[科普中國(guó)]-結(jié)構(gòu)塑性極限

結(jié)構(gòu)塑性極限是塑性力學(xué)的研究?jī)?nèi)容之一，研究結(jié)構(gòu)在塑性極限狀態(tài)下的特性，亦稱(chēng)結(jié)構(gòu)破損分析。當(dāng)作用在結(jié)構(gòu)上的載荷增大至某一極限值時(shí)，理想塑性材料結(jié)構(gòu)將變成幾何可變機(jī)構(gòu)，它的變形無(wú)限制地增大，從而使結(jié)構(gòu)失去承載能力。這種狀態(tài)稱(chēng)為結(jié)構(gòu)的塑性極限狀態(tài)，對(duì)應(yīng)于此狀態(tài)的載荷稱(chēng)為塑性極限載荷。應(yīng)用用極限分析進(jìn)行研究的結(jié)構(gòu)主要有梁、剛架、板、殼等幾種類(lèi)型，它們?cè)跇O限狀態(tài)時(shí)有各自的特點(diǎn)。

基本信息塑性力學(xué)的研究?jī)?nèi)容之一，研究結(jié)構(gòu)在塑性極限狀態(tài)下的特性，亦稱(chēng)結(jié)構(gòu)破損分析。當(dāng)作用在結(jié)構(gòu)上的載荷增大至某一極限值時(shí)，理想塑性材料結(jié)構(gòu)將變成幾何可變機(jī)構(gòu)（見(jiàn)結(jié)構(gòu)的幾何不變性1），它的變形無(wú)限制地增大，從而使結(jié)構(gòu)失去承載能力。這種狀態(tài)稱(chēng)為結(jié)構(gòu)的塑性極限狀態(tài)，對(duì)應(yīng)于此狀態(tài)的載荷稱(chēng)為塑性極限載荷。結(jié)構(gòu)塑性極限分析的目的是：①求出極限載荷；②確定極限狀態(tài)下滿足應(yīng)力邊界條件的應(yīng)力分布規(guī)律；③找出結(jié)構(gòu)破損時(shí)的機(jī)構(gòu)形式。塑性極限分析是在假設(shè)材料具有理想剛塑性性質(zhì)的前提下進(jìn)行的，因而避開(kāi)了彈塑性分析的復(fù)雜計(jì)算。由極限分析的解所得到的極限載荷，和由彈塑性分析所得到的極限載荷完全相等。

研究方法 從事結(jié)構(gòu)塑性極限分析，須先知道結(jié)構(gòu)的外力和幾何約束邊界條件以及結(jié)構(gòu)的材料常數(shù)。此外，還要利用如下的條件：①屈服條件，即在極限狀態(tài)下各應(yīng)力分量組合應(yīng)滿足的條件;②破損機(jī)構(gòu)條件,即在極限載荷作用下結(jié)構(gòu)變成幾何可變機(jī)構(gòu)的條件；③平衡條件；④幾何條件，即應(yīng)變和位移的關(guān)系所給出的條件。在這些條件中，①和②是建立在實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上的，而③和④則是結(jié)構(gòu)所必須滿足的條件。凡是滿足以上全部條件的解稱(chēng)為完全解。由于完全解不容易得到，在極限分析理論中發(fā)展了兩個(gè)定理，即下限定理和上限定理。

下限定理可表述為：與靜力容許場(chǎng)對(duì)應(yīng)的外載荷不大于真實(shí)的極限載荷。所謂靜力容許場(chǎng)是指滿足平衡方程和外力邊界條件并且不違背屈服條件的應(yīng)力場(chǎng)。下限定理提出了結(jié)構(gòu)不破壞的必要條件，用它可計(jì)算結(jié)構(gòu)承載能力的下限，這樣的下限有無(wú)窮多個(gè)。由于結(jié)構(gòu)不破壞時(shí)所能承受的最大載荷與結(jié)構(gòu)的真實(shí)極限載荷最接近，所以應(yīng)選取由下限定理求出的極限載荷下限中最大的一個(gè)作為極限載荷的近似值。按平衡條件、屈服條件用下限定理求極限載荷最大下限的方法稱(chēng)為極限分析的靜力法。

上限定理可表述為：與機(jī)動(dòng)容許場(chǎng)對(duì)應(yīng)的外載荷不小于真實(shí)的極限載荷。所謂機(jī)動(dòng)容許場(chǎng)是指滿足幾何約束條件并能形成破損機(jī)構(gòu)的位移速度場(chǎng)。外力在此速度場(chǎng)上作功的功率大于等于結(jié)構(gòu)內(nèi)部的耗散功率。上限定理提出了結(jié)構(gòu)破壞的充分條件，用它可求得極限載荷的上限，這樣的上限也有無(wú)窮多個(gè)。在用上限定理求極限載荷時(shí)，由于假設(shè)結(jié)構(gòu)已經(jīng)破壞，所以應(yīng)選取所求得的極限載荷上限中最小的一個(gè)作為極限載荷的近似值，它和真實(shí)的極限載荷最接近。只考慮機(jī)動(dòng)方面的要求，而不考慮屈服條件和平衡條件的要求，按上限定理求極限載荷最小上限值的方法稱(chēng)為極限分析的機(jī)動(dòng)法。對(duì)于復(fù)雜的結(jié)構(gòu)或復(fù)雜的載荷分布，常須用實(shí)驗(yàn)方法得出一個(gè)破壞機(jī)構(gòu)的形態(tài)，據(jù)此求出極限載荷的一個(gè)較好的上限值。如果一個(gè)載荷既是極限載荷上限，又是極限載荷的下限，它便是完全解的極限載荷。

除用靜力法和機(jī)動(dòng)法以外，結(jié)構(gòu)極限載荷的上限和下限還可以通過(guò)簡(jiǎn)化屈服條件求得。此法的理論依據(jù)是：在結(jié)構(gòu)的任何部分提高材料的屈服極限，都不會(huì)降低結(jié)構(gòu)的承載能力；而在結(jié)構(gòu)的任何部分降低材料的屈服極限,都不會(huì)提高結(jié)構(gòu)的承載能力。在廣義應(yīng)力空間中,屈服條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式往往是非線性的，聯(lián)合求解這種非線性的方程和復(fù)雜結(jié)構(gòu)的平衡微分方程在數(shù)學(xué)上往往有困難，因此，用線性的屈服條件代替非線性的屈服條件并找出復(fù)雜結(jié)構(gòu)的近似解，是求解極限載荷上、下限的有效方法。例如，在圖中所示的廣義應(yīng)力Q1、Q2的二維平面中，曲線A代表實(shí)際的屈服條件，多邊形B和多邊形C 分別代表線性化了的內(nèi)接和外切的近似屈服條件。按多邊形B計(jì)算得到的極限載荷是實(shí)際極限載荷的下限,而按多邊形C計(jì)算得到的極限載荷是實(shí)際極限載荷的上限。

梁和剛架是極限分析定理應(yīng)用得最有成效的結(jié)構(gòu)。計(jì)算梁和剛架的極限載荷須用到塑性鉸的概念。當(dāng)梁的某截面上的彎矩達(dá)到塑性極限值Μp時(shí),塑性變形只能在Μ=Μp點(diǎn)處發(fā)生,該處曲率變化率可以任意增大，這時(shí)曲率的變化率不連續(xù)，就好象鉸一樣，這樣的鉸稱(chēng)為塑性鉸。塑性鉸和普通鉸的區(qū)別在于：普通鉸不能傳遞彎矩,而塑性鉸能傳遞塑性極限彎矩；普通鉸是雙向鉸,而塑性鉸是單向鉸，即當(dāng)轉(zhuǎn)角方向和彎矩方向一致時(shí)，可以發(fā)生自由塑性變形。塑性鉸一般出現(xiàn)在集中力作用處、支承處或當(dāng)均布載荷作用時(shí)剪力為零處。塑性鉸的位置可用實(shí)驗(yàn)方法確定。在結(jié)構(gòu)中形成足夠數(shù)目的塑性鉸后，結(jié)構(gòu)就變?yōu)闄C(jī)構(gòu)。

在極限狀態(tài)下，板中會(huì)出現(xiàn)塑性鉸線，它是塑性鉸的連線，其性質(zhì)和塑性鉸一樣，也可以用實(shí)驗(yàn)方法確定。圓板受軸對(duì)稱(chēng)載荷作用時(shí)，在極限狀態(tài)下，所有徑向塑性鉸線將連成一片，從而形成塑性區(qū)。在殼體結(jié)構(gòu)中有一個(gè)或幾個(gè)區(qū)域處于塑性狀態(tài)后，殼體才會(huì)處于極限平衡狀態(tài)。

對(duì)于連續(xù)梁、桁架、剛架和受軸對(duì)稱(chēng)載荷作用的圓板、環(huán)板、柱殼、球殼、錐殼已找到了不少極限分析的完全解。但對(duì)于靜不定次數(shù)比較高的靜不定結(jié)構(gòu)，計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜。對(duì)于多邊形板、受非軸對(duì)稱(chēng)載荷作用的圓板、柱殼、錐殼以及球殼徑向接管、圓柱殼徑向接管極限分析的完全解，還需要作進(jìn)一步的研究。

反過(guò)來(lái)，根據(jù)極限分析原理，可以按照載荷的要求尋求最輕結(jié)構(gòu)，這就是極限設(shè)計(jì)。

研究簡(jiǎn)史 早在1914年，G.V.卡金契便對(duì)梁結(jié)構(gòu)提出了下限定理的萌芽看法。1934年，蘇聯(lián)的A.A.格沃茲杰夫?qū)Υ_定桿系結(jié)構(gòu)承載能力的問(wèn)題，給出了上、下限定理。1948年蘇聯(lián)的C.M.法因貝格用邏輯推理方法進(jìn)一步考證了上、下限定理。1961年美國(guó)的W.普拉格等對(duì)二維和三維問(wèn)題作了論述。此后，美國(guó)的P.G.霍奇應(yīng)用簡(jiǎn)化屈服條件的方法，找到許多板殼極限分析的完全解。

結(jié)構(gòu)塑性極限分析結(jié)構(gòu)塑性極限分析，又稱(chēng)結(jié)構(gòu)破損分析，是對(duì)結(jié)構(gòu)在塑性極限狀態(tài)下的特性的研究，塑性力學(xué)的研究?jī)?nèi)容之一。

當(dāng)外載荷達(dá)到某一極限值時(shí)，結(jié)構(gòu)即變成幾何可變機(jī)構(gòu)，變形無(wú)限制增長(zhǎng)，從而失去承載能力，這種狀態(tài)稱(chēng)為結(jié)構(gòu)的塑性極限狀態(tài)。在塑性極限分析中，由于不考慮彈性變形而使分析過(guò)程大為簡(jiǎn)化，且所得的塑性極限載荷與考慮彈塑性過(guò)程所得到的結(jié)果完全相同。凡是在極限條件中起作用的內(nèi)力，稱(chēng)為廣義應(yīng)力。當(dāng)某點(diǎn)的廣義應(yīng)力滿足極限條件時(shí)，表示結(jié)構(gòu)上該點(diǎn)已進(jìn)入屈服狀態(tài)；當(dāng)結(jié)構(gòu)上有若干截面達(dá)到屈服狀態(tài)時(shí)，結(jié)構(gòu)即變成機(jī)構(gòu)，開(kāi)始無(wú)限制地增加變形，結(jié)構(gòu)達(dá)到了極限狀態(tài)。

研究?jī)?nèi)容內(nèi)容

當(dāng)作用在結(jié)構(gòu)上的載荷增大至某一極限值時(shí)，理想塑性材料結(jié)構(gòu)將變成幾何可變機(jī)構(gòu)（見(jiàn)結(jié)構(gòu)的幾何不變性），它的變形無(wú)限制地增大，從而使結(jié)構(gòu)失去承載能力。這種狀態(tài)稱(chēng)為結(jié)構(gòu)的塑性極限狀態(tài)，對(duì)應(yīng)于此狀態(tài)的載荷稱(chēng)為塑性極限載荷。

目的

結(jié)構(gòu)塑性極限分析的目的是：

①求出極限載荷；

②確定極限狀態(tài)下滿足應(yīng)力邊界條件的應(yīng)力分布規(guī)律；

③找出結(jié)構(gòu)破損時(shí)的機(jī)構(gòu)形式。

塑性極限分析是在假設(shè)材料具有理想剛塑性性質(zhì)的前提下進(jìn)行的，因而避開(kāi)了彈塑性分析的復(fù)雜計(jì)算。由極限分析的解所得到的極限載荷，和由彈塑性分析所得到的極限載荷完全相等。

基本假設(shè)和概念

基本假設(shè)和概念在結(jié)構(gòu)極限分析中，一般采用如下幾個(gè)假設(shè)：①材料是理想剛塑性的（彈性應(yīng)變比塑性應(yīng)變小得多且強(qiáng)化性質(zhì)不明顯的材料）。②結(jié)構(gòu)變形足夠小。③在達(dá)到極限狀態(tài)前，結(jié)構(gòu)不失去穩(wěn)定性。④滿足比例加載條件（各應(yīng)力分量按一定比例增長(zhǎng)）。

在結(jié)構(gòu)極限分析中，常用到以下兩個(gè)概念：①靜力容許應(yīng)力場(chǎng)。即滿足平衡條件和力的邊界條件且不破壞極限條件的應(yīng)力場(chǎng)。②運(yùn)動(dòng)容許位移場(chǎng)。即滿足幾何約束條件并使外力作正功的位移場(chǎng)。

研究方法靜力和機(jī)動(dòng)條件

為了解決上述問(wèn)題，除了要知道材料的有關(guān)參數(shù)外，還應(yīng)知道靜力和機(jī)動(dòng)條件，即結(jié)構(gòu)的的外力和幾何約束邊界條件以及結(jié)構(gòu)的材料常數(shù)。這些條件包括：①屈服條件。即結(jié)構(gòu)出現(xiàn)屈服時(shí)其廣義力（極限條件中所包含的彎矩、薄膜力或軸向力）應(yīng)滿足的條件。②破損機(jī)構(gòu)條件，即在極限狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，或結(jié)構(gòu)失去承載能力時(shí)的運(yùn)動(dòng)形式。③平衡條件。④幾何條件。其中①、②兩個(gè)條件應(yīng)建立在理論分析和實(shí)驗(yàn)研究的基礎(chǔ)上，是結(jié)構(gòu)極限分析的物理依據(jù)；③、④兩個(gè)條件是結(jié)構(gòu)處于彈性狀態(tài)或塑性狀態(tài)都必須滿足的條件。如果所求得的解滿足以上全部條件而且滿足所給的邊界條件，則該解即為極限分析的完全解。

重要概念

由于不容易得到完全解，在極限分析理論中發(fā)展了兩個(gè)定理，即下限定理和上限定理：①下限定理：所有與靜力容許應(yīng)力場(chǎng)對(duì)應(yīng)的載荷中的最大載荷為極限載荷。②上限定理：所有與運(yùn)動(dòng)容許位移場(chǎng)對(duì)應(yīng)的載荷中的最小載荷為極限載荷。如果一個(gè)載荷既是極限載荷的上限，又是極限載荷的下限，則這個(gè)載荷必滿足極限分析中的全部條件。用以上兩個(gè)定理求極限載荷的方法分別稱(chēng)為靜力法和運(yùn)動(dòng)法。

對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，為了求出極限載荷，可以放松對(duì)極限條件的要求，即對(duì)極限條件進(jìn)行簡(jiǎn)化，以便找出解的上限或下限。常用的有最大法向應(yīng)力條件、單矩或雙矩弱作用的屈服條件。

對(duì)于梁、桁架、剛架、軸對(duì)稱(chēng)圓板和旋轉(zhuǎn)軸對(duì)稱(chēng)薄殼，都已找到了大量完全解。對(duì)于較復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，都可用靜力法或運(yùn)動(dòng)法分別找出下限解或上限解。

下限定理

下限定理可表述為：與靜力容許場(chǎng)對(duì)應(yīng)的外載荷不大于真實(shí)的極限載荷。所謂靜力容許場(chǎng)是指滿足平衡方程和外力邊界條件并且不違背屈服條件的應(yīng)力場(chǎng)。下限定理提出了結(jié)構(gòu)不破壞的必要條件，用它可計(jì)算結(jié)構(gòu)承載能力的下限，這樣的下限有無(wú)窮多個(gè)。由于結(jié)構(gòu)不破壞時(shí)所能承受的最大載荷與結(jié)構(gòu)的真實(shí)極限載荷最接近，所以應(yīng)選取由下限定理求出的極限載荷下限中最大的一個(gè)作為極限載荷的近似值。按平衡條件、屈服條件用下限定理求極限載荷最大下限的方法稱(chēng)為極限分析的靜力法。

上限定理

上限定理可表述為：與機(jī)動(dòng)容許場(chǎng)對(duì)應(yīng)的外載荷不小于真實(shí)的極限載荷。所謂機(jī)動(dòng)容許場(chǎng)是指滿足幾何約束條件并能形成破損機(jī)構(gòu)的位移速度場(chǎng)。外力在此速度場(chǎng)上作功的功率大于等于結(jié)構(gòu)內(nèi)部的耗散功率。上限定理提出了結(jié)構(gòu)破壞的充分條件，用它可求得極限載荷的上限，這樣的上限也有無(wú)窮多個(gè)。在用上限定理求極限載荷時(shí)，由于假設(shè)結(jié)構(gòu)已經(jīng)破壞，所以應(yīng)選取所求得的極限載荷上限中最小的一個(gè)作為極限載荷的近似值，它和真實(shí)的極限載荷最接近。只考慮機(jī)動(dòng)方面的要求，而不考慮屈服條件和平衡條件的要求，按上限定理求極限載荷最小上限值的方法稱(chēng)為極限分析的機(jī)動(dòng)法。對(duì)于復(fù)雜的結(jié)構(gòu)或復(fù)雜的載荷分布，常須用實(shí)驗(yàn)方法得出一個(gè)破壞機(jī)構(gòu)的形態(tài)，據(jù)此求出極限載荷的一個(gè)較好的上限值。如果一個(gè)載荷既是極限載荷上限，又是極限載荷的下限，它便是完全解的極限載荷。

簡(jiǎn)化屈服條件除用靜力法和機(jī)動(dòng)法以外，結(jié)構(gòu)極限載荷的上限和下限還可以通過(guò)簡(jiǎn)化屈服條件求得。此法的理論依據(jù)是：在結(jié)構(gòu)的任何部分提高材料的屈服極限，都不會(huì)降低結(jié)構(gòu)的承載能力；而在結(jié)構(gòu)的任何部分降低材料的屈服極限,都不會(huì)提高結(jié)構(gòu)的承載能力。在廣義應(yīng)力空間中,屈服條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式往往是非線性的，聯(lián)合求解這種非線性的方程和復(fù)雜結(jié)構(gòu)的平衡微分方程在數(shù)學(xué)上往往有困難，因此，用線性的屈服條件代替非線性的屈服條件并找出復(fù)雜結(jié)構(gòu)的近似解，是求解極限載荷上、下限的有效方法。例如，在圖中所示的廣義應(yīng)力Q1、Q2的二維平面中，曲線A代表實(shí)際的屈服條件，多邊形B和多邊形C分別代表線性化了的內(nèi)接和外切的近似屈服條件。按多邊形B計(jì)算得到的極限載荷是實(shí)際極限載荷的下限，而按多邊形C計(jì)算得到的極限載荷是實(shí)際極限載荷的上限。

靜定結(jié)構(gòu)的極限荷載對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)，由幾何組成分析的知識(shí)，可知其自由度等于0，我們?cè)谶M(jìn)行彈塑性分析時(shí)，若在結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)塑性鉸，則體系在加載的方向上，將相應(yīng)地會(huì)多出一個(gè)自由度，體系形成一個(gè)可動(dòng)的機(jī)構(gòu)。因此，對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)，體系在任一截面上出現(xiàn)塑性鉸，則破壞。此時(shí)的荷載即為該靜定結(jié)構(gòu)的極限荷載。

應(yīng)用梁和剛架是極限分析定理應(yīng)用得最有成效的結(jié)構(gòu)。計(jì)算梁和剛架的極限載荷須用到塑性鉸的概念。當(dāng)梁的某截面上的彎矩達(dá)到塑性極限值Μp時(shí),塑性變形只能在Μ=Μp點(diǎn)處發(fā)生,該處曲率變化率可以任意增大，這時(shí)曲率的變化率不連續(xù)，就好象鉸一樣，這樣的鉸稱(chēng)為塑性鉸。塑性鉸和普通鉸的區(qū)別在于：普通鉸不能傳遞彎矩,而塑性鉸能傳遞塑性極限彎矩；普通鉸是雙向鉸,而塑性鉸是單向鉸，即當(dāng)轉(zhuǎn)角方向和彎矩方向一致時(shí)，可以發(fā)生自由塑性變形。塑性鉸一般出現(xiàn)在集中力作用處、支承處或當(dāng)均布載荷作用時(shí)剪力為零處。塑性鉸的位置可用實(shí)驗(yàn)方法確定。在結(jié)構(gòu)中形成足夠數(shù)目的塑性鉸后，結(jié)構(gòu)就變?yōu)闄C(jī)構(gòu)。

在極限狀態(tài)下，板中會(huì)出現(xiàn)塑性鉸線，它是塑性鉸的連線，其性質(zhì)和塑性鉸一樣，也可以用實(shí)驗(yàn)方法確定。圓板受軸對(duì)稱(chēng)載荷作用時(shí)，在極限狀態(tài)下，所有徑向塑性鉸線將連成一片，從而形成塑性區(qū)。在殼體結(jié)構(gòu)中有一個(gè)或幾個(gè)區(qū)域處于塑性狀態(tài)后，殼體才會(huì)處于極限平衡狀態(tài)。

對(duì)于連續(xù)梁、桁架、剛架和受軸對(duì)稱(chēng)載荷作用的圓板、環(huán)板、柱殼、球殼、錐殼已找到了不少極限分析的完全解。但對(duì)于靜不定次數(shù)比較高的靜不定結(jié)構(gòu)，計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜。對(duì)于多邊形板、受非軸對(duì)稱(chēng)載荷作用的圓板、柱殼、錐殼以及球殼徑向接管、圓柱殼徑向接管極限分析的完全解，還需要作進(jìn)一步的研究。

反過(guò)來(lái)，根據(jù)極限分析原理，可以按照載荷的要求尋求最輕結(jié)構(gòu)，這就是極限設(shè)計(jì)。

整體結(jié)構(gòu)的塑性極限分析計(jì)算，應(yīng)符合下列規(guī)定：

1 對(duì)可預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)破壞機(jī)制的情況，結(jié)構(gòu)的極限承載能力可根據(jù)設(shè)定的結(jié)構(gòu)塑性屈服機(jī)制，采用塑性力學(xué)方法進(jìn)行分析；

2 對(duì)于難于預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)破壞機(jī)制的情況，結(jié)構(gòu)的極限承載能力可采用靜力或動(dòng)力彈塑性分析方法確定；

3 當(dāng)偶然作用具有動(dòng)力特征時(shí)，直接承受偶然作用的結(jié)構(gòu)構(gòu)件或部分，應(yīng)根據(jù)偶然作用的動(dòng)力特征考慮其動(dòng)力效應(yīng)影響2。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

胡建平 - 副教授 - 西北工業(yè)大學(xué)