[科普中國]-拉格朗日插值公式

拉格朗日插值公式（外文名Lagrange interpolation formula）指的是在節(jié)點(diǎn)上給出節(jié)點(diǎn)基函數(shù)，然后做基函數(shù)的線性組合，組合系數(shù)為節(jié)點(diǎn)函數(shù)值的一種插值多項(xiàng)式。

公式簡介線性插值也叫兩點(diǎn)插值，已知函數(shù)y = f (x)在給定互異點(diǎn)x0, x1上的值為y0= f (x0)，y1=f (x1)線性插值就是構(gòu)造一個(gè)一次多項(xiàng)式：P1(x) = ax + b，使它滿足條件：P1 (x0) = y0， P1 (x1) = y1

其幾何解釋就是一條直線，通過已知點(diǎn)A (x0, y0)，B(x1, y1)。

線性插值計(jì)算方便、應(yīng)用很廣，但由于它是用直線去代替曲線，因而一般要求[x0, x1]比較小，且f（x）在[x0, x1]上變化比較平穩(wěn)，否則線性插值的誤差可能很大。為了克服這一缺點(diǎn)，有時(shí)用簡單的曲線去近似地代替復(fù)雜的曲線，最簡單的曲線是二次曲線，用二次曲線去逼近復(fù)雜曲線的情形。1

詳細(xì)釋義任給定F中2n+2個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn+1，y1，y2，…，yn+1，其中x1，x2，…xn+1互不相同，則存在唯一的次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式pn(x)，滿足pn(xi)=y1(i=1，2，…，n+1)，這里：

叫做拉格朗日插值公式。

公式的幾何解釋是：存在唯一的次數(shù)不超過n的拋物線

通過平面上的給出的n+1個(gè)點(diǎn)M1(x1，y1)，M2(x1，y2)，…，Mn+1(xn+1，yn+1)。

特別地，如對(duì)于自變數(shù)的兩個(gè)值，給出了線性函數(shù)的(n=1)對(duì)應(yīng)值，這線性函數(shù)就被確定。從幾何方面說，直線由其兩點(diǎn)確定，即：

拉格朗日約瑟夫·拉格朗日(Joseph Louis Lagrange)，法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。他在數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)三個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中都有歷史性的貢獻(xiàn)，其中尤以數(shù)學(xué)方面的成就最為突出。

拉格朗日生平拉格朗日1736年1月25日生于意大利西北部的都靈。父親是法國陸軍騎兵里的一名軍官，后由于經(jīng)商破產(chǎn)，家道中落。據(jù)拉格朗日本人回憶，如果幼年是家境富裕，他也就不會(huì)作數(shù)學(xué)研究了，因?yàn)楦赣H一心想把他培養(yǎng)成為一名律師。拉格朗日個(gè)人卻對(duì)法律毫無興趣。

到了青年時(shí)代，在數(shù)學(xué)家雷維里的教導(dǎo)下，拉格朗日喜愛上了幾何學(xué)。17歲時(shí)，他讀了英國天文學(xué)家哈雷的介紹牛頓微積分成就的短文《論分析方法的優(yōu)點(diǎn)》后，感覺到“分析才是自己最熱愛的學(xué)科”，從此他迷上了數(shù)學(xué)分析，開始專攻當(dāng)時(shí)迅速發(fā)展的數(shù)學(xué)分析。

18歲時(shí)，拉格朗日用意大利語寫了第一篇論文，是用牛頓二項(xiàng)式定理處理兩函數(shù)乘積的高階微商，他又將論文用拉丁語寫出寄給了當(dāng)時(shí)在柏林科學(xué)院任職的數(shù)學(xué)家歐拉。不久后，他獲知這一成果早在半個(gè)世紀(jì)前就被萊布尼茲取得了。這個(gè)并不幸運(yùn)的開端并未使拉格朗日灰心，相反，更堅(jiān)定了他投身數(shù)學(xué)分析領(lǐng)域的信心。

1755年拉格朗日19歲時(shí)，在探討數(shù)學(xué)難題“等周問題”的過程中，他以歐拉的思路和結(jié)果為依據(jù)，用純分析的方法求變分極值。第一篇論文“極大和極小的方法研究”，發(fā)展了歐拉所開創(chuàng)的變分法，為變分法奠定了理論基礎(chǔ)。變分法的創(chuàng)立，使拉格朗日在都靈聲名大震，并使他在19歲時(shí)就當(dāng)上了都靈皇家炮兵學(xué)校的教授，成為當(dāng)時(shí)歐洲公認(rèn)的第一流數(shù)學(xué)家。1756年，受歐拉的舉薦，拉格朗日被任命為普魯士科學(xué)院通訊院士。

1764年，法國科學(xué)院懸賞征文，要求用萬有引力解釋月球天平動(dòng)問題，他的研究獲獎(jiǎng)。接著又成功地運(yùn)用微分方程理論和近似解法研究了科學(xué)院提出的一個(gè)復(fù)雜的六體問題(木星的四個(gè)衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)問題)，為此又一次于1766年獲獎(jiǎng)。

1766年德國的腓特烈大帝向拉格朗日發(fā)出邀請(qǐng)時(shí)說，在“歐洲最大的王”的宮廷中應(yīng)有“歐洲最大的數(shù)學(xué)家”。于是他應(yīng)邀前往柏林，任普魯士科學(xué)院數(shù)學(xué)部主任，居住達(dá)20年之久，開始了他一生科學(xué)研究的鼎盛時(shí)期。在此期間，他完成了《分析力學(xué)》一書，這是牛頓之后的一部重要的經(jīng)典力學(xué)著作。書中運(yùn)用變分原理和分析的方法，建立起完整和諧的力學(xué)體系，使力學(xué)分析化了。他在序言中宣稱：力學(xué)已經(jīng)成為分析的一個(gè)分支。

1783年，拉格朗日的故鄉(xiāng)建立了"都靈科學(xué)院"，他被任命為名譽(yù)院長。1786年腓特烈大帝去世以后，他接受了法王路易十六的邀請(qǐng)，離開柏林，定居巴黎，直至去世。

這期間他參加了巴黎科學(xué)院成立的研究法國度量衡統(tǒng)一問題的委員會(huì)，并出任法國米制委員會(huì)主任。1799年，法國完成統(tǒng)一度量衡工作，制定了被世界公認(rèn)的長度、面積、體積、質(zhì)量的單位，拉格朗日為此做出了巨大的努力。

1791年，拉格朗日被選為英國皇家學(xué)會(huì)會(huì)員，又先后在巴黎高等師范學(xué)院和巴黎綜合工科學(xué)校任數(shù)學(xué)教授。1795年建立了法國最高學(xué)術(shù)機(jī)構(gòu)——法蘭西研究院后，拉格朗日被選為科學(xué)院數(shù)理委員會(huì)主席。此后，他才重新進(jìn)行研究工作，編寫了一批重要著作：《論任意階數(shù)值方程的解法》、《解析函數(shù)論》和《函數(shù)計(jì)算講義)，總結(jié)了那一時(shí)期的特別是他自己的一系列研究工作。

1813年4月3日，拿破侖授予他帝國大十字勛章，但此時(shí)的拉格朗日已臥床不起，4月11日早晨，拉格朗日逝世。

拉格朗日的科學(xué)成就拉格朗日科學(xué)研究所涉及的領(lǐng)域極其廣泛。他在數(shù)學(xué)上最突出的貢獻(xiàn)是使數(shù)學(xué)分析與幾何與力學(xué)脫離開來，使數(shù)學(xué)的獨(dú)立性更為清楚，從此數(shù)學(xué)不再僅僅是其他學(xué)科的工具。

拉格朗日總結(jié)了18世紀(jì)的數(shù)學(xué)成果，同時(shí)又為19世紀(jì)的數(shù)學(xué)研究開辟了道路，堪稱法國最杰出的數(shù)學(xué)大師。同時(shí)，他的關(guān)于月球運(yùn)動(dòng)(三體問題)、行星運(yùn)動(dòng)、軌道計(jì)算、兩個(gè)不動(dòng)中心問題、流體力學(xué)等方面的成果，在使天文學(xué)力學(xué)化、力學(xué)分析化上，也起到了歷史性的作用，促進(jìn)了力學(xué)和天體力學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展，成為這些領(lǐng)域的開創(chuàng)性或奠基性研究。

在柏林工作的前十年，拉格朗日把大量時(shí)間花在代數(shù)方程和超越方程的解法上，作出了有價(jià)值的貢獻(xiàn)，推動(dòng)了代數(shù)學(xué)的發(fā)展。他提交給柏林科學(xué)院兩篇著名的論文：《關(guān)于解數(shù)值方程》和《關(guān)于方程的代數(shù)解法的研究》 。把前人解三、四次代數(shù)方程的各種解法，總結(jié)為一套標(biāo)準(zhǔn)方法，即把方程化為低一次的方程(稱輔助方程或預(yù)解式)以求解。

他試圖尋找五次方程的預(yù)解函數(shù)，希望這個(gè)函數(shù)是低于五次的方程的解，但未獲得成功。然而，他的思想已蘊(yùn)含著置換群概念，對(duì)后來阿貝爾和伽羅華起到啟發(fā)性作用，最終解決了高于四次的一般方程為何不能用代數(shù)方法求解的問題。因而也可以說拉格朗日是群論的先驅(qū)。

在數(shù)論方面，拉格朗日也顯示出非凡的才能。他對(duì)費(fèi)馬提出的許多問題作出了解答。如，一個(gè)正整數(shù)是不多于4個(gè)平方數(shù)的和的問題等等，他還證明了圓周率的無理性。這些研究成果豐富了數(shù)論的內(nèi)容。

在《解析函數(shù)論》以及他早在1772年的一篇論文中，在為微積分奠定理論基礎(chǔ)方面作了獨(dú)特的嘗試，他企圖把微分運(yùn)算歸結(jié)為代數(shù)運(yùn)算，從而拋棄自牛頓以來一直令人困惑的無窮小量，并想由此出發(fā)建立全部分析學(xué)。但是由于他沒有考慮到無窮級(jí)數(shù)的收斂性問題，他自以為擺脫了極限概念，其實(shí)只是回避了極限概念，并沒有能達(dá)到他想使微積分代數(shù)化、嚴(yán)密化的目的。不過，他用冪級(jí)數(shù)表示函數(shù)的處理方法對(duì)分析學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了影響，成為實(shí)變函數(shù)論的起點(diǎn)。

拉格朗日也是分析力學(xué)的創(chuàng)立者。拉格朗日在其名著《分析力學(xué)》中，在總結(jié)歷史上各種力學(xué)基本原理的基礎(chǔ)上，發(fā)展達(dá)朗貝爾、歐拉等人研究成果，引入了勢和等勢面的概念，進(jìn)一步把數(shù)學(xué)分析應(yīng)用于質(zhì)點(diǎn)和剛體力學(xué)，提出了運(yùn)用于靜力學(xué)和動(dòng)力學(xué)的普遍方程，引進(jìn)廣義坐標(biāo)的概念，建立了拉格朗日方程，把力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)方程從以力為基本概念的牛頓形式，改變?yōu)橐阅芰繛榛靖拍畹姆治隽W(xué)形式，奠定了分析力學(xué)的基礎(chǔ)，為把力學(xué)理論推廣應(yīng)用到物理學(xué)其他領(lǐng)域開辟了道路。

他還給出剛體在重力作用下，繞旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸上的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)(拉格朗日陀螺)的歐拉動(dòng)力學(xué)方程的解，對(duì)三體問題的求解方法有重要貢獻(xiàn)，解決了限制性三體運(yùn)動(dòng)的定型問題。拉格朗日對(duì)流體運(yùn)動(dòng)的理論也有重要貢獻(xiàn)，提出了描述流體運(yùn)動(dòng)的拉格朗日方法。

拉格朗日的研究工作中，約有一半同天體力學(xué)有關(guān)。他用自己在分析力學(xué)中的原理和公式，建立起各類天體的運(yùn)動(dòng)方程。在天體運(yùn)動(dòng)方程的解法中，拉格朗日發(fā)現(xiàn)了三體問題運(yùn)動(dòng)方程的五個(gè)特解，即拉格朗日平動(dòng)解。此外，他還研究了彗星和小行星的攝動(dòng)問題，提出了彗星起源假說等。

近百余年來，數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多新成就都可以直接或間接地溯源于拉格朗日的工作。所以他在數(shù)學(xué)史上被認(rèn)為是對(duì)分析數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一。2

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)