[科普中國]-偏差平方和

隨機(jī)變量Xij與總平均數(shù)的偏差的平方和是刻畫試驗(yàn)所得全部數(shù)據(jù)的離散程度的一個(gè)指標(biāo)，因此，各個(gè)總體Xi(i=1，2，...，r)是否同分布，可以從偏差平方和中獲得信息，而偏差平方和中包含各總體之間所抽取數(shù)據(jù)的差異和隨機(jī)因素造成的試驗(yàn)誤差兩部分信息，如果能把偏差平方和中的這兩部分信息分解出來并對其進(jìn)行比較，就可以達(dá)到檢驗(yàn)假設(shè)的目的1。

基本介紹在單因素實(shí)驗(yàn)中，為了使造成各隨機(jī)變量之間的差異的大小能定量表示出來，引人：

記在水平下樣本和為，其樣本均值為因素A下的所有水平的樣本總均值為

為了通過分析對比產(chǎn)生樣本

之間差異性的原因，從而確定因素A的影響是否顯著，我們引人偏差平方和來度量各個(gè)體間的差異程度

因能反映全部試驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的差異，所以又稱為總偏差平方和2。

偏差平方和的分解如果成立，則r個(gè)總體間無顯著差異，也就是說因素A對指標(biāo)沒有顯著影響，所有的可以認(rèn)為來自同一個(gè)總體，各個(gè)間的差異只是由隨機(jī)因素引起的，若不成立，則在總偏差中，除隨機(jī)因素引起的差異外，還包括由因素A的不同水平的作用而產(chǎn)生的差異，如果不同水平作用產(chǎn)生的差異比隨機(jī)因素引起的差異大得多，就認(rèn)為因素A對指標(biāo)有顯著影響，否則，認(rèn)為無顯著影響。為此，可將總偏差中的這兩種差異分開，然后進(jìn)行比較。

記

則有下面的定理：

定理1(平方和分解定理) 令，有

表示在水平下樣本值與樣本均值之間的差異，它是由隨機(jī)誤差引起的，稱為誤差平方和或組內(nèi)平方和。反映在每個(gè)水平下的樣本均值與樣本總均值的差異，它是由因素A取不同水平引起的，稱為因素A的效應(yīng)平方和或組間平方和，式就是我們所需要的平方和分解式2。

SE與SA的統(tǒng)計(jì)特性如果成立，則所有的都服從正態(tài)分布，且相互獨(dú)立，則有：

定理2

(1) ，且，所以為的無偏估計(jì)；

(2) ，且，因此為的無偏估計(jì)；

(3) 與相互獨(dú)立；

(4)。

本詞條內(nèi)容貢獻(xiàn)者為:

王海俠 - 副教授 - 南京理工大學(xué)