[科普中國]-生物電阻抗斷層成像重構(gòu)算法

電阻抗斷層成像(Electrical Impedance Tomography，EIT)重構(gòu)算法的目的是通過電流激勵區(qū)域邊界上的電壓值重構(gòu)出區(qū)域內(nèi)部的電阻抗分布。重構(gòu)算法一般分為兩種，一種是重構(gòu)出電阻抗絕對值的靜態(tài)算法，一種是重構(gòu)出電阻抗相對變化值的動態(tài)算法。由于測量數(shù)、邊界形狀等一系列實際條件的限制，重構(gòu)圖像只能給出一個真實電阻抗的估計。

1.正問題生物體的電磁場規(guī)律都可以用麥克斯韋（Maxwell）方程組表示：

其中， 為矢量微分算子(泊松算子)，E為電場強(qiáng)度，D為電感應(yīng)強(qiáng)度，B為磁感應(yīng)強(qiáng)度，H為磁場強(qiáng)度，J為傳導(dǎo)電流密度。電、磁場中的場量E、B與D、H之間的關(guān)系由媒質(zhì)的特性決定，在各向同性的媒質(zhì)中，它們有如下關(guān)系：

其中，ε為復(fù)介電常數(shù)；μ為導(dǎo)磁率；γ為電導(dǎo)率。在我們所觀察的電流場中，沒有孤立電荷存在，因而電荷密度為0，在較低頻率下，可以忽略介電常數(shù)的影響，又因成像目標(biāo)內(nèi)部無自由電荷，從而得到以下方程(拉普拉斯方程)：

其中，σ為純電導(dǎo)率，對應(yīng)的邊界條件為：

在進(jìn)行EIT正問題分析時，可以將區(qū)域Ω分為許多離散的單元，每個小單元內(nèi)有一個均勻電阻抗的分布，可以得到離散域的一個線性化的等式，以矩陣的形式寫為：

其中，是測量電壓變化值矢量，是離散電阻抗變化矢量，S是敏感系數(shù)矩陣，其中的系數(shù)可以表示為：

其中i代表第i個驅(qū)動測量對，j代表第j個單元，積分則是對單元容積的積分。

2.逆問題建立EIT正問題后，可以將EIT圖像描述看成一個逆問題的求解，即已知激勵電流和邊界電壓求解內(nèi)部電阻抗變化。我們就可以通過對敏感矩陣進(jìn)行求逆來獲得電阻抗變化的分布，因此有：

給定邊界測量值，我們可以計算擾動的電阻抗圖像。這個結(jié)果對任何維數(shù)和電極安排都是有效的，但是電極的位置和電極對的驅(qū)動測量方式都會影響到敏感矩陣的形式以及矩陣逆的穩(wěn)定性，進(jìn)一步影響圖像的重構(gòu)質(zhì)量。

3.逆問題正則化針對線性離散正問題，我們假設(shè)不含噪聲的理想狀態(tài)下：

其中V為測量值向量，大小為M，為未知的模型參數(shù)向量，大小為N，S為敏感矩陣，大小為（M×N）。在EIT的研究中，ν指邊界電壓測量值的變化量，為內(nèi)部電阻抗的變化量，S其為敏感矩陣，其逆問題可表示為：

其中為S的逆，在大多數(shù)情況下，測量值通常只能在連續(xù)域的幾個獨立點上進(jìn)行測量獲得，而模型參數(shù)理論上講在域內(nèi)有無窮多個，因此可以認(rèn)為M