668欧美户外野战在线观看,宅男噜噜66国产精品

數(shù)學(xué)家William Thurston是1982年菲爾茲獎得主。在《菲爾茲獎得主Thurston的十個故事》中，我們看到了這位數(shù)學(xué)天才的傳奇。今天主要介紹Thurston與龐加萊猜想的關(guān)系。龐加萊猜想是數(shù)學(xué)家龐加萊于1904年提出的一個拓撲學(xué)猜想，也是克雷數(shù)學(xué)研究所懸賞的七個千禧年大獎難題之一。Thurston提出的幾何化猜想如果被證明是正確的，那么龐加萊猜想就是它的一個推論。正是通過證明Thurston幾何化猜想，佩雷爾曼最終在2002年解決了龐加萊猜想。

撰文 | Joseph Malkevitch（紐約市立大學(xué)約克學(xué)院)

翻譯 | 唐璐（湖南大學(xué)）

每個領(lǐng)域都有超級明星——生物學(xué)有達爾文，化學(xué)有鮑林，物理學(xué)有牛頓，古典音樂有莫扎特，心理學(xué)有弗洛伊德。數(shù)學(xué)同樣有超級明星，牛頓也位列其中。

關(guān)注數(shù)學(xué)教育的人爭論數(shù)學(xué)天賦是否與生俱來，又或是否天賦只要達到了一定的閾值，就能通過教育在數(shù)學(xué)上有所成就。許多人能從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和職業(yè)生涯中獲得巨大的滿足感，但他們并不是超級明星，甚至不是明星。在某些領(lǐng)域，天才在很小的時候就顯現(xiàn)，莫扎特就是典型例子。有很多人認為，數(shù)學(xué)家最好的成果都出現(xiàn)在職業(yè)生涯早期，這種說法并不完全準(zhǔn)確。然而，作為對數(shù)學(xué)天賦的認可，最負盛名的數(shù)學(xué)獎項——菲爾茲獎——只頒發(fā)給 40 歲以下的人！莫扎特和舒伯特不到40歲就去世了，數(shù)學(xué)家阿貝爾（Niels Henrik Abel，1802-1829）和伽羅瓦（évariste Galois，1811-1832）同樣如此。在更晚近的年代，還有很多才華橫溢的數(shù)學(xué)家也是英年早逝：

拉馬努金（Srinivasa Ramanujan，1887-1920），

米哈伊爾·亞科維奇·蘇斯林（Mikhail Yakovlevich Suslin，1894-1919），

安德烈斯·弗洛爾（Andreas Floer，1956-1991），以及

奧迪·施拉姆（Oded Schramm，1961-2008）*

*譯注：奧迪·施拉姆是瑟斯頓在普林斯頓大學(xué)任教時的博士生，獲得了龐加萊獎、波利亞獎、奧斯特洛斯基獎等一系列重要獎項，但是因過齡錯失了菲爾茲獎。菲爾茲獎每4年頒發(fā)一次，2002年菲爾茲獎的截止出生日期是1962年1月1日，而施拉姆出生于1961年12月10日，僅相差3個星期。跟隨施拉姆做研究的年輕數(shù)學(xué)家Wendelin Werner獲得了2006年菲爾茲獎。熱衷于登山的施拉姆于2008年因山難去世。另外近年還有著名女?dāng)?shù)學(xué)家Maryam Mirzakhani也是英年早逝，Mirzakhani1977年出生于伊朗，擅長幾何學(xué)，2004年在哈佛大學(xué)獲得博士學(xué)位，師從菲爾茲獎得主Curtis McMullen，2014年獲得菲爾茲獎，2017年因患乳腺癌去世。）

數(shù)學(xué)家們都各有特色：一些人在多個數(shù)學(xué)領(lǐng)域都做出了出色的工作，另一些則是在某個專業(yè)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域取得了驚人的成果；一些人專注于數(shù)學(xué)研究，另一些還涉獵其他領(lǐng)域；一些人只談?wù)摂?shù)學(xué)，另一些在空閑時除了數(shù)學(xué)也談?wù)撜巍⒁魳?、藝術(shù)和文學(xué)。

音樂和數(shù)學(xué)天賦從何而來？顯然數(shù)學(xué)天賦部分來自遺傳。巴赫家族出了許多音樂家，伯努利家族出了許多數(shù)學(xué)家。數(shù)學(xué)家George Birkhoff的兒子Garrett Birkhoff也是數(shù)學(xué)家。不過雖然莫扎特的父親是很優(yōu)秀的音樂家，誰又能預(yù)料到他的兒子會有如此驚人的成就呢？數(shù)學(xué)和教育界人士仍在爭論數(shù)學(xué)天賦來自先天還是后天，以及如何發(fā)現(xiàn)那些能在數(shù)學(xué)上有所成就并樂在其中的人。

這篇文章是對杰出數(shù)學(xué)家威廉·瑟斯頓的致敬。1982 年，瑟斯頓同Alain Connes和丘成桐一道獲得了菲爾茲獎。瑟斯頓不僅在數(shù)學(xué)上做出了重要成就，而且樂于與人們分享他的專業(yè)知識以及對數(shù)學(xué)的洞見和熱情。

威廉·瑟斯頓（William Thurston，1946-2012），他也常被稱作比爾·瑟斯頓（Bill Thurston）。

威廉·瑟斯頓的簡要生平比爾·瑟斯頓的父母不是數(shù)學(xué)家，但他的父親有物理和工程學(xué)背景。他的母親對縫紉很感興趣，這也許可以解釋瑟斯頓為什么對服飾和時尚感興趣，但他專注于對曲面特性的理解也可以解釋這一點——也許布料的復(fù)雜特性有助于他的思考。許多杰出數(shù)學(xué)家都畢業(yè)于“名牌大學(xué)”，但瑟斯頓卻就讀于佛羅里達州的一所初創(chuàng)大學(xué)：新學(xué)院。

新學(xué)院原為私立學(xué)院，1964年開始招生，現(xiàn)為公立大學(xué)佛羅里達新學(xué)院（New College of Florida）。瑟斯頓1967年畢業(yè)后去了加州大學(xué)伯克利分校攻讀博士。1972年，他以博士論文《圓叢三維流形的葉狀結(jié)構(gòu)》（Foliations of Three-Manifolds which are Circle Bundles）獲得了學(xué)位。瑟斯頓的學(xué)術(shù)師承讓人感興趣，他的導(dǎo)師是Morris Hirsh，Hirsh自己的兩位導(dǎo)師也都是拓撲學(xué)大師：Edwin Spanier師從拓撲學(xué)家Norman Steenrod，Stephen Smale也是菲爾茲獎得主，師從沃爾夫獎得主Raoul Bott。

瑟斯頓學(xué)術(shù)生涯的第一年在普林斯頓高等研究院，然后去了MIT擔(dān)任助理教授，之后在普林斯頓大學(xué)擔(dān)任教授。1991年瑟斯頓離開普林斯頓回到加州大學(xué)伯克利分校。兩年后，他成為伯克利數(shù)學(xué)科學(xué)研究所（MSRI，成立于1982年）所長。MSRI以多種形式促進數(shù)學(xué)發(fā)展，包括定期舉辦研討會和持續(xù)一個學(xué)期的學(xué)術(shù)交流，期間就某一特定主題邀請學(xué)者訪問和研討。主題可能是傅里葉分析、解析數(shù)論、或者幾何和拓撲組合學(xué)。選定的主題涉及廣泛的數(shù)學(xué)領(lǐng)域及其應(yīng)用。在瑟斯頓領(lǐng)導(dǎo)MRSI期間，他積極推動研究所擴大活動范圍，并熱衷于促進公眾對數(shù)學(xué)的認識。

1997年瑟斯頓離開MRSI去了加州大學(xué)戴維斯分校，2003年去了康奈爾大學(xué)。2011年，他被診斷患有黑色素瘤，2012年去世。為了紀(jì)念他，2014年在康奈爾舉行了一次會議。

除了菲爾茲獎，瑟斯頓還獲得過許多榮譽，包括維布倫幾何獎（1976年）和Leroy Steele獎（2012年）。2005年，瑟斯頓的《三維幾何和拓撲學(xué)》（Three-dimensional Geometry and Topology）獲得了第一屆美國數(shù)學(xué)學(xué)會圖書獎。這本書所依據(jù)的講義已流傳多年，在成書之前就影響了許多人。

前面說過菲爾茲獎只頒給40歲以下的人。當(dāng)然，菲爾茲獎得主在獲獎后繼續(xù)做出精彩的成果是很常見的，瑟斯頓就是如此。有一些數(shù)學(xué)家則因其最好的工作是在40 歲以后完成而錯過菲爾茲獎。后來又有了一些沒有年齡限制的頂級獎項，例如邵逸夫獎、阿貝爾獎和沃爾夫獎。

瑟斯頓和流形數(shù)學(xué)有許多領(lǐng)域，例如代數(shù)和幾何，但是通常很難界定特定的數(shù)學(xué)“屬于”哪個領(lǐng)域，因此，人們會談?wù)搸缀未鷶?shù)和代數(shù)幾何。雖然大多數(shù)人視瑟斯頓為拓撲學(xué)家，但他也研究幾何學(xué)，他的一些工作被描述為幾何拓撲學(xué)。

幾何和拓撲學(xué)家對曲面感興趣。我們熟悉各種曲面，比如平面、球面、錐面和甜甜圈（環(huán)面）。流形是一類特殊的曲面，從其上的每一點看來，臨近的區(qū)域都類似歐氏空間。更準(zhǔn)確地說，流形具有如下性質(zhì)：流形（曲面）的每一點都位于一個集合的中心，這個集合拓撲等價于一個（開）歐氏球。歐氏球是與給定點的距離小于或等于某個給定實數(shù)r（球的半徑）的點集。它有兩種形式，開球只包含距離嚴格小于r的點，而閉球還包含距離等于r的點。例如，圓的內(nèi)部是一個2維開球，也稱為開圓。因此，2維流形是有如下性質(zhì)的曲面，在其每一點都能找到一個（可能的）小集合拓撲等價（同胚）于一個位于那一點的開圓。

如果存在從集合X到集合Y的一對一連續(xù)映射函數(shù)，并且反函數(shù)也是連續(xù)的，則稱X拓撲等價或同胚于Y。從拓撲學(xué)的角度看，正方形、五角星、橢圓和歐氏圓都是拓撲等價的。請注意，其中一些是光滑曲線，另一些則有角。也有一些人將拓撲描述為橡皮幾何學(xué)：如果一個集合不經(jīng)切割或撕裂就能變換為另一個集合，那么兩者就是拓撲等價的。簡而言之，同胚是“拓撲等價”的專業(yè)術(shù)語。

在拓撲學(xué)中，一個杯子和一個甜甜圈（實心環(huán)面）是等價的，一頭母牛和一個球面也是等價的。| 來源：Wikipedia

數(shù)學(xué)家們在研究流形時會尋找那些幫助我們理解流形結(jié)構(gòu)的定理。圖1展示了一系列2維流形，這些曲面（都是有界的）上的任意點的周圍，都有一個小集合等價于一個2維圓內(nèi)部的拓撲拷貝。圖中曲面包含的孔的數(shù)量各不相同，中間的曲面有1個孔，我們稱它的虧格為1。你也許能想出辦法，將中間曲面的多個拷貝連接到左邊的曲面，以得到最右邊的曲面。

圖1. 包含零個孔、一個孔和多個孔的曲面。| 來源：Manifold Atlas Project

應(yīng)該怎樣對流形分類呢？一個自然的選擇是依據(jù)流形的維度，比如上面我們看到了球面和環(huán)面這類經(jīng)常遇到的2維流形。除此之外，還有連通、有界、平滑（可微）和緊致的流形，以及有邊界的流形。所有這些都是用來刻畫特定類型流形的特殊屬性。圖2展示的曲面被稱為3維空間中的褲子。

圖2. 這個曲面被稱為3維空間中的褲子。| 來源：Wikipedia

我們也可以考慮在平面上繪制的褲子，如圖3所示。在不同的設(shè)定下觀察同一個“對象”，可以幫助我們更深刻地認識對復(fù)雜曲面進行區(qū)分的一般性原則。請注意，圖中的紅色圓圈不是所關(guān)注的曲面的一部分。如果我們在曲面加上紅圈會發(fā)生什么？每個點仍然是某個拓撲圓的中心嗎？拓撲學(xué)家可能感興趣的問題是，如果將褲子作為部件拼接起來，得到的曲面會有多少種變體。

圖3. 畫在平面上的褲子 | 來源：Wikipedia

數(shù)學(xué)發(fā)展的一個方面體現(xiàn)在，能以某種方式區(qū)分以前認為是相同的事物。因此，新的修飾詞不斷被加到流形這個術(shù)語前面，以區(qū)分不同類型的曲面。例如，我們討論2維流形、3維流形、雙曲流形、以及上面提到的各種類型的流形。雙曲流形的每個點周圍的區(qū)域類似某個維數(shù)的雙曲空間?？臻g可以用不同的方式區(qū)分，例如曲率。歐氏空間的曲率為零，而雙曲空間則具有負曲率。在歐氏平面幾何中，經(jīng)過直線外一點有且僅有一條平行線，而在雙曲平面中，經(jīng)過直線外一點有許多條平行線。瑟斯頓的研究領(lǐng)域就包括雙曲流形和空間。

曲面的另一個屬性是可定向性，這個概念關(guān)系到能否在曲面上保持一致的方向感。圖4是著名的莫比烏斯帶，它就是不可定向的。將長條（例如長30cm、寬5cm）的兩端粘到一起，可以得到圓柱曲面，這是可定向的雙面曲面。如果將其中一條短邊翻轉(zhuǎn)后再粘到一起，得到的就是莫比烏斯帶，它只有一個面，不可定向。另外請注意這個曲面有“邊”，這一點與球面不同。

圖4. 不可定向的曲面：莫比烏斯帶。如果一只螞蟻在莫比烏斯帶上一直向前爬行，它可以從帶子的一面繞到另一面，而無需跨越帶子的邊界。| 來源：Wikipedia

圖5是著名的克萊因瓶曲面，以它的發(fā)現(xiàn)者Felix Klein的名字命名?？巳R因瓶也是不可定向的，而且它不能在沒有自相交的條件下嵌入3維空間，不像莫比斯帶能嵌入3維空間。

圖5. 克萊因瓶 | 來源：Wikipedia

圖6中不可定向的2維流形是一個被研究得很多的幾何對象——沒有自相交不能嵌入3維空間的實射影平面。平面幾何的3種基本類型是歐氏幾何、雙曲幾何（也稱為羅氏幾何）和實射影平面。實射影平面是點和線遵循如下性質(zhì)的一種結(jié)構(gòu)，即任意兩條不同的線必須相交于一點。

圖6. 實射影平面 | 來源：Wikipedia

在看過一些不同的2維流形曲面的例子之后，我們再看一個不是流形的例子，或許有助于加深理解。圖7是一個圓錐體的兩個錐盆，它們相交于三條紅線的交點。在這一點，曲面沒有一個以該點為中心的開歐氏球，所有其他的點都很好！不過兩個錐盆分開后卻都是2維流形。

圖7. 在三條紅線的交點，曲面沒有一個以該點為中心的開歐氏球，因而這是一個不是流形的曲面。| 圖片來源：Wikipedia

順便說一下，也有1維流形。平面上的圓或開線段就是1維流形。數(shù)字8或無窮符號∞則不是1維流形，因為在自交點處，這兩個集合的局部不是1維開球。

龐加萊猜想如何界定一個拓撲的2維歐氏圓？拓撲圓的一個基本性質(zhì)是它們把平面劃分為三個集合：拓撲圓上的點、圓內(nèi)部的點和圓外部的點。簡單的閉合曲線——拓撲圓的另一個名稱——遵循這個性質(zhì)似乎極為明顯，以至于在很多年里都沒有基于更基礎(chǔ)的幾何學(xué)來證明這是正確的。最后是法國數(shù)學(xué)家若爾當(dāng)（Camille Jordan，1838-1922）付諸行動，這個結(jié)果被稱為若爾當(dāng)曲線定理：簡單閉曲線是拓撲圓，與歐氏圓同胚。

若爾當(dāng)曲線定理說明，每一條若爾當(dāng)曲線都把平面分成一個“內(nèi)部”區(qū)域和一個“外部”區(qū)域，且任何從一個區(qū)域到另一個區(qū)域的道路都必然在某處與環(huán)路相交。若爾當(dāng)曲線定理表面上似乎是十分顯然的，但要證明它卻十分困難。| 來源：Wikipedia

人們最初認為，把拓撲圓的概念推廣到3維空間與球面同胚的曲面是輕而易舉的事情。然而，數(shù)學(xué)家們逐漸認識到，要將圖形的屬性轉(zhuǎn)換到不同維度的空間并不是那么容易。例如，如果兩個簡單多邊形（多邊形的邊相交的地方是一個頂點）的面積相同，那么總有辦法將其中一個多邊形切割成有限數(shù)量的簡單凸多邊形碎片，然后將這些碎片重新組合成另一個多邊形，就像玩拼圖一樣。然而，希爾伯特（1862-1943）的一個學(xué)生，也對曲面理論做出了重要貢獻的Max Dehn（1878-1952），證明了這個定理的3維版本并不成立（這也是希爾伯特23個問題中的第三個）。也就是說，不可能把立方體切割成有限數(shù)量的凸多面體塊，然后重新組裝成同樣體積的正四面體。因此，研究流形和曲面拓撲的數(shù)學(xué)家對維度轉(zhuǎn)換后2維對象的基本性質(zhì)能否保留持謹慎態(tài)度。

法國數(shù)學(xué)家龐加萊（1854-1912）是研究曲面拓撲性質(zhì)的先驅(qū)之一。他發(fā)展了現(xiàn)代拓撲學(xué)的基本思想——同倫與同調(diào)的重要概念。

龐加萊

龐加萊試圖搞清楚拓撲學(xué)上等同于高維球面的形狀可以有多么不同，正如早期拓撲學(xué)研究者試圖搞清楚簡單的封閉曲線的形狀可以有多么不同一樣。龐加萊思考了這個問題，并給出一個猜想，但是并沒有明確說出他認為這個猜想是對還是錯！這個猜想后來被稱為龐加萊猜想，用現(xiàn)代術(shù)語表述是這樣：

如果M是封閉的單連通3維流形，則M與3維球面同胚。

這個猜想形式上的直觀性吸引了許多拓撲學(xué)家開始研究這個問題，并且發(fā)展出了許多關(guān)于流形的工具，這些工具有希望找到解決這個問題的途徑。這個看似簡單的問題引發(fā)了人們的興趣，從而刺激拓撲學(xué)取得了重要的進展。瑟斯頓在博士工作完成后，對各種流形，尤其是雙曲流形產(chǎn)生了興趣。關(guān)鍵在于這種流形上的每一點都類似某個維度的雙曲幾何空間。研究一段時間后，瑟斯頓提出了一個猜想，這個猜想后來被稱為瑟斯頓幾何化猜想。直觀的想法是，任何封閉的3維流形都可以區(qū)分為8 種類型之一，瑟斯頓對此給出了明確描述，并進行了研究。值得注意的一點是，如果這個猜想被證明是正確的，那么龐加萊猜想就是它的一個推論。

瑟斯頓和其他人證明了幾何化猜想的幾種特例是正確的。尤其是，瑟斯頓用非常創(chuàng)新的想法證明了，它對一類很豐富的流形，也就是哈肯流形成立。哈肯流形以Wolfgang Haken（1928-）的名字命名，他最著名的工作是與Kenneth Appel證明了四色猜想。

比爾·瑟斯頓的照片。留意他運動衫上的公式！

在19世紀(jì)末20世紀(jì)初，希爾伯特列出了一系列他認為對數(shù)學(xué)發(fā)展很重要的問題，希爾伯特問題引發(fā)了人們的廣泛興趣。后來的發(fā)展證明了他的眼光！其中許多問題已被解決，并衍生出了許多新的數(shù)學(xué)思想，另一些還在繼續(xù)研究。2000年時克雷數(shù)學(xué)研究所提出了一個包含7個問題的清單，被稱為千禧年問題，并附加了懸賞，解決其中任何一個問題，都能得到一百萬美元獎金！龐加萊猜想就是千禧年問題之一。

2002年，佩雷爾曼（Grigori Perelman，1966-）公布了一系列論文，聲稱已證明了龐加萊猜想。他解決這個問題的方法就是證明瑟斯頓幾何化猜想。隨后對他的證明進行的嚴格審查證實，他的方法非常具有原創(chuàng)性，并且是正確的。同其他突破性證明方法剛提出時一樣，佩雷爾曼的方法后來又被加以完善和改進。在他的證明被確認正確之后，他被授予了千禧年獎，但他拒絕領(lǐng)獎！他也被選為 2006 年菲爾茲獎的得主之一（同Andrei Okounkov、陶哲軒和Wendelin Werner一起），但是他又拒絕了。佩雷爾曼使用的方法部分基于Richard Hamilton 關(guān)于Ricci流的思想。

格里戈里·佩雷爾曼

瑟斯頓的其他貢獻接下來我們介紹一下瑟斯頓對幾何學(xué)的另外兩個很重要的貢獻。瑟斯頓推廣流形概念的方法之一是發(fā)展軌形（orbifold，orbit-manifold的縮寫）的概念。瑟斯頓在普林斯頓的同事康威（John Horton Conway，1937-2020，在剛過去的4月11日，這位數(shù)學(xué)天才因新冠肺炎不幸離世）發(fā)明了一種實用的軌形標(biāo)注法，并用來研究各種曲面的對稱性?？低C明了它可以解釋一個看似特別神秘的事情——在歐氏條帶上有7種類型的帶狀裝飾（見圖8的示例），在歐氏平面上有17種類型的壁紙圖案。康威在其中使用了軌形的概念和基于曲面（在這里是歐式平面）的歐拉示性數(shù)的思想，這樣對數(shù)字7和17的根源就有了一種自然的理解！

圖8. 兩種不同類型的帶狀裝飾圖案。| 圖片來源：Wikipedia

在對流形的研究中，人們經(jīng)常感興趣的一個問題是如何對曲面進行三角剖分，即在給定的規(guī)則下將曲面分割成三角形，創(chuàng)建三角形網(wǎng)格。曲面的三角剖分在數(shù)值分析和圖像處理中有重要應(yīng)用。瑟斯頓研究了一類有趣的二維球面的三角剖分，這種剖分剛好有12個價（valence，度）為5的頂點，其他所有頂點的價為6。Branko Grünbaum和Theodore Motzkin證明了在對偶情形下（與球面上有12個五邊形和一些六邊形的富勒烯圖相對應(yīng)），對于6價頂點的每一種可能的數(shù)目（1除外），都存在相應(yīng)的三角剖分。

富勒烯也被稱為戈德堡多面體；這種多面體最近引起了人們的興趣，因為新發(fā)現(xiàn)的這種多面體的實例具有高度的對稱性，并且所有邊長都相等。瑟斯頓在這其中的發(fā)現(xiàn)是，具有h個6價頂點（h為正整數(shù)）和12個5價頂點的不等價的三角剖分多面體的種類多得出奇，從而給出了一系列有待研究的種類豐富的高度結(jié)構(gòu)化多面體。他還給出了多種方法構(gòu)造這些多面體。

瑟斯頓用高度圖像化的方式處理和思考數(shù)學(xué)問題，也因此他的一些工作被拍成視頻，有些他還參與了拍攝。其中一個視頻講述了瑟斯頓開發(fā)的一種結(jié)構(gòu)，用來展示在3維空間里，可以把一個球體由內(nèi)向外翻轉(zhuǎn)，而不會產(chǎn)生任何折痕和擠壓，這個過程被稱為外翻（eversion）。瑟斯頓的學(xué)術(shù)師祖父Stephen Smale最先證明了這個驚人的事實是可能的。

介紹翻轉(zhuǎn)球面的數(shù)學(xué)科普短片“Outside in”，由明尼蘇達大學(xué)的幾何中心（Geometry Center）制作。陶哲軒在悼念Thurston的文章中曾說：“我最喜歡瑟斯頓的一個成果是他翻轉(zhuǎn)球體的優(yōu)雅方法，也就是平滑地將三維空間中的一個二維球面內(nèi)外翻轉(zhuǎn)過來，不能有任何折疊或奇點。球面外翻可以實現(xiàn)這一事實是非常不直觀的，它通常被稱為Smale悖論，因為 Stephen Smale 第一個證明了這種外翻是可能的。然而，在瑟斯頓的方法之前，已知的球面外翻的構(gòu)造相當(dāng)復(fù)雜。通過壓縮和扭曲球面，瑟斯頓的方法足夠概念化和幾何化，實際上可以很有效地用非技術(shù)術(shù)語來解釋?！?/p>

除此之外，幾何中心還制作了關(guān)于紐結(jié)與雙曲空間的短片“Not Knot”（不是紐結(jié)，而是紐結(jié)補空間）,以及探索三維空間可能性的“The shape of space”。從中我們對Thurston的數(shù)學(xué)研究或許會有更多更直觀的了解。（相關(guān)視頻請前往《返樸》觀看）

參考資料

[1] Atiyah, M. et al., Response to "Theoretical Mathematics toward a cultural synthesis of mathematics with theoretical physics, Bulletin of the American Mathematical Society, 30 (1994) 178-207.
[2] Conway, J. and H. Burgiel, H., C. Goodman-Strauss, The Symmetry of Things, A K Peters Wellesley, MA, 2008.
[3] Gromov, M. and W. Thurston, Pinching constants for hyperbolic manifolds, Invent. Math., 89 (1987) 1-12.
[4] Gray, J., Henri Poincaré: A scientific biography. Princeton University Press, Princeton, 2012.
[5] Grünbaum, B. and T. Motzkin, The number of hexagons and the simplicity of geodesics on certain polyhedra, Canad. J. Math. 15(1963) 744-751.
[6] Jaffe, A. and F. Quinn, "Theoretical Mathematics toward a cultural synthesis of mathematics with theoretical physics, Bulletin of the American Mathematical Society, 29 (1993) 1-13.
[7] Malkevitch, J. (ed.), Geometry's Future (2nd. edition), COMAP, Bedford, MA, 1991.
[8] Thurston, W., Three-dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry, Bull. Amer. Math. Soc. 6 (1982) 357–381.
[9] Thurston, W., Hyperbolic structures on 3-manifolds. I. Deformation of acylindrical manifolds. Annals of Math., 124 (1986), 203–246.
[10] Thurston, W., On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surfaces. Bull. Amer. Math. Soc., 19 (1988), 417–431.
[11] Thurston, W., Mathematical education, Notice of the American Mathematical Society, 37 (1990) 844-850.
[12] Thurston, W., On proof and progress in mathematics, Bulletin American Mathematical Society, 30 (1994) 161-177.
[13] Thurston, W. and S. Levy (ed.), Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1. Princeton University Press, Princeton, 1997. (Thurston had privately distributed various versions of his writing and course notes on manifolds. His student Silvio Levy worked with Thurston on turning these notes into this volume.)
[14] Schein, S. and J. Gaye, Fourth class of convex equilateral polyhedron with polyhedral symmetry related to fullerenes and viruses, Proceedings of the National Academy of Sciences, 111 (2014) 2920-2925.

本文節(jié)選并翻譯自美國數(shù)學(xué)學(xué)會在2012年發(fā)表的紀(jì)念William Thurston的文章“Remembering Bill Thurston(1946-2012)”，略有刪節(jié)。原文鏈接：http://www.ams.org/publicoutreach/feature-column/fc-2017-04。

菲爾茲獎得主Thurston與龐加萊猜想