[科普中國]-拉格朗日乘數(shù)法

在數(shù)學(xué)最優(yōu)問題中，拉格朗日乘數(shù)法（以數(shù)學(xué)家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一種尋找變量受一個或多個條件所限制的多元函數(shù)的極值的方法。這種方法將一個有n 個變量與k 個約束條件的最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為一個有n + k個變量的方程組的極值問題，其變量不受任何約束。這種方法引入了一種新的標(biāo)量未知數(shù)，即拉格朗日乘數(shù)：約束方程的梯度（gradient）的線性組合里每個向量的系數(shù)。1此方法的證明牽涉到偏微分，全微分或鏈法，從而找到能讓設(shè)出的隱函數(shù)的微分為零的未知數(shù)的值。

基本信息定義介紹設(shè)給定二元函數(shù)z=?(x,y)和附加條件φ(x,y)=0，為尋找z=?(x,y)在附加條件下的極值點，先做拉格朗日函數(shù) ，其中λ為參數(shù)。

令F(x,y,λ)對x和y和λ的一階偏導(dǎo)數(shù)等于零，即

F'x=?'x(x,y)+λφ'x(x,y)=01

F'y=?'y(x,y)+λφ'y(x,y)=0

F'λ=φ(x,y)=0

由上述方程組解出x,y及λ，如此求得的(x,y)，就是函數(shù)z=?(x,y)在附加條件φ(x,y)=0下的可能極值點。

若這樣的點只有一個，由實際問題可直接確定此即所求的點。

幾何意義設(shè)給定目標(biāo)函數(shù)為 ，約束條件為 。1

如圖所示，曲線 為約束條件 ， 為目標(biāo)函數(shù)的等值線族。

在 、 偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)的條件下，目標(biāo)函數(shù) 在約束條件 下的可能極值點 ，從幾何上看，必是目標(biāo)函數(shù)等值線曲線族中與約束條件曲線能相切的那個切點。

因為兩曲線在切點處必有公法線，所以目標(biāo)函數(shù)等值線在點 處法向量 與約束條件曲線在點 處法向量 平行，即

也就是說，存在實數(shù) ，使下式成立

需要注意的是，目標(biāo)函數(shù)等值線與約束條件曲線的切點未必就是目標(biāo)函數(shù) 在約束條件 下的極值點（如圖中的 點）。

證明以三元函數(shù)為例，即求目標(biāo)函數(shù)：u=f(x,y,z) 在限制條件：①G（x,y,z）=0 ② H（x,y,z）=0下的極值。

假定f,G,H具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且Jacobi矩陣：1

注釋：這里表示的是2x3的矩陣，Hx和Gx分別表示H,G對x求偏導(dǎo)。

在滿足約束條件的點處是行滿秩，即Rank(J)=2。

先考慮取到條件極值的必要條件，上述約束條件實際是空間曲線的方程。設(shè)曲線上一點( , , ) 為條件極值點，由于在該點處rank(J)=0，不妨假設(shè)在( , , )點處 ，則由隱函數(shù)存在定理，在點（ , , )附近由該方程可以確定 y=y(x),z=z(x)，其中 =y( ), =z( )，它是這個曲線方程的參數(shù)形式。

將它們帶入目標(biāo)函數(shù)，原問題就轉(zhuǎn)化為函數(shù)：

的無條件極值問題， 是函數(shù) （x）的極值點，因此有 '（x）=0。

也就是

這說明向量2gradf( , , )與向量 正交，即與曲線在點( , , )的切向量正交，因此這點的梯度grad f(,,)可以看做是曲線在點 ( , , ) 處的法平面上的向量。在根據(jù)平面上任意一個向量都可以有一對不共線的向量線性表示，又由于這個法平面是由grad G(x0,y0,z0)與gradH( , , )張成的，因此，存在常數(shù)a,b使得 gradf( , , )=a*grad G(x0,y0,z0)+b*gradH(x0,y0,z0)。

這就是點(,,)為條件極值點的必要條件。

將上述方程寫成分量的形式，就可以得到。

求極值求函數(shù)f(x,y,z)在條件φ(x,y,z)=0下的極值。1

方法（步驟）是：

1.做拉格朗日函數(shù)L=f(x,y,z)+λφ(x,y,z),λ稱拉格朗日乘數(shù)；

2.求L分別對x,y,z,λ求偏導(dǎo)，得方程組,求出駐點P(x,y,z)；

如果這個實際問題的最大或最小值存在，一般說來駐點只有一個，于是最值可求。

條件極值問題也可以化為無條件極值求解，但有些條件關(guān)系比較復(fù)雜，代換和運算很繁，而相對來說“拉格朗日乘數(shù)法”不需代換，運算簡單一點，這就是優(yōu)勢。

條件φ(x,y,z)一定是個等式，不妨設(shè)為φ(x,y,z)=m

則再建一個函數(shù)g(x,y,z)=φ(x,y,z)-m

g(x,y,z)=0以g(x,y,z)代替φ(x,y,z)

在許多極值問題中，函數(shù)的自變量往往要受到一些條件的限制，比如，要設(shè)計一個容積為 V的長方體形開口水箱，確定長、寬和高，使水箱的表面積最小.。設(shè)水箱的長、寬、高分別為 x,y,z， 則水箱容積V=xyz。

焊制水箱用去的鋼板面積為 S=2xz+2yz+xy

這實際上是求函數(shù) S 在 V 限制下的最小值問題。

這類附有條件限制的極值問題稱為條件極值問題，其一般形式是在條件限制下，求函數(shù)F的極值。

條件極值與無條件極值的區(qū)別

條件極值是限制在一個子流形上的極值，條件極值存在時無條件極值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。

例如，求馬鞍面 z=x^2-y^2+1 被平面XOZ 平面所截的曲線上的最低點。

從其幾何圖形可以看出整個馬鞍面沒有極值點，但限制在馬鞍面被平面 平面所截的曲線上，有極小值 1，這個極小值就稱為條件極值。

必要條件

設(shè)在約束條件之下求函數(shù)的極值。滿足約束條件的點是函數(shù)的條件極值點，且在該點函數(shù)滿足隱函數(shù)存在條件時， 由方程定隱函數(shù) ，于是點就是一元函數(shù)的極限點。

Lagrange乘數(shù)法1

由上述討論可見，函數(shù)在約束條件之下的條件極值點應(yīng)是方程組的解。

引進所謂Lagrange函數(shù)(稱其中的實數(shù) 為Lagrange乘數(shù) )，則上述方程組即為方程組。

因此，解決條件極值通常有三種方法：

1）直接的方法是從方程組（1）中解出 并將其表示為 代入 消去 成為變量為 的函數(shù)將問題化為函數(shù)無條件極值問題；

2）在一般情形下，要從方程組（1）中解出 來是困難的，甚至是不可能的，因此上面求解方法往往是行不通的。通常采用的拉格朗日乘數(shù)法，是免去解方程組（1）的困難，將求 的條件極值問題化為求下面拉格朗日函數(shù)的穩(wěn)定點問題，然后根據(jù)所討論的實際問題的特性判斷出哪些穩(wěn)定點是所求的極值的。

3）在給定的條件下，若是可以將未知數(shù)代換或是解出，則可以將條件極值轉(zhuǎn)化為無條件極值，從而避免引入拉格朗日乘數(shù)的麻煩。

注意：▽φ(x,y,z)=0 且 φ(x,y,z)=0的點不會被該方法計算到，因此，若求最大值或最小值時，應(yīng)把這些點列出來并單獨計算。

解題思路我們知道，對于“限制條件為等式，x值均為正值"的最大化問題， 滿足最大化的x組合一定滿足：F(i)(x*)-Σλj Gj(i)(x*)=0, i=1,2,3,.....n, j=1,2,...m. 從這里我們看到，如果限制條件 Gj(x*)=cj 中的 cj 變化 dcj ，如果全部作用于x(i)，那么引起的dx(i)=dcj/Gj(i)(x*)，從而導(dǎo)致目標(biāo)方程取值變化dF=F(i)(x*)dcj/Gj(i)(x*)=λj*dcj 。

那么我們得到：λj=dF/dcj。也就是說，拉格朗日乘數(shù)其實代表的是cj對最大化目標(biāo)函數(shù)F的邊際影響。雖然這里考慮的是僅僅cj發(fā)生變化，我們可以對此加以推廣，比如整體的c向量發(fā)生變化到 c+dc,dc是一個m-維向量，那么F的總變化量dF就是Σλj dCj, j=1,2,...m。

舉一個具體的實例：假如一個計劃經(jīng)濟體系下，政府實施如前所述的最大化問題(在有限資源如勞動力、自然礦產(chǎn)，人力資本等的限制下使社會整體效用/福利最大化)，并已經(jīng)找到了滿足最大化條件的x組合。假設(shè)萬能的上帝允許該國的勞動力資源可以額外增加dc1，那么根據(jù)拉格朗日乘數(shù)的經(jīng)濟學(xué)含義我們知道給整個社會帶來的福利將是λ1*dc1。但是上帝說：要獲得這個額外的勞動力資源，你們必須以一定數(shù)量的其他資源比如土地來跟我交換，以示公平。那么我們?nèi)祟愓撃枚嗌偻恋貋砀系蹞Q呢？指定該土地數(shù)量為dx2，那么由此減少的社會福利是λ2*dc2。如果λ1*dc1>λ2*dc2，上帝不會答應(yīng),如果反之我們不會答應(yīng)。所以必然有λ1*dc1=λ2*dc2，也就是dc2=(λ1/λ2)dc1。學(xué)過初級微觀的朋友馬上可以看出,這跟微觀經(jīng)濟學(xué)中相對價格的概念十分相似。相對價格反映物與物之間的交換價值，即人們愿意怎么樣進行物與物的交換。不同的是，這里的價格不是以錢來計算，而是以社會福利來衡量；這里的相對價格λ1/λ2中的λ1和λ2是基于解決社會福利最大化問題而計算出來的,不同于市場中的價格P1,P2。由于這個原因,我們把λ叫做"影子價格"(shadow price)。如果我們偶爾發(fā)現(xiàn)某個市場經(jīng)濟下市場價格之比恰恰等于影子價格之比,我們稱這個市場被一雙看不見的手所指引，因為該市場居然可以自發(fā)調(diào)整解決社會福利的最大化問題。

再來考慮"限制條件為非等式"的情況。 我們知道市場價格通常都不可能為零或負(fù)數(shù)，但是影子價格確不同，它描述的是限制方程右方cj對整體目標(biāo)函數(shù)值的邊際影響。在限制條件Gj為非等式的情況下，增加額外的cj不一定就意味著目標(biāo)函數(shù)值的增加。比如：限制條件為"社會某消費產(chǎn)品不得高于cj"，目標(biāo)函數(shù)為投資量，如果cj提高，那么消費該產(chǎn)品增加，導(dǎo)致投資量減少，目標(biāo)函數(shù)值減少，這時影子價格就是一個負(fù)值。再比如：目標(biāo)函數(shù)為產(chǎn)量，限制條件為"同時參加勞動的工人數(shù)量不得高于cj"。如果cj增加，那么同時勞動的工人數(shù)量增加，可能導(dǎo)致勞動力邊際產(chǎn)量遞減效應(yīng)的發(fā)生，這時總產(chǎn)量可能不增反降。這時我們情愿不增加工人。換句話說，我們情愿把一些資源放在一旁不予利用(free dsiposal).這時候再增加這些勞動力資源，對總產(chǎn)量已經(jīng)沒有作用了，所以影子價格為零。 事實上，根據(jù)庫恩-塔克定理，這一點是很明顯的。庫恩-塔克定理說，滿足最大化問題解的x一定使得下面的條件滿足：

Lλ(x, λ)>=0, λ>=0, 互補松散

就是說，如果Lλ(x, λ)=c-G(x*)>0，那么說明有資源余缺閑置，這時λ=0。如果Lλ(x, λ)=c-G(x*)=0，那么說明資源全部被使用,其邊際效用λ>0。

注意：這里我們通過對拉格朗日乘數(shù)的解釋考查了cj的微小變動dcj對目標(biāo)函數(shù)最大值的變化的影響，這就是開篇所說的比較靜態(tài)研究—研究參數(shù)θ的變化對最大值的影響。所以我們在進行比較靜態(tài)研究的時候必須把目標(biāo)函數(shù)看成是同時關(guān)于x和參數(shù)θ的函數(shù)，基于這一點，我們從另一個角度來看λ的確定，考察參數(shù)cj。如果cj變化一點點到cj+dcj，那么相應(yīng)地最佳組合x*變動到x*+dx*，最大目標(biāo)值也由F(x*)變化為F(x*+dx*)。由泰勒一階展開我們得到：dF=F(x*+dx*)-F(x*)=Fx(x*)dx*+Fcj(x*)dcj。根據(jù)拉格朗日乘數(shù)法一階必要條件，我們有Fx(x*)=λj Gx(x*)，所以dF=λj Gx(x*)dx*+Fcj(x*)dcj=λj Gx(x*)dx*，我們又知道根據(jù)限制條件方程G(x*)=cj，在cj變化到cj+dcj的過程中，Gx(x*)dx*=dcj，所以dF=λj dcj。同樣推導(dǎo)出了λ的定義式。更一般地，如果F和G都是關(guān)于x和參數(shù)θ的函數(shù)，如果參數(shù)θ變動到θ+dθ,x隨之變動到x+dx，那么：

dF=F(x+dx,θ+dθ)-F(x,θ)=Fx(x,θ)dx+Fθ(x,θ)dθ=λGx(x,θ)dx+Fθ(x,θ)dθ...(1)

由于G是關(guān)于x和θ的函數(shù)G(x,θ)=c，所以在θ變化的過程中始終有

Gx(x,θ)dx+Gθ(x,θ)dθ=dc...................................................(2)

代入(1)式，我們得到：

dF=λdc -λGθ(x,θ)dθ+Fθ(x,θ)dθ=Lθ(x,λ,θ)dθ+λdc....................(3)

這就是最一般化的比較靜態(tài)公式。我們在研究影子價格λ的時候，沒有考慮任何參數(shù)θ的變化，所以公式(3)的第一項為零，這樣dF=λdc。反之，我們在某些情況下不考慮c的變化，而側(cè)重于參數(shù)θ的變化，這時公式(3)變化為： dF=Lθ(x,λ,θ)dθ。如果只有函數(shù)F跟θ有關(guān),而G跟θ無關(guān)，那么公式(3)簡化為dF=Fθ(x,θ)dθ。

注意：

1、在參數(shù)θ變化的過程中，θ-->θ+dθ,x-->x+dx，但是對目標(biāo)函數(shù)值的影響卻只要考慮拉格朗日函數(shù)對θ的偏微分，而且該偏微分在原來最優(yōu)點x處取值，這是我們用泰勒一階展開應(yīng)該得到的結(jié)論。

2、這里的x雖然沒有標(biāo)上星號*，但不言自明的是它們都應(yīng)該是最優(yōu)組合，而且它們也都是關(guān)于參數(shù)θ的函數(shù)x(θ)。如果我們把最大化了的F定義成一個新函數(shù)最優(yōu)目標(biāo)方程V(θ)，那么由剛剛推導(dǎo)出來的公式(3)dF=Fθ(x,θ)dθ 我們有 Vθ(θ)=Fθ(x(θ),θ)。再次提醒注意，這里的x(θ)是滿足最大化條件的最優(yōu)點。

如果我們再定義一個普通目標(biāo)函數(shù)F(x',θ)，但是這里的x'是任意值，不一定是最優(yōu)點x(θ)。假設(shè)對應(yīng)這個x'的能使 F 函數(shù)值最大的θ是θ'，那么V(θ)在θ'點處的斜率為：Vθ(θ')=Fθ(x(θ'),θ')。但我們知道,x(θ')=x'，所以Fθ(x(θ'),θ')=Fθ(x',θ')。而后者就是函數(shù)F(x',θ)在點θ'的斜率，這就是說函數(shù)V(θ)和函數(shù)F(x',θ)在點(x',θ')處的斜率相等。這個結(jié)論對于x'取任意一個固定值都是成立的，所以從幾何圖形上來看：最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)V(θ)把普通目標(biāo)函數(shù)曲線族緊緊包圍。因此dF=Fθ(x,θ)dθ 往往又稱為"包絡(luò)定理"(envelope theorem)。微觀經(jīng)濟學(xué)里面的短期成本和長期成本之間的關(guān)系就是符合信封定理的，因為這里的成本都是滿足了成本最小化之后的成本。

均衡原則

微觀經(jīng)濟學(xué)研究消費者行為時，所要闡述的核心問題是消費者均衡的原則。所謂消費者均衡指的是一個有理性的消費者所采取的均衡購買行為。進一步說，它是指保證消費者實現(xiàn)效用最大化的均衡購買行為。

但人的需要或欲望是無限的，而滿足需要的手段是有限的。所以微觀經(jīng)濟學(xué)所說的效用最大化只能是一種有限制的效用最大化。而這種限制的因素就是各種商品的價格和消費者的貨幣收入水平。

首先，我們先引入一些名詞解釋：

總效用(TU)：消費者在一定時間內(nèi)消費一定數(shù)量某種商品或商品組合所得到的總的滿足。

邊際效用(MU)：消費者在所有其它商品的消費水平保持不變時，增加消費一單位某種商品所帶來的滿足程度的增加，也就是說指增加一單位某種商品所引起的總效用的增加。

商品數(shù)量(Q)，商品價格(P)， 收入(I)

邊際效用的公式表達為：MU=?TU/?Q

那么如何才能實現(xiàn)制約條件下的效用最大化的商品組合呢？

就是當(dāng)消費者把全部收入用于購買各種商品時，他從所購買的每一種商品所得到的邊際效用與其價格的比例都相同，這樣的商品組合就是最佳的或均衡的商品組合。

假設(shè)當(dāng)消費者選擇兩種商品x,y時，消費者均衡原則的公式表達為:

MUx/Px = MUy/Py("/"為分?jǐn)?shù)線）

制約條件的公式表達式為：I=Px?Qx+Py?Qy。那么這一結(jié)論是如何推導(dǎo)出來的呢？解決這一問題最直接的方法就是拉格朗日乘數(shù)法。

上面說到：在利用偏導(dǎo)數(shù)求多元函數(shù)的極值時，若函數(shù)的自變量有附加條件，則稱之為條件極值。這時，可用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。具體方法如下：

設(shè)給定二元函數(shù)z=?(x,y)和附加條件φ(x,y)=0，為尋找z=?(x,y)在附加條件下的極值點，先做拉格朗日函數(shù)L(x,y)=?(x,y)+λφ(x,y)，其中λ為參數(shù)。求L(x,y)對x和y的一階偏導(dǎo)數(shù)，令它們等于零，并與附加條件聯(lián)立，即

L'x(x,y)=?'x(x,y)+λφ'x(x,y)=0

L'y(x,y)=?'y(x,y)+λφ'y(x,y)=0

φ(x,y)=0

套用到微觀經(jīng)濟學(xué)里面：設(shè)效用函數(shù)U(Qx,Qy),為使它在制約條件下取得極值，首先建立拉格朗日函數(shù)：L=U(Qx,Qy)+λ( I-Px?Qx-Py?Qy)，λ為參數(shù)。求L(x,y)對x和y的一階偏導(dǎo)數(shù)，令它們等于零，并與附加條件連立。

即

?L/?Qx=?U/?Qx-λPx=0 （1）

?L/?Qy=?U/?Qy-λPy=0 （2）

I-Px?Qx-Py?Qy=0 （3）

將方程（1）除以方程（2），得：

?U/?Qx =Px 即 MUx = MUy

?U/?Qy =Py

所以，消費者要實現(xiàn)兩種商品的效用最大化，邊際效用的比率應(yīng)該等于價格比率。3

以上是關(guān)于x和y兩種商品所說的，是否同樣適用于多種商品呢？答案是肯定的。如果消費者在n種商品中做出選擇，則消費者均衡的原則可表達為：

MU1=MU2 =MU3 = …=MUn

P1= P2= P3=...= Pn

這一結(jié)論同樣可用拉格朗日乘數(shù)法證明。

拉格朗日乘數(shù)法可推廣到求n元函數(shù)?(x1,x2,…,xn)在m個附加條件φ(x1,x2,…,xn)下的條件極值。

方法如下：

（1）做拉格朗日函數(shù)L(x1,x2,…,xn)=?(x1,x2,…,xn)+ ∑λiφi(x1,…x2)；

（2）求L(x1,…xn)關(guān)于x1,…xn的偏導(dǎo)數(shù)，令它們等于零，并與附加條件聯(lián)立，即

L'xi==?'xi+ ∑λiφ'i=0 ,i=1,2,…,n

φk(x1,x2,…,xn)=0 ,k=1,2,…,n

求解此方程組，可得到極值點。

回到我們的問題中，設(shè)效用函數(shù)U(Qx1,Qx2,…Qxn)，為使它在制約條件下取得極值,首先建立拉格朗日函數(shù)：

L=U(Qx1,Qx2,…Qxn )+λ(I-Px1?Qx1-P2?Qy2-…-Pxn?Qxn)，λ為參數(shù)。求L(x1,x2,…xn)對x1,…,xn的一階偏導(dǎo)數(shù)，令它們等于零，并與附加條件聯(lián)立。

即

?L/?Qx1=?U/?Qx1-λPx1=0 （1）

?L/?Qx2=?U/?Qx2-λPx2=0 （2）

…… …

?L/?Qxn=?U/?Qxn-λPxn=0 （n）

I-Px1?Qx1-P2?Qy2-…-Pxn?Qxn

將方程（1）到（n）相除，即得，

MUx1 = MUx2 =…=MUxn

Px1 =Px2 =...=Pn

所以，消費者要實現(xiàn)n種商品的效用最大化，邊際效用的比率應(yīng)該等于價格比率。

應(yīng)用舉例例題一拋物面被平面截成一個橢圓。 求該橢圓到坐標(biāo)原點的最長和最短距離。

以上面水箱設(shè)計為例，看一看拉格朗日乘數(shù)法求解條件極值的過程。

解： 這個問題的實質(zhì)是求函數(shù)在條件下的最小值問題， 應(yīng)用拉格朗日乘法，令

L='2*(x*z+y*z)+x*y+v*(x*y*z-V)'

dLdx=diff(L,'x')

dLdy=diff(L,'y')

dLdz=diff(L,'z')

dLdv=diff(L,'v')

dLdx =2*z+y+v*y*z

dLdy =2*z+x+v*x*z

dLdz =2*x+2*y+v*x*y

dLdv =x*y*z-V

令 L 的各偏導(dǎo)等零，解方程組求穩(wěn)定點。

s1='2*z+y+v*y*z';

s2='2*z+x+v*x*z';

s3='2*x+2*y+v*x*y';

s4='x*y*z-V';

[v,x0,y0,z0]=solve(s1,s2,s3,s4)

v =

[ -2*2^(2/3)/V^(1/3)]

[ -8*(-1/4*2^(1/3)*V^(1/3)+1/4*i*3^(1/2)*2^(1/3)*V^(1/3))^2/V]

[ -8*(-1/4*2^(1/3)*V^(1/3)-1/4*i*3^(1/2)*2^(1/3)*V^(1/3))^2/V]

x0 =[ 2^(1/3)*V^(1/3)]

y0 =[ 2^(1/3)*V^(1/3)]

z0 =[ 1/2*2^(1/3)*V^(1/3)]

這里顯然只有實數(shù)解才有意義，所以 L 的穩(wěn)定點只有下面一個。

又已知所求的問題確實存在最小值，從而解出的穩(wěn)定點就是最小值點，即水箱長寬與為高的2倍時用鋼板最省。

例題二再看一個條件極值求解問題。

拋物面被平面截成一個橢圓，求這個橢圓到坐標(biāo)原點的最長最短距離。

解 這個問題的實質(zhì)是求函數(shù)在條件下的最大、最小值問題，應(yīng)用拉格朗日乘法，令

L='x^2+y^2+z^2+v*(x^2+y^2-z)+h*(x+y+z-1)'

dLdx=diff(L,'x')

dLdy=diff(L,'y')

dLdz=diff(L,'z')

dLdv=diff(L,'v')

dLdh=diff(L,'h')

dLdx =2*x+2*v*x+h

dLdy =2*y+2*v*y+h

dLdz =2*z-v+h

dLdv =x^2+y^2-z

dLdh =x+y+z-1

s1='2*x+2*v*x+h'

s2='2*y+2*v*y+h'

s3='2*z-v+h'

s4='x^2+y^2-z'

s5='x+y+z-1'

[h,v,x0,y0,z0]=solve(s1,s2,s3,s4,s5)

x0,y0,z0

x0 =

[ 3/4-1/4*i*13^(1/2)]

[ 3/4+1/4*i*13^(1/2)]

[ -1/2+1/2*3^(1/2)]

[ -1/2-1/2*3^(1/2)]

y0 =

[ 3/4+1/4*i*13^(1/2)]

[ 3/4-1/4*i*13^(1/2)]

[ -1/2+1/2*3^(1/2)]

[ -1/2-1/2*3^(1/2)]

z0 = -1/2,-1/2, 2-3^(1/2),2+3^(1/2)

即穩(wěn)定點有兩個

因為函數(shù)在有界閉集 上連續(xù)，必有最大值和最小值，而求得的穩(wěn)定點又恰是兩個，所以它們一個是最大點，另一個是最小。

x1=-1/2+1/2*3^(1/2)

x2=-1/2-1/2*3^(1/2)

y1=-1/2+1/2*3^(1/2)

y2=-1/2-1/2*3^(1/2)

z1=2-3^(1/2)

z2=2+3^(1/2)

f1=(x1^2+y1^2+z1^2)^(1/2)

f2=(x2^2+y2^2+z2^2)^(1/2)

f1 = 0.5829 ; f2 = 4.2024

例題三求此方程的最大值：

同時未知數(shù)滿足：

因為只有一個未知數(shù)的限制條件，我們只需要用一個乘數(shù) 。

將所有 方程的偏微分設(shè)為零，得到一個方程組，最大值是以下方程組的解中的一個：

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

劉軍 - 副研究員 - 中國科學(xué)院工程熱物理研究所