[科普中國]-小數(shù)定律

小數(shù)定律(law of small numbers)又稱小數(shù)定理，是阿莫斯·特沃斯基（Amos Tversky）和丹尼爾·卡納曼Daniel Kahneman在其研究中對“賭徒謬誤”的總結(jié)。

介紹小數(shù)定律認(rèn)為人類行為本身并不總是理性的，在不確定性情況下，人的思維過程會系統(tǒng)性地偏離理性法則而走捷徑，人的思維定勢、表象思維、外界環(huán)境等因素，會使人出現(xiàn)系統(tǒng)性偏見，采取并不理性的行為。大多數(shù)人在判斷不確定事件發(fā)生的概率時，往往會違背概率理論中的大數(shù)定律，而不由自主地使用“小數(shù)定律”，即濫用“典型事件”，忘記“基本概率”。

小數(shù)定律是人有把從大樣本中得到的結(jié)論錯誤地移植到小樣本中的傾向。比如人們知道擲硬幣的概率是兩面各50% ，于是在連續(xù)擲出5個正面之后就傾向于判斷下一次出現(xiàn)反面的幾率較大。這一點(diǎn)已被大量的實(shí)驗(yàn)和證券市場上的錯誤預(yù)測所證實(shí)。1

內(nèi)容卡尼曼和特維爾斯基發(fā)現(xiàn)，不確定性下的推斷系統(tǒng)地偏離于傳統(tǒng)經(jīng)濟(jì)理論提出的理性類型。卡尼曼和特維爾斯基的早期工作基于這樣的基本觀點(diǎn)：總的來說，人們通常沒有能力對環(huán)境做出經(jīng)濟(jì)學(xué)的和概率推斷的總體嚴(yán)格分析。人們的推斷往往靠的是某種頓悟或經(jīng)驗(yàn)，所以經(jīng)常導(dǎo)致系統(tǒng)性偏差。

一類基本偏差是人總是傾向于運(yùn)用小數(shù)法則，認(rèn)為小樣本和大樣本的經(jīng)驗(yàn)均值具有相同的概率分布，其實(shí)這違反了概率理論中的大數(shù)原則。例如，在一個著名的實(shí)驗(yàn)中，參與人認(rèn)為某一給定時間在大醫(yī)院內(nèi)誕生的嬰兒有60%是男孩，則一家小醫(yī)院內(nèi)情況必定相同。通常，人們好像都認(rèn)識不到隨著樣本規(guī)模的擴(kuò)大，隨機(jī)變量的樣本均值的方差減小的有多快。

更準(zhǔn)確地說，根據(jù)統(tǒng)計學(xué)的大數(shù)法則，獨(dú)立觀察某隨機(jī)變量的一個大樣本，其均值的概率分布集中體現(xiàn)這一隨機(jī)變量的預(yù)期值，隨著樣本規(guī)模的變大，樣本均值的方差趨近于0。

但是，按照人類心理的小數(shù)法則，人們確信隨機(jī)變量期望值的分布也會反映在小樣本的樣本均值之中。這導(dǎo)致對短序列的獨(dú)立觀察值做了過度推論(overinference)。

小數(shù)法則的案例之一是，當(dāng)投資者觀察到一位投資經(jīng)理在過去兩年表現(xiàn)好于其他人，就總結(jié)說這位經(jīng)理水平要高一些，而這一結(jié)論的統(tǒng)計含義太弱。另一個相關(guān)的例子稱為“賭博者謬誤”：許多人都經(jīng)常預(yù)期一個隨機(jī)賭局的第二輪會得到與第一輪相反的結(jié)果，而實(shí)際上，每一輪在統(tǒng)計上都是獨(dú)立的。如果一項(xiàng)投硬幣游戲前若干輪出現(xiàn)太多的“頭像”，那么許多參與者確信下一輪便應(yīng)該是“文字”了。

小數(shù)法則還與相似性(representativeness)相關(guān)，這種相似性是形成推斷的重要因素。特維爾斯基和卡尼曼在一些精美的實(shí)驗(yàn)中表述了這種經(jīng)驗(yàn)推斷方程。參與人被要求以已知的描述為基礎(chǔ)將人進(jìn)行分類，如區(qū)分銷售人員或議員等。對于一個給定群體中隨機(jī)抽取的某個人，當(dāng)給他的描述是“對政治感興趣，樂于參與辯論，渴望出現(xiàn)在媒體上”時，許多參與人判斷說是議員。即使這個群體中，銷售員更具備這種特征。特維爾斯基和卡尼曼(1973)深入地考察了這種經(jīng)驗(yàn)推斷式的思考方式，在他們的實(shí)驗(yàn)中，一些參與者得到有關(guān)群體構(gòu)成的確切信息。一類設(shè)計中群體由30%的工程師和70%的律師組成，另一類設(shè)計中群體構(gòu)成比例相反。實(shí)驗(yàn)的結(jié)果是這種差異對參與者的推斷不會產(chǎn)生真正的影響。

經(jīng)驗(yàn)推斷也會令人們相信兩個事件的聯(lián)合概率高于其中的事件之一發(fā)生的概率，這與概率理論的基本定理相悖。例如，某實(shí)驗(yàn)中的參與者就認(rèn)為如果Bjorn Borg闖入溫布爾登決賽，則相對于輸?shù)舻谝槐P的結(jié)果，他輸?shù)舻谝槐P而贏得冠軍的結(jié)果更可能出現(xiàn)。

Shleifer(2000)的回顧行為金融理論的文章認(rèn)為，小數(shù)法則和相似性推斷可以解釋金融市場中的某些反?，F(xiàn)象。例如，對股價變動的過分敏感可能是投資者對短期利好信息的過度反應(yīng)的結(jié)果。

概率推斷中的另一種常見偏差是可利用性(availability)偏差，指人們通過不費(fèi)力地回想出的例子來進(jìn)行概率推斷，結(jié)果導(dǎo)致賦予那些易見的、容易記起的信息以過大的比重。比如，人們總是在親身獲知某人在一座城市中被謀殺時，高估這座城市的犯罪率。認(rèn)知心理學(xué)通常認(rèn)為，與不熟悉的信息相比，熟悉的信息更容易被憶起，也更讓人相信其真實(shí)性和相關(guān)性。熟悉和可得性于是成為真切和相關(guān)性的暗示。2

地位小數(shù)定律是關(guān)于 “無窮小隨機(jī)變量之和的極限分布，是廣義泊松分布的極限定理的總稱。獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中的稀有事件(小概率事件)出現(xiàn)次數(shù)的極限分布是泊松分布，是小數(shù)定律的重要特例。

小數(shù)定律，因涉及無窮小隨機(jī)變量之和或稀有事件出現(xiàn)次數(shù)的極限分布而得名，并非大數(shù)定律的對稱。

大數(shù)定律概率論的基本定律之一，指關(guān)于大量的隨機(jī)現(xiàn)象具有穩(wěn)定性質(zhì)的法則。它說明，如果被研究現(xiàn)象的總體是由大量的相互獨(dú)立的隨機(jī)因素所形成的，而且每個隨機(jī)因素對總體的影響都相對地比較小，這時對大量因素加以綜合平均，上述因素的個別影響就將互相抵消并顯現(xiàn)出它們共同作用的傾向，使總體具有穩(wěn)定的性質(zhì)。大數(shù)定律的涵義具體可歸納為以下四個方面：(一)現(xiàn)象的某種總體性規(guī)律，當(dāng)將具有這種現(xiàn)象的足夠多的單位加以綜合匯總的時候，這種規(guī)律才能夠明顯地顯示出來；(二)現(xiàn)象的總體性規(guī)律通常是以平均數(shù)的形式表現(xiàn)出來的；(三)所研究現(xiàn)象的總體包含的單位數(shù)越多，平均數(shù)也就越能正確地反映出這些現(xiàn)象的普遍規(guī)律性；(四)各單位的共同傾向決定著平均數(shù)的水平，而各單位對平均數(shù)的離差則會由于足夠多數(shù)單位綜合匯總的結(jié)果而相互抵消，表現(xiàn)為趨向于消失。就抽樣推斷而言，大數(shù)定律則證明：如果由隨機(jī)變量構(gòu)成的總體存在著有限的平均數(shù)和方差，則對于充分大的抽樣單位數(shù)n(一般指n>30)，將會有幾乎趨近于1的概率，期望抽樣平均數(shù)與總體實(shí)際平均數(shù)的絕對離差為趨近于0。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

尚華娟 - 副教授 - 上海財經(jīng)大學(xué)