及工程上常用來(lái)分析線性非時(shí)變系統(tǒng)，可用來(lái)分析電子電路、諧振子、光學(xué)儀器及機(jī)械設(shè)備。在這些分析中，拉氏變換可以作時(shí)域和頻域之間的轉(zhuǎn)換，在時(shí)域中輸入和輸出都是時(shí)間的函數(shù)，在頻域中輸入和輸出則是復(fù)變角頻率的函數(shù)，單位是弧度每秒。

對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)單的系統(tǒng)，拉氏變換提供另一種系統(tǒng)的描述方程，可以簡(jiǎn)化分析系統(tǒng)行為的時(shí)間。像時(shí)域下的線性非時(shí)變系統(tǒng)，在頻域下會(huì)轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程，在時(shí)域下的卷積會(huì)變成頻域下的乘法。

意義與作用為簡(jiǎn)化計(jì)算而建立的實(shí)變量函數(shù)和復(fù)變量函數(shù)間的一種函數(shù)變換。對(duì)一個(gè)實(shí)變量函數(shù)作拉普拉斯變換，并在復(fù)數(shù)域中作各種運(yùn)算，再將運(yùn)算結(jié)果作拉普拉斯反變換來(lái)求得實(shí)數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果，往往比直接在實(shí)數(shù)域中求出同樣的結(jié)果在計(jì)算上容易得多。拉普拉斯變換的這種運(yùn)算步驟對(duì)于求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數(shù)方程來(lái)處理，從而使計(jì)算簡(jiǎn)化。在經(jīng)典控制理論中，對(duì)控制系統(tǒng)的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎(chǔ)上的。引入拉普拉斯變換的一個(gè)主要優(yōu)點(diǎn)，是可采用傳遞函數(shù)代替微分方程來(lái)描述系統(tǒng)的特性。這就為采用直觀和簡(jiǎn)便的圖解方法來(lái)確定控制系統(tǒng)的整個(gè)特性（見(jiàn)信號(hào)流程圖、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖）、分析控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程（見(jiàn)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、根軌跡法），以及綜合控制系統(tǒng)的校正裝置（見(jiàn)控制系統(tǒng)校正方法）提供了可能性。

用 f(t)表示實(shí)變量t的一個(gè)函數(shù)，F(xiàn)(s)表示它的拉普拉斯變換，它是復(fù)變量s=σ+j&owega；的一個(gè)函數(shù)，其中σ和&owega; 均為實(shí)變數(shù)，j2=-1。F(s)和f(t)間的關(guān)系由下面定義的積分所確定：

如果對(duì)于實(shí)部σ >σc的所有s值上述積分均存在，而對(duì)σ ≤σc時(shí)積分不存在，便稱 σc為f(t)的收斂系數(shù)。對(duì)給定的實(shí)變量函數(shù) f(t)，只有當(dāng)σc為有限值時(shí)，其拉普拉斯變換F(s)才存在。習(xí)慣上，常稱F(s)為f(t)的象函數(shù)，記為F(s)=L[f(t)]；稱f(t)為F(s)的原函數(shù)，記為f(t)=L-1[F(s)]。

函數(shù)變換對(duì)和運(yùn)算變換性質(zhì) 利用定義積分，很容易建立起原函數(shù) f(t)和象函數(shù) F(s)間的變換對(duì)，以及f(t)在實(shí)數(shù)域內(nèi)的運(yùn)算與F(s)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的運(yùn)算間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。表1和表2分別列出了最常用的一些函數(shù)變換對(duì)和運(yùn)算變換性質(zhì)。

拉普拉斯變化的存在性：為使F(s)存在，積分式必須收斂。有如下定理：

如因果函數(shù)f(t)滿足：（1）在有限區(qū)間可積，（2）存在σ0使|f(t)|e-σt在t→∞時(shí)的極限為0，則對(duì)于所有σ大于σ0，拉普拉斯積分式絕對(duì)且一致收斂。

編

發(fā)展歷史編輯

法國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家拉普拉斯(1749─1827年)，主要研究天體力學(xué)和物理學(xué)。他認(rèn)為數(shù)學(xué)只是一種解決問(wèn)題的工具，但在運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)創(chuàng)造和發(fā)展了許多新的數(shù)學(xué)方法。1812年拉普拉斯在《概率的分析理論》中總結(jié)了當(dāng)時(shí)整個(gè)概率論的研究，論述了概率在選舉、審判調(diào)查、氣象等方面的應(yīng)用，并導(dǎo)入“拉普拉斯變換”。拉普拉斯變換導(dǎo)致了后來(lái)海維塞德發(fā)現(xiàn)運(yùn)算微積分在電工理論中的應(yīng)用1。

應(yīng)用領(lǐng)域定理編輯

有些情形下一個(gè)實(shí)變量函數(shù)在實(shí)數(shù)域中進(jìn)行一些運(yùn)算并不容易，但若將實(shí)變量函數(shù)作拉普拉斯變換，并在復(fù)數(shù)域中作各種運(yùn)算，再將運(yùn)算結(jié)果作拉普拉斯反變換來(lái)求得實(shí)數(shù)域中的相應(yīng)結(jié)果，

在經(jīng)典控制理論中，對(duì)控制系統(tǒng)的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎(chǔ)上的。引入拉普拉斯變換的一個(gè)主要優(yōu)點(diǎn)，是可采用傳遞函數(shù)代替常系數(shù)微分方程來(lái)描述系統(tǒng)的特性。這就為采用直觀和簡(jiǎn)便的圖解方法來(lái)確定控制系統(tǒng)的整個(gè)特性、分析控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，以及提供控制系統(tǒng)調(diào)整的可能性。

應(yīng)用拉普拉斯變換解常變量齊次微分方程，可以將微分方程化為代數(shù)方程，使問(wèn)題得以解決。在工程學(xué)上，拉普拉斯變換的重大意義在于：將一個(gè)信號(hào)從時(shí)域上，轉(zhuǎn)換為復(fù)頻域（s域）上來(lái)表示；在線性系統(tǒng)，控制自動(dòng)化上都有廣泛的應(yīng)用。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王沛 - 副教授、副研究員 - 中國(guó)科學(xué)院工程熱物理研究所